Van Planck tot Dirac in vijf lessen

1. Van Planck tot Dirac in vijf lessen Vijfde les Spin en antideeltjes

2. Spin en antideeltjes…“problems of language”… “The problems of language here are really serious. We wish to speak in some way about the structure of the atoms. But we cannot speak about atoms in ordinary language.”

3. Spin en antideeltjesHeisenberg: levensloop 1901Geboren (op 5 december) in Würzburg, zoon van een leraar (later hoogleraar) klassieke talen. 1914-1918 Gymnasium bezet door het leger; veel zelfstudie, vooral wiskunde (o.a. poging tot het bewijzen van Fermat’s laatste stelling), lid van een paramilitaire organisatie. 1920 Neemt deel aan het onderdrukken van de rode (Sovjet) revolutie in München. Wil getaltheorie gaan studeren bij Lindemann, maar wordt student van Sommerfeld, samen met Pauli. 1922 Volgt in Göttingen de colleges van Bohr: “Bohr Festspiele”. 1923 Proefschrift over turbulentie van vloeistofstromingen, assistent van Born in Göttingen. 1924 Habilitation over het anormale zeemaneffect. Werkt bij Bohr in Kopenhagen. 1925 Uitgaande van waarneembare overgangswaarschijnlijkheden laat hij zien dat de stralingsamplitudes een niet-commutatieve algebra vormen. Samen met Born en Jordan ontwikkelt hij een matrixrepresentatie van deze algebra: matrixmechanica.

4. 1927Hoogleraar in Leipzig. Ontdekt de onzekerheidsrelaties. 1932 Nobelprijs. 1935 Wil Sommerfeld (ook op diens verzoek) opvolgen in München, dit gaat niet door omdat hij “joodse” natuurkunde bedrijft (witte jood). Later wordt hij door Heinrich Himmler persoonlijk gerehabiliteerd, maar Sommerfeld’s leerstoel gaat naar de onbetekenende Müller. “Heisenberg affaire”. 1937 Trouwt met Elsabeth Schumacher, relatie via zijn muzikale talent als pianist. Zij krijgen 7 kinderen. 1939 Neemt deel aan het Duitse kernenergieproject “Uranium club”. 1941 Bezoek aan Bohr. 1942 (Tijdelijk) directeur van het Kaiser Wilhelm Instituut in Berlijn (Debije was in Amerika). 1943 Hoogleraar aan de Friedrich-Wilhelm (nu Humboldt) universiteit in Berlijn. 1945 Gearresteerd door Alos (Goudsmit) en geïnterneerd in Engeland tezamen met andere vooraanstaande Duitse atoomgeleerden. 1946 -1970 Hoofd van het Max Planck instituut voor natuurkunde en astrofysica eerst in Göttingen, later in München. 1957 Tekent het ”Göttinger Manifest van de “Göttingen 18” tegen de bewapening van de Bundeswehr met tactische kernwapens. 1958 Hoogleraar in München 1976 Overlijdt in München.

5. Spin en antideeltjesUmdeutung Zeitschrift für Physik, Bd.XXXIII (1925) 879-893 Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen Von W.Heisenberg in Göttingen „In der Arbeit soll versucht werden, Grundlagen zu gewinnen für einen quantentheoretische Mechanik, die ausschieβlich auf Beziehungen zwischen prinzipiell beobachtbaren Größen basiert ist.“ • De [oude] kwantumtheorie faalt hopeloos: • De regels bevatten relaties tussen grootheden die (naar het schijnt) niet waarneembaar zijn, zoals de positie en de omlooptijd van een elektron. • De regels zijn niet consistent en er is geen duidelijk afbakening waar ze wel of niet toepasbaar zijn. • Dit falen schrijft men toe aan afwijking van de klassieke mechanica, maar dat is niet zinvol als je bedenkt dat zelfs de (altijd geldende) Einstein-Bohr frequentieregel al een complete breuk met de klassieke mechanica inhoudt.

