1 장 . 복합명제 논리

1. 1장. 복합명제 논리 이산수학 및 응용 하병현 bhha@pusan.ac.kr

2. 목차 1.1 논리식과 논리적 동치 1.2 조건명제 1.3 정당한 논증과 부당한 논증 1.4 응용: 디지털 논리회로 1.5 응용: 수 체계와 덧셈회로

3. 1. 복합명제 논리 • 대수적 표기법 • 수와 그들 사이의 관계에 관한 추론 과정을 명확히 함 • 기호논리 • 연역추론 과정을 명확히 하기 위해 기호 사용 • 대수학을 기반으로 출발? x + y = 20 x = 13 y = 20 – x  y = 7

4. 1.1 논리식과 논리적 동치 Logic is a science of the necessary laws of thought, without which no employment of the understanding and the reason takes place. – Immanuel Kant, 1785

5. 1.1 논리식과 논리적 동치 • 논증(argument) • 연역적 논리의 중심 개념 • 명제들의 나열 • 전제(premise)들과 결론(conclusion)으로 구성  논증에서의 내용과 형태 p또는q이면 r이다. q이다. 따라서 r이다.

6. 논리적 형태 • 논증 1 • 프로그램에서 구문이 잘못되었거나, 프로그램의 실행결과가 ‘0으로 나눔’으로 나오면 컴퓨터는 에러 메시지를 생성한다. 따라서 컴퓨터가 에러 메시지를 생성하지 않으면 프로그램의 구문이 잘못되지 않았고 실행 결과가 ‘0으로 나눔’으로 나오지 않는다. • 논증 2 • x가 x < -2이거나 x > 2인 실수이면 x2 > 4이다. 따라서 x2 > 4 가 아니면, x < -2가 아니고 x >2도 아니다.

7. 논리적 형태 • 논증 1 • 프로그램에서 구문이 잘못되었거나, 프로그램의 실행결과가 ‘0으로 나눔’으로 나오면 컴퓨터는 에러 메시지를 생성한다. 따라서 컴퓨터가 에러 메시지를 생성하지 않으면 프로그램의 구문이 잘못되지 않았고 실행 결과가 ‘0으로 나눔’으로 나오지 않는다. • 논증 2 • x가 x < -2이거나x > 2인 실수이면x2 > 4이다. 따라서x2 > 4 가 아니면, x < -2가 아니고x >2도 아니다.

8. 논리적 형태 • 논증 1 • 프로그램에서 구문이 잘못되었거나, 프로그램의 실행결과가 ‘0으로 나눔’으로 나오면 컴퓨터는 에러 메시지를 생성한다. 따라서 컴퓨터가 에러 메시지를 생성하지 않으면 프로그램의 구문이 잘못되지 않았고 실행 결과가 ‘0으로 나눔’으로 나오지 않는다. • 논증 2 • x가 x < -2이거나x > 2인 실수이면x2 > 4이다. 따라서x2 > 4 가 아니면, x < -2가 아니고x >2도 아니다. • p이거나 q이면 r이다. • 따라서 not r이면 not p이고 not q이다.

9. 예제 1.1.1 논리적 형태의 식별 • 논증 a • 제인의 전공이 수학이거나 컴퓨터과학이면, 제인은 수학 150 과목을 수강할 것이다. • 제인의 전공은 컴퓨터 과학이다. • 따라서 제인은 수학 150 과목을 수강할 것이다. • 논증 b • 논리학이 쉽거나 (1) , (2) . • 나는 공부를 열심히 할 것이다. • 따라서 나는 이 과목에서 A 학점을 받을 것이다.

10. 예제 1.1.1 논리적 형태의 식별 • 논증 a • 제인의 전공이 수학이거나 컴퓨터과학이면, 제인은 수학 150 과목을 수강할 것이다. • 제인의 전공은 컴퓨터 과학이다. • 따라서 제인은 수학 150 과목을 수강할 것이다. • 논증 b • 논리학이 쉽거나 (1) , (2) . • 나는 공부를 열심히 할 것이다. • 따라서 나는 이 과목에서 A 학점을 받을 것이다. • p이거나 q이면 r이다. • q이다. • 따라서 r이다.

