GRANDEUR ET mesures

1. David Rolland, formateur en mathématiques GRANDEUR ET mesures

2. Plan du cours • I- Vos connaissances • II- Généralités sur les grandeurs • III. Mesurer une grandeur • IV- Longueurs et distances dans le plan • V- Aires dans le plan • VI. Angles • VII. Les durées • VIII. Quelques éléments de didactique

3. 1. Faites-vous une différence entre les expressions «longueur d’un ruban» et «mesure d’un ruban» ? Si oui, laquelle ? • 2. Faites-vous une différence entre les mots « aire » et « surface » ? Si oui, laquelle ? • 3. Quelles sont les grandeurs étudiées à l’école primaire ? • 4. Quelle définition donneriez-vous du « mètre » ? • 5. Comment définiriez-vous le périmètre d’une figure ? 6. « Plus l’aire d’une figure augmente, plus son périmètre augmente ». Cette phrase est-elle vraie ou fausse ?  • 7. Si on multiplie les dimensions d’un rectangle par 5, par combien est multipliée son aire ?  • 8. Si on multiplie par 3 les dimensions d’un pavé, par combien est multiplié son volume ?  • 9. Convertir en heures, minutes, secondes : 7 h 47 min 12 s + 5 h 54 min 49 s puis 2,56 h. I. Vos connaissances

4. Nous avons tellement l’habitude de mesurer des longueurs, calculer des aires, exprimer des durées en heures, minutes et secondes, que nous avons du mal à penser ces grandeurs autrement qu’en termes de nombres, autrement dit que de manière quantifiée. Des expressions comme « calculer le périmètre d’un rectangle ou d’un cercle », « appliquer une formule pour trouver l’aire d’un disque ou d’un triangle » signalent des liens profonds, une parenté très forte entre la notion de grandeur et celle de nombre. En effet, ces expressions évoquent la possibilité de calculs avec des grandeurs alors que classiquement les opérations s’effectuent entre nombres. II. Généralités sur les grandeurs.

5. Une grandeur est une qualité communeà certaines catégories d’objets : - la longueur pour les lignes ; - les aires pour les surfaces ; - l’angle pour les secteurs du plan ; - le volume pour les solides ; - la masse pour les objets matériels ; - la durée pour les événements… Or une grandeur n’est pas un nombre

6. Pour expliquer ces deux propriétés, prenons l’exemple des lignes. Cette qualité doit avoir deux propriétés particulières : - elle doit permettre de classer les objets en catégories disjointes - elle doit permettre d’ordonner les objets de manière transitive.

7. La longueur possède ces deux propriétés. Cela a du sens de dire que deux lignes ont la même longueur et chaque catégorie de lignes contient toutes les lignes ayant la même longueur. Cela a aussi du sens de dire qu’une ligne est plus longue qu’une autre. D’autre part, si une ligne L1 est plus longue qu’une ligne L2, elle-même plus longue qu’une ligne L3, alors L1 est plus longue que L3, c’est la propriété de transitivité.

8. Toutes les qualités que l’on peut attribuer aux objets n’ont pas de telles propriétés. En effet, considérons la qualité pour une ligne d’être brisée ou non. On peut constituer deux catégories de lignes : celles des lignes brisées et celles des lignes non brisées. En revanche, cette qualité ne permet pas d’ordonner les lignes.

9. Une grandeur peut avoir une troisième propriété, elle peut être additive ou sommable. Prenons des exemples.

10. L’idée de somme de deux longueurs (deux aires, deux masses, deux volumes) est assez naturelle, il suffit de mettre deux lignes bout à bout(de juxtaposer deux surfaces, deux objets, deux solides). La somme des longueurs (des deux aires, des deux masses, des deux volumes) est la longueur (l’aire, la masse, le volume) de la réunion des deux lignes (deux surfaces, deux objets, deux solides). Il n’est donc pas nécessaire de passer par les nombres ni de passer par les mesures pour donner du sens à des expressions comme ajouter deux grandeurs sommables.

11. Considérons deux récipients remplis de liquides, à des températures variées. Toutes les grandeurs n’ont pas cette propriété. Examinons un contre-exemple, celui de la température.

12. Cela a du sens de dire que deux liquides ont la même température ou qu’un liquide a une température supérieure à celle de l’autre liquide. Toutefois, la température n’est pas sommable. En effet, si on mélange deux liquides ayant des températures différentes, le mélange a une température comprise entre les deux températures. La température est donc une grandeur d’une autre nature que la longueur, l’aire, la masse, le volume ou la durée qui sont des grandeurs sommables.

13. Pour mesurer une grandeur G, on choisit une unité u, c’est-à-dire la grandeur d’un étalon U de référence. III. Mesurer une grandeur. Les grandeurs que l’on qualifie de mesurables possèdent les propriétés évoquées ci-dessus.

14. Si la grandeur est sommable, ajouter deux, trois, quatre unités, etc., cela a du sens. On peut même définir les multiples de u, c’est-à-dire les grandeurs 2u, 3u, plus généralement nu comme étant respectivement égales à u+u, u+u+u, u+u+u+…+u, somme danslaquelle u est répétée n fois.

15. Il se peut que G soit égale à un multiple particulier de u, on écrit alors G = n u , ou que G soit comprise entre deux multiples successifs de u, on écrit alors nu<G< (n+1)u. On a un encadrement de G que l’on peut affiner en choisissant une autre unité u’, inférieure à u Mesurer une grandeur revient à comparer G avec les multiples successifs