6. …”a lamentable hodgepodge of hypotheses, principles, theorems, and computational recipes rather than a logical consistent theory.”… Max Jammer in The Conceptual Development of Quantum Mechanics. …”Bei dieser Sachlage scheint es geratener, jene Hoffnung auf eine Beobachtung der bisher unbeobachtbaren Gröβen (…) ganz aufzugeben, gleichzeitig also einzuräumen, daβ die teilweise Übereinstimmung der genannten Quantenregeln mit der Erfahrung mehr oder wenig zufällig sei, und zu versuchen, eine der klassischen Mechanik analoge quantentheoretischen Mechanik auszubilden, in welcher nur Beziehungen zwischen beobachtbaren Gröβen vorkommen.”… • Klassiek beschrijven we de straling uitgezonden door een bewegend elektron als een multipoolontwikkeling in 1/r. Wat is hiervan het kwantummechanisch equivalent? …”Gegeben sei eine an Stelle der klassischen Gröβe x(t) tretende quantentheoretische Gröβe; welche quantentheoretische Gröβetritt dann an Stelle von x(t)2?”…

7. Maar eerst: het elektron kunnen we kwantummechanisch niet beschrijven als een punt dat een baan volgt. Wel kunnen we de straling beschrijven: • Behalve de frequentie hebben we om de straling te beschrijven ook de amplitude nodig. • Klassiek kunnen we x(t) ontwikkelen in een fourierreeks of een fourierintegraal. Kwantummechanisch lijkt dat niet mogelijk. Dat neem niet weg dat we de verzameling grootheden mogen beschouwen als een representatie van x(t) en dan is de vraag: wat is de representatie van x(t)2? Klassiek ligt het antwoord voor de hand en dan lijkt het eenvoudigste en meest natuurlijke kwantumtheoretische antwoord: (7) en de bijbehorende integraal. • Het is nu mogelijk representaties te geven van x(t)n. Dat betekent dat we van een willekeurige functie f[x(t)] de kwantummechanische representatie kunnen geven.

8. … „Eine wesentliche Schwierigkeit entsteht jedoch, wenn wie zwei Gröβen x(t), y(t) betrachten und nach dem Produkt x(t)y(t) fragen.“… … “Während klassisch x(t)y(t) stets gleich y(t)x(t) wird, braucht dies in der Quantentheorie im allgemeinen nicht der Fall zu sein.”… • [Heisenberg moet werken met een niet-commutatieve algebra. Dit zal Born op het spoor van matrixrekening brengen. De niet-commutativiteit van bepaalde grootheden, zoals plaats en impuls en energie en tijdstip zullen leiden tot de onzekerheidsrelaties.] • Dit was het kinematische deel. Nu gaan we de dynamica bekijken met het doel A,  en W te bepalen uit gegeven krachten. De theorie loste dit probleem tot nu toe op door integratie van de klassieke bewegingsvergelijking [wet van Newton] en daarna de constanten van periodieke bewegingen te kwantiseren [Bohr-Sommerfeld kwantisatieregel]. • Het lijkt nu logisch voor de grootheden in de bewegingsvergelijking de hiervoor afgeleide grootheden te substitueren. Om de vergelijking op te lossen zijn we gedwongen een reeksontwikkeling toe te passen, in analogie met de klassieke ontwikkeling in een fourierreeks.

9. Uitgaande van een periodieke beweging: • Volgt voor de constante van de beweging (fase-integraal): • Vroeger zouden we dit gelijk gesteld hebben aan nh. Het lijkt echter natuurlijker om door differentiatie naar n te stellen: • Deze vergelijking heeft een kwantumtheoretisch equivalent: (16) • De a’s zijn volledig bepaald door de bijkomende voorwaarde dat er een stralingsvrije grondtoestand bestaat. Het probleem van halftallige kwantumgetallen is daarmee uit de wereld.