11. 명제 • 정의: 명제 • 명제(statement 또는 proposition)는 참이거나 거짓인(둘 다는 아닌) 문장이다.  수학(또는 과학) 이론에서의 정의 • 새로운 용어는 먼저 정의된 용어를 사용하여 정의함 • 위의 참, 거짓, 문장은 정의되지 않은 초기 용어임  본 강의자료에서 정의되는 용어는 굵고 파랗게 표시됨 2 더하기 2는 4이다. 2 더하기 2는 5이다. 그는 대학생이다. x + y > 0

12. 참고: 학술문헌에서의 정의 • 정의 1 • A graph is defined to consist of a nonempty set V together with a set E such that … • 정의 2 • A vector space is defined to consist of a nonempty set V together with a binary operation + and, for each real number r, an operation called scalar multiplication such that … • 정의 3 • 확률실험에서 일어날 수 있는 모든 결과의 집합을 표본공간이라 하고 S로 표기한다. 또 표본…

13. 복합명제(Compound Statements) • 복잡한 문장 • 여러 개의 (단순)명제들을 ~, , 의 기호로 연결하여 구성 • 명제 p와 q에 대해, • p의 부정(negation) ~p not p • p와 q의 논리곱(conjunction) pq  p and q • p와 q의 논리합(disjunction) pqp or q Jim is tall but he is not heavy. Neither a borrower nor a lender be.

14. 복합명제 • 연산자의 우선순위 • ~pq (~p) q • ~(pq) • pqr애매모호 • (pq) r, p (qr) 명확한 의미

15. 복합명제 • 예제: It is hot p, It is sunny q • It is not hot but it is sunny  ~pq • It is neither hot nor sunny  ~p ~q • 예제: 인터넷 검색 • Careers AND (mathematics OR “computer science”) AND NOT (finance OR marketing) • 예제: 다음을 p, q, r로 나타내면? • p, q, r이 “0 < x”, “x < 3”, “x = 3”을 의미한다면, • x 3 ? 0 < x < 3 ? 0 < x  3 ?

16. 진리값 • 복잡한 문장이 명제가 되려면 • 명제는 진리값(참 또는 거짓)을 가짐 • 복잡한 문장의 진리값은 그것을 구성하는 명제들로 결정됨 명제(statement 또는 proposition)는 참이거나 거짓인(둘 다는 아닌) 문장이다.

17. 진리값 • 정의: 부정 • p가 명제변수이면 p의 부정(negation)은 “not p”를 의미하고 ~p로 쓴다. 이것은 p와 반대인 진리값을 갖는다: p가 참이면 ~p는 거짓이고, p가 거짓이면 ~p는 참이다. 진리표

18. 진리값 • 정의: 논리곱 • p와 q가 명제변수면 그들의 논리곱(conjunction)은 “p and q”이고 p q로 나타낸다. 이것은 p와 q가 모두 참일 때만 참이다. p또는 q중 하나가 거짓이거나 둘 다 거짓이면 p  q는 거짓이다. 진리표

19. 진리값 • 정의: 논리합 • p와 q가 명제변수면 그들의 논리합(disjunction)은 “p or q”이고 p q로 쓴다. p가 참이거나 q가 참이거나 둘 다 참일 때 참이고, p와 q가 모두 거짓일 때 거짓이 된다.  현실에서의 ‘또는’? 진리표

20. 명제식 • 정의: 명제식 • 명제식(statement form)은 명제변수(p, q, r등)와 논리접속사(~, ,  등)로 만들어진 식으로, 명제변수 대신 실제 명제가 대체되면 명제식은 명제가 된다. 명제식의 진리표(truth table)는 명제식을 구성하는 명제변수의 진리값의 조합에 대응하는 진리값을 나타낸다.

21. 명제식 • 예제: 배타적 or의 진리표 • p or q but not both (p q, p XOR q) • (pq)  ~(pq)

22. 명제식 • 예제: (pq)  ~r

23. 논리적 동치 • 동치의 두 형태 • 문장의 의미에 의해 • 6 is greater than 2 • 2 is less than 6 • 문장의 형태에 의해 • Dogs bark and cats meow • Cats meow and dogs bark

24. 논리적 동치 • 정의: 논리적 동치 • 두 명제식은, 명제변수들을 가능한 모든 명제로 대체한 것에 대해 항상 동일한 진리값을 가질 때에만(if, and only if), 논리적 동치(logically equivalent)이다. 명제식 P와 Q의 논리적 동치는 P Q로 나타낸다. • 두 명제는, 동일한 구성 명제가 동일한 명제변수로 대체되어 논리적으로 동치인 명제식이 될 때만(if, and only if), 논리적 동치이다.

25. 논리적 동치 • 예제: 이중부정 • ~(~p) ≡ p • 논리적 동치가 아닌 예: ~(p q)와 ~p q

26. 논리적 동치 • 드 모르간 법칙 • ~(p q)  ~p  ~q • ~(p q)  ~p ~q • 예제: 다음의 부정은? • 존은 키가 크다. 그리고 머리카락이 빨갛다. • The bus was late or Tom’s watch was slow. • ~(date1  file_modification_date  date2) (1) Jim is tall and Jim is thin. (2) Jim is tall and thin.