10. Deze theorie werkt voorlopig alleen in zeer eenvoudige gevallen. Ze lijkt een bevredigende oplossing te geven voor een dynamisch probleem, maar we moeten nog aantonen dat de oplossingen samenvallen met bekende oplossingen [zoals voor het waterstof atoom]. • Als eenvoudig voorbeeld nemen we de anharmonische oscillator [de harmonische oscillator vroeg niet om het gebruik van de nieuwe regels]: • De klassieke oplossing is: waarin de a’s machtreeksen in λ zijn. • Kwantumtheoretisch zoeken we een analoge uitdrukking. We kunnen met (7) recursieformules opstellen en dan de kwantumvoorwaarde (16) toepassen. Dat geeft kwantummechanisch in eerste orde als we voor n=0 de grondtoestand nemen en termen met λ2 en hoger verwaarlozen:

11. Voor de energie W volgt: • De ½ in deze uitdrukking komt niet voor in de oude kwantumtheorie [Dit is ook geldig voor de harmonische oscillator en hangt samen met de onzekerheidsrelaties]. Volgt nog de behandeling van een andere anharmonische oscillator en van de rotator. …„Man kommt dann wirklich wieder genau zum Resultat… ,was mir eine bemerkenswerte Stütze für die zugrunde gelegten quantenmechanische Gleichungen zu sein scheint.“… …”Ob eine Methode zur Bestimmung quantentheoretischer Daten durch Beziehungen zwischen beobachtbaren Gröβen, wie die hier vorgeschlagene, schon in prinzipieller Hinsicht als befriedigend angesehen werden könnte, oder ob diese Methode doch noch einen viel zu groben Angriff auf das physikalische, zunächst offenbar sehr verwickelte Problem einer quantentheoretischer Mechanik darstellt, wird sich erst durch eine tiefgehende mathematische Untersuchung der hier sehr oberflächlich benutzten Methode erkennen lassen.“

12. Spin en antideeltjesHeisenberg: vervolg • Born (nobelprijstoespraak): • “Heisenberg’s vermenigvuldigingsregel liet mij niet los, en na acht dagen van ingespannen nadenken herinnerde ik mij een algebraïsche theorie die ik leerde bij mijn leraar professor Rosanes in Breslau.” • Die theorie was de matrixrekening, die tot dat moment nauwelijks was toegepast in de natuurkunde maar waarvan het wiskundig formalisme klaar lag. • Publicatie van Born en Jordan “Zur Quantenmechanik” waarin de theorie expliciet zijn matrixvorm krijgt. Hierin staat de commutatieregel qp - pq=iħ1. Born: “Ik zal nooit de opwinding vergeten die ik voelde toen ik er in slaagde Heisenberg’s ideeën in deze vergelijking samen te vatten.” • Publicatie met Born en Jordan (Drei Männer Arbeit) “Zur Quantenmechanik II”. Zij postuleren de commutatieregel voor p en q en leiden daaruit een consistente kwantumtheorie af.

13. Born en Wiener introduceren operatoren en lossen daarmee het niet-periodieke probleem van een vrij deeltje op. Ze komen zeer dicht bij de golfvergelijking van Schrödinger. Born: “… ik zal het mezelf nooit vergeven … [dan] zouden we de hele golfmechanica ontdekt hebben, een paar maanden voor Schrödinger.” • Dirac herformuleert Heisenberg’s matrixmechanica algebraïsch, zonder het gebruik van matrices en vindt een nauwe aansluiting met het klassieke Hamilton formalisme. De commutatoren in de kwantummechanica zijn de poissonhaakjes van de klassieke mechanica. Hij vindt ook de commutatieregel van p en q. Hij introduceert q-getallen versus c-getallen. “q stands for quantum or maybe queer; c stands for classical or maybe commuting” . Hij lost het waterstofprobleem op. • Ook Pauli lost het waterstofprobleem op met de matrixmechanica. Hij berekent daarmee ook het Starkeffect en hij laat zien dat de matrixmechanica het probleem van een gekruist elektrisch en magnetisch veld kan oplossen, iets wat de oude kwantummechanica niet kon.