27. 항진명제와 모순명제 • p14, 수학의 모든 것은 tautology가 된다고 한다. 이것은 형식상으로는 참이지만 대부분의 수학자들은 수학에서 다루는 주제들이 형식만이 아니라 본질을 가지고 있다고 생각한다. • [원문] It has been said that all of mathematics reduces to tautologies. Although this is formally true, most working mathematicians think of their subject as having substance as well as form.

28. 항진명제와 모순명제 • 정의: 항진명제 • 항진명제(tautology)는 명제변수들을 각각의 명제로 대체했을 때 명제의 진리값에 관계없이(구성 명제가 어떤 진리값을 가지더라도) 항상 참인 진리값을 갖는 명제식이다. 명제식이 항진명제인 명제를 tautological statement라 한다. • [원문] A tautology is a statement form that is always true regardless of the truth value of the individual statements substituted for its statement variables. A statement whose form is a tautology is a tautological statement.

29. 항진명제와 모순명제 • 정의: 모순명제 • 모순명제(contradiction)는 명제변수들을 각각의 명제로 대체했을 때 명제의 진리값에 관계없이 항상 거짓인 진리값을 갖는 명제식이다. 명제식이 모순명제인 명제를 contradictory statement라 한다. • 위의 정의에 따르면 • Tautological statement의 참 값과 contradictory statement의 거짓 값은 명제의 의미와는 관계없이 논리적 형태에 따른 것임을 알 수 있음

30. 항진명제와 모순명제 • 예제 • p ~p와 p  ~p • 예제: t를 항진명제, c를 모순명제라 하면 • p  t  p, p  c  c

31. 논리적 동치 • 대수학적 동치 • 대수적 추론(증명)을 할 때 유용 • 예: x(y + z) = xy + xz • 논리적 동치 • 연역적 추론(논증)을 할 때 유용 • 살면서 하는 생각의 일반적인 법칙  일반적인 추론 방법 • 연역(deduction), 귀납(induction), 유비(analogy)

32. 논리적 동치 • 정리 1.1.1: 명제변수 p, q, r, 항진명제 t, 모순명제 c에 대해 다음의 논리적 동치가 성립한다. • 교환법칙(commutative laws) • p qqpp qqp • 결합법칙(associative laws) • (pq) rp (qr) (pq) rp (qr) • 분배법칙(distributive laws) • p (qr)  (pq)  (pr) p(qr)  (pq)  (pr) • 항등법칙(identity laws) • ptppcp

33. 부정법칙(negation laws) • p  ~ptp  ~pc • 이중 부정법칙(double negative law) • ~(~p) p • 멱등법칙(idempotent laws) • pppppp • 전체한계 법칙(universal bound laws) • pttpcc • 드 모르간 법칙(De Morgan’s laws) • ~(pq)  ~p ~q ~(pq)  ~p ~q • 흡수 법칙(absorption laws) • p (pq) pp (p  q) p • t와 c의 부정(negation of t and c) • ~tc ~ct

34. 예제 1.1.15 명제식 단순화 • 예제: ~(~p q)  (p  q)  p를 보여라 • ~(~p q)  (p  q)  (~(~p)  ~q)  (p  q)  (p ~q)  (p  q)  p (~q  q)  p (q  ~q)  p c  p

35. 논리적 동치 • 정리 1.1.1에서의 핵심 법칙 • 처음 5개의 법칙으로부터 나머지가 모두 유도됨 • 부울 대수(Boolean Algebra)는 그 5개를 공리(Axiom)으로 사용하는 수학구조임 • 동치와 동치가 아님의 증명 • 정리 1.1.1을 사용하면 동치임을 증명할 수 있으나 동치가 아님을 증명할 수는 없음 • 진리표를 사용하는 경우 동치와 동치가 아님을 모두 증명할 수 있음  명제변수가 n개일 때 진리표를 사용하여 증명하기 위해서는 2n단계가 필요함

36. 1.2 조건명제 … hypothetical reasoning implies the subordination of the real to the realm of the possible … – Jean Piaget, 1972

37. 1.2 조건명제 • 논리적 추론(logical inference) • 가설에서 결론을 도출 • “만일… 이라면… 이다” • “if such is known, then something must be the case” • 조건 명제 • “p이면 q이다”  “p q” • p: 가설(hypothesis), q: 결론(conclusion) • 예제: 4,686이 6으로 나누어지면 4,686은 3으로 나누어진다. • 역시 명제이므로 진리값을 가져야 함