14. Schrödinger komt met zijn golfmechanica en laat zien dat deze equivalent is met de matrixmechanica. • Heisenberg houdt zich verder bezig met ferromagnetisme, relativistische kwantumveldentheorie, neutron-protonmodel van de kern, theorie van het positron, kosmische straling, S-matrix theorie, turbulentie, supergeleiding, geunificeerde veldentheorie.

15. Spin en antideeltjesHet raadsel spin Een Caltech staflid vroeg eens aan Richard Feynman waarom spin ½ deeltjes Fermi-Dirac statistiek hebben. Feynman zei: "I'll prepare a freshman lecture on it." Een paar dagen later zei hij tegen het staflid: "You know, I couldn't do it. I couldn't reduce it to the freshman level. That means we really don't understand it." “I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics.”

16. Spin en antideeltjesTollende elektronen (??) • Kronig veronderstelt dat het elektron een intrinsiek impulsmoment heeft. Hij schrijft dit toe aan een tolbeweging van het elektron. Maar hij mist telkens een factor 2 en komt tot snelheden groter dan c. • Onafhankelijk pakken Goudsmit en Uhlenbeck het idee weer op. Ehrenfest zorgt voor publicatie, tegen de zin van Goudsmit en Uhlenbeck. In een vervolgpublicatie geven zij ondersteuning. Nature, vol. 117 (1926), p. 264-265 Spinning Electrons and the Structure of Spectra G.E. Uhlenbeck and S. Goudsmit … “Without being aware of Compton's suggestion, we have directed attention in a recent note (Naturwissenschaften, Nov. 20, 1925 ) to the possibility of applying the spinning electron to interpret a number of features of the quantum theory of the Zeeman effect, which were brought to light by the work especially of van Lohuizen, Sommerfeld, Landé and Pauli, and also of the analysis of complex spectra in general. In this letter we shall try to show how our hypothesis enables us to overcome certain fundamental difficulties which have hitherto hindered the interpretation of the results arrived by those authors.” …

17. Spin en antideeltjesMultiplets van het waterstofspectrum …”This results suggests an essential modification of the explanation hitherto given of the fine structure of the hydrogen-like spectra. As an illustration we may consider the energy levels corresponding to electronic orbits for which the principal quantum number is equal to three. The scheme on the left side of the accompanying figure (Fig. 1) corresponding to the results to be expected from Sommerfeld's theory. The so called azimuthal quantum number k is defined by the quantity of moment of momentum of the electron about the nucleus, kh/2π, where k = 1, 2, 3. According to the new theory, depicted in the scheme on the right, this moment of momentum is given by Kh/2π, where K = 1/2, 5/2, 5/2. The total angular momentum of the atom is Jh/2π, where J = 1, 2, 3.”… • Zij geven een alternatieve verklaring voor de fijnstructuur, die aanvankelijk door Sommerfeld aan een relativistisch effect werd toegeschreven.

18. Spin en antideeltjesSpin • Spin is een intrinsiek impulsmoment. Het is een puur kwantummechanisch fenomeen zonder parallel in onze dagelijkse omgeving. Het is geen tolbeweging! Daar werden Goudsmit en Uhlenbeck - en daarvoor Kronig - door Pauli op afgerekend! “Das ist ja ein witzigeres Aperçu, aber so ist die Natur schon nicht.” • Spin “openbaart” zich omdat er een magnetisch moment aan is verbonden, net als bij het baanimpulsmoment. De koppelingsfactor tussen het impulsmoment en het magnetisch moment verschilt echter een factor 2 met die van het baanimpulsmoment. • Spin kan in tegenstelling tot het baanimpulsmoment zowel heeltallige als halftallige waarden hebben. • Baanimpulsmoment is gekoppeld aan een beweging van het deeltje in de ruimte en kan dus door de golffunctie beschreven worden. Dat geldt niet voor spin. Een matrixbeschrijving is daarom noodzakelijk (Pauli matrices).

19. Fermi niveau geleidings band elektron energie band hiaat overlap valentie band metaal halfgeleider isolator • Deeltjes met heeltallige spin (“bosonen”) gedragen zich fundamenteel anders dan deeltjes met halftallige spin (“fermionen”). Bosonen kunnen klonteren (Bose-Einstein condensatie). Fermionen blijven uit elkaars buurt: ze kunnen niet tegelijkertijd en op dezelfde plaats in dezelfde toestand verkeren (uitsluitingsbeginsel van Pauli). Dit verklaart de opbouw van het periodiek systeem en het bestaan van vaste stoffen. Schilstructuur van Natrium Vorming van een BEC bij 400 nK • Het bestaan van spin met een magnetische moment is een gevolg van de relativiteitstheorie, zoals aangetoonde door …

20. Spin en antideeltjes“God used beautiful mathematics…” “This result is too beautiful to be false; it is more important to have beauty in one's equations than to have them fit experiment.”“If one is working from the point of view of getting beauty into one's equation, ... one is on a sure line of progress”“I learned to distrust all physical concepts as the basis for a theory…. One should concentrate on getting interesting mathematics.” “God used beautiful mathematics in creating the world.”

21. Spin en antideeltjesDirac: levensloop • 1902 Geboren in Bristol, Engeland, zoon van een leraar Frans • 1902-1921 Bishop Road Primary School; Merchant Venturers’ Technical College (waar zijn vader doceerde, later Cotham Grammar School); Electrical Engineering aan Bristol University. • Ongelukkige jeugd, stroeve relatie met zijn zeer autoritaire vader, na de zelfmoord van zijn broer verbroken. • “My father made the rule that I should only talk to him in French. He thought it would be good for me to learn French in that way. Since I found that I couldn’t express myself in French, it was better for me to stay silent than to talk in English. So I became very silent at that time – that started very early.” • Autistische trekken (asperger?)(drie antwoorden: yes, no, may be) • 1923 BA in Applied Mathematics aan Bristol University nadat hem een scholarship in Cambridge was geweigerd omdat zijn vader (Zwitser van oorsprong) niet lang genoeg Engels onderdaan was.

22. 1923-1926 Promotie bij Fowler van St John’s College in Cambridge over de samenhang tussen poisson haakjes in de klassieke mechanica en de matrixformulering van Heisenberg van de kwantummechanica. 1926-1928 Bezoeken aan Kopenhagen (“ We had long talks together, long talks in which Bohr did practically all the talking.”), Göttingen en Leiden. Ontwikkelt de transformatie theorie (“my darling”) en introduceert de δ- functie. Legt de grondslag voor de kwantumelektrodynamica. 1927 Fellow van St John’s College. 1928 Relativistische formulering van de golfvergelijking voor het elektron, leidt spin af als een relativistisch effect, voorspelt (in 1931) het positron, dat nog hetzelfde jaar ontdekt wordt. Bezoekt de Sovjet Unie (11 bezoeken tussen 1929 en 1975). 1929 Bezoeken (met Heisenberg) aan Amerika en Japan. “Heisenberg why do you dance?” ”Well, when there are nice girls it is a pleasure to dance.” ”Heisenberg, how do you know beforehand that the girls are nice?” 1930 Boek The Principles of Quantummechanics (nog steeds een standaardwerk); Fellow van de Royal Society. 1931 Werkt aan magnetische monopolen. 1932 Lucasian professor of mathematics van Cambridge University (Newton’s leerstoel, nu bezet door Stephen Hawking).