38. 조건명제 • 정의 • p와 q가 명제변수이면 p에 의한 q의 조건명제(conditional statement)는 “if p then q”이고 pq로 쓴다. 이 명제는 p가 참이고 q가 거짓일 때만 거짓이고 그 외에는 참이다. p를 조건명제의 가설(hypothesis) 또는 전제(antecedent)라 하고 q는 결론(conclusion) 또는 결과(consequent)라 한다. • Vacuously true, true by default • 우선순위

39. 조건명제 • 실생활의 예제 • “월요일 아침에 가게에 오면 당신은 일자리를 얻을 것이다” • 위의 문장은 어떤 상황에서 참이 되고, 언제 거짓이 되는가? • “”의 진리값도 일상적인 의미에 바탕을 둔 것을 알 수 있음

40. 조건명제 • 예제: p ~q ~p 결론 가설

41. 조건명제와 논리적 동치 • 예제: 사례분할(Division into Cases) • [원문] Suppose you know that the truth of r follows from the truth of pand also that the truth of r follows form the truth of q. Then no matter whether p or q is the case, the truth of r must follow. • p q  r  (p r) (q  r) • 동치의 증명 • 진리표의 사용 • 대수적으로(정리 1.1.1을 활용)?

42. 조건명제와 논리적 동치 • 예제: If – then의 or 표현 • p q  ~p  q • “if p then q” and “not p or q” • 예제: 다음의 표현을 if – then으로? • You get to work on time or you are fired.  ____________________________________.

43. 조건명제와 논리적 동치 • 조건명제의 부정 • ~(p q)  ~(~p  q)  ~(~p)  ~q  p  ~q • 예제: 다음의 부정은? • If my car is in the repair shop, then I cannot get to class. • If Sara live in Athens, then she lives in Greece.

44. 조건명제의 대우 • 정의 • “If p then q”인 p q의 조건명제의 대우(contrapositive)는 “If ~q then ~p”이며 ~q  ~p이다. • 조건명제는 그것의 대우와 논리적 동치임 • 예제: 다음 명제들의 대우? • If Howard can swim across the lake, then Howard can swim to the island. • If today is Easter, then tomorrow is Monday.

45. 조건명제의 역과 이 • 정의 • 조건명제 “If p then q”(p  q) 가 주어져 있을 때, 역(converse)은 “If q then p”(q  p)이고, 이(inverse)는 “If ~p then ~p”(~p  ~q)이다. • 논리적 동치 • 조건명제와 그것의 역은 논리적 동치가 아님 • 조건명제와 그것의 이는 논리적 동치가 아님 • 조건명제의 역과 이는 논리적 동치임

46. Only If • 정의 • 명제 p와 q에 대해, “ponly ifq”는 “if not q then not p”를 의미하고, 동등하게 “if p then q”를 의미한다. • 예제: 다음을 if-then을 사용하는 두 가지 방법으로? • John will break world’s record for the mile run only if he runs the mile in under four minutes.

47. 쌍방조건명제 • 정의 • 명제변수 p, q에 대해, p와 q의 쌍방조건명제(biconditional of p and q)는 “p if, and only if, q”이고 p q로 쓴다. p와 q가 같은 진리값을 가지면 참이고 다른 진리값을 가지면 거짓이 된다. 단어 if and only if는 종종 iff로 줄여서 쓴다.

48. 필요조건과 충분조건 • 정의 • r과 s가 명제일 때, “r이 s의 충분조건(sufficient condition)임”은 “if r then s”를 의미하고, “r이 s의 필요조건(necessary condition)임”은 “if not r then not s”를 의미한다. • 예제: 필요조건과 충분조건으로 해석? • If John is eligible to vote, then he is at least 18 year old. • 예제: if-then으로 변경? • George’s attaining age 35 is a necessary condition for his being president of the United Sates.

49. Remark • 생각: 가설과 결론의 관련성 • 만일 2 + 2 = 5이면 미키 마우스는 미국의 대통령이다. • 생각: 현실 언어에서의 if • You will get dessert if, and only if, you eat your dinner.  일상언어  • If you eat your dinner, you will get dessert. • You will get dessert only if you eat your dinner.

50. 1.3 정당한 논증과 부당한 논증 “Contrariwise,” continued Tweedledee, “if it was so, it might be; and if it were so, it would be; but as it isn’t, it ain’t. That’s logic.” – Lewis Carroll, Through the Looking Glass