23. 1933 Nobelprijs samen met Schrödinger; plan om te weigeren stuit op het bezwaar dat hij daarmee nog meer aandacht zou trekken. 1934 Bezoek aan Princeton, ontmoet Wigner en zijn zuster. 1937 Trouwt met Margit Wigner. - twee stiefkinderen en twee eigen kinderen. 1937 Introduceert een kosmologisch model op basis van getaltheorie. 1938 Introduceert massa renormalisatie – waar hij later afstand van zal nemen. 1939 Introduceert bra-ket notatie. 1939-1945 Betrokken bij uranium scheiding en nucleaire wapens. 1969 Reist zijn oudste dochter achterna naar Florida. 1971 Hoogleraar aan Florida State University. 1973 en 1975 Doceert aan het Physical Engineering Institute in Leningrad. 1984 Overlijdt in Tallahassee, Florida.

24. Spin en antideeltjesDirac over Dirac Tegen Bohr, die zelden een zin afmaakte: “I was taught at school never to start a sentence without knowing the end of it.” In een discussie met Einstein, Planck, Pauli en Heisenberg over godsdienst: “I cannot understand why we idle discussing religion. If we are honest – and as scientists honesty is our precise duty – we cannot help but admit that any religion is a pack of false statements, deprived of any real foundation.” Pauli: “There is no God and Dirac is His prophet.” Tegen Oppenheimer, die Dante las: “How can you do both physics and poetry?In science we try to explain in simple terms, something that nobody knew before. In poetry it is the exact opposite.”

25. Spin en antideeltjesThe quantum theory of the electron Proceedings of the Royal Society A 117 (1928) 610-624 The quantum theory of the electron By P.A.M. Dirac, St John’s College, Cambridge “The new quantum mechanics, … does not give results in agreement with experiment. The discrepancy consist of “duplexity” phenomena, the observed number of stationary states for an electron in an atom being twice the number given by the theory. To meet the difficulty, Goudsmit and Uhlenbeck have introduced the idea of an electron with a spin angular momentum of half a quantum and a magnetic moment of one Bohr magneton.”… … “… the incompleteness of the previous theories lying in their disagreement with relativity, …. It appears that the simplest Hamiltonian for a point-charge electron satisfying the requirements of both relativity and the general transformation theory leads to an explanation of all duplexity phenomena without further assumptions.”…

26. §1. Previous Relativity Treatments • De relativistische, klassieke hamiltoniaan F (meestal gebruiken we H, met H=T+U) voor een elektron dat beweegt in een elektromagnetische veld met scalar potentiaal A0 en vectorpotentiaal A is: • [Niet relativistisch vrij deeltje: H=p2/2m, relativistisch H=[(cp)2+(mc2)2]½] • Pas nu zoals Gordon (en eerder Schrödinger – maar die verwierp hem) dezelfde transformatie naar operatoren toe als in de niet-relativistische theorie: h bij Dirac is h/2 • Dan volgt een golfvergelijking: (1)

27. Aan deze vergelijking kleven twee bezwaren: • ψ kan alleen voor de positie aan de waarschijnlijkheidsinterpretatie van de kwantummechanica voldoen. Alleen een golfvergelijking die lineair is in ∂/∂t kan in het algemeen voldoen(superpositiebeginsel!). • De golfvergelijking staat oplossingen toe voor deeltjes met lading –e, waardoor er oplossingen zijn met negatieve energie, die we niet zomaar kunnen wegwerken. … “In the present paper we shall be concerned only with the removal of the first of these two difficulties. The resulting theory is therefore still only an approximation, but appears to be good enough to account for all the duplexity phenomena without arbitrary assumptions.”… • §2. The Hamiltonian for No Field • Zonder veld – vrij elektron - wordt vergelijking (1): (3) met • Vanwege lineariteit in ∂/∂t en symmetrie tussen de p’s moet de golfvergelijking de volgende gedaante hebben: (4)

28. De α’s en β hangen niet af van t en van de plaatscoördinaten. Er zijn daarom meer dynamische variabelen (vrijheidsgraden) in het spel dan de positie en de impuls van het elektron [spin komt om de hoek!]. • Als (4) geldt, dan geldt ook: • Als we stellen β=α4mc dan moet gelden om (3) te krijgen : (6) • We kunnen hieraan voldoen als we de α’s opvatten als matrices. Het blijkt dat de matrices σ, door Pauli geïntroduceerd om de elektronspin te beschrijven, voldoen aan deze voorwaarden. • Maar omdat we vier en geen drie α’s zoeken, moeten we de matrices uitbreiden tot 4 bij 4 matrices. Er komen nu drie ρ matrices bij. • Als we nu stellen: α1=ρ1σ1, α2=ρ1σ2, α3=ρ1σ3, α4=ρ3 dan is aan de voorwaarden (6) voldaan. • De golfvergelijking krijgt nu de volgende gedaante: (9) waarin σ de vector (σ1, σ2, σ3) is.

29. §3. Proof of Invariance under a Lorentz Transformation • Om te bewijzen dat vergelijking (9) relativistisch geldt, moeten we aantonen dat hij invariant is onder de Lorentztransformatie. • Dat lukt, met het nodige rekenwerk. • §4. The Hamiltonian for an Arbitrary Field • Substitueer nu zoals gebruikelijk in vergelijking (9) voor p0 en p respectievelijk p0+(e/c)A0 en p+(e/c)A. We krijgen dan: (14) • Deze golfvergelijking heeft vier keer zoveel oplossingen als de niet-relativistische Schrödinger vergelijking en twee keer zoveel als de relativistische Klein-Gordon vergelijking. • Twee hiervan verwerpen we omdat ze corresponderen met een elektron met lading +e. [In 1931 zal Dirac voorspellen dat ze horen bij een anti-elektron - nu positron. Het bestaan van dit deeltje wordt in datzelfde jaar experimenteel aangetoond door Anderson.] • De twee overblijvende verklaren het duplexity verschijnsel. Het blijkt dat de nieuwe vrijheidsgraad geïnterpreteerd kan worden alsof het elektron een magnetisch moment (eh/2mc)σ heeft. De spin van het elektron!

30. §5. The Angular Momentum Integrals for Motion in a Central Field. • De spin heeft een impulsmoment ½hσ dat koppelt met het baanimpulsmoment m tot een totaalimpulsmoment M dat een constante van de beweging is. • Daarmee kunnen we een nieuw kwantumgetal j invoeren dat dezelfde rol speelt in de nieuwe theorie als het azimuthale kwantumgetal k in de oude theorie. • §6 The Energy Levels for Motion in a Central Field • De nieuwe theorie geeft correcties op de oude energieniveaus (de Bohr-Schrödinger niveaus van het waterstofatoom b.v.) die in overeenstemming zijn met het experiment. • …”If one neglects the last term, which is small on account of B being large, this equation becomes the same as the ordinary Schroedinger equation for the system, with relativity corrections included.”… • …”The present theory will thus, in the first approximation, lead to the same energy levels as those obtained by Darwin, which are in agreement with experiment.”

31. Spin en antideeltjesDirac: het vervolg • Het probleem van de negatieve energiewaarden lost Dirac op met een gatentheorie. Het vacuüm bestaat uit een zee van negatieve elektronen. Omdat het Pauli uitsluitingsbeginsel van toepassing is, kan een elektron alleen maar een meer positieve energie krijgen, nooit een negatieve energie.Niet bezette toestanden in de elektronenzee (“gaten”) gedragen zich als positief geladen elektronen. Omdat je energie moet toevoeren om zo’n gat te creëren, heeft dit positief geladen elektron (positron) positieve energie. • Dirac legt de grondslag voor de kwantumelektrodynamica: een relativistische kwantumtheorie van het elektromagnetisch veld (QED: Feynman, Dyson, Schwinger, Tomonaga). Deze theorie wordt geplaagd door “oneindigheden”. Dit kan worden opgelost door z.g. renormalisatie. Dirac vindt deze oplossing lelijk en wendt zich af.

32. Good old Newton “I do not know what I may appear to the world; but to myself I have seen only like a boy playing on the seashore, and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or prettier shell than ordinary, whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me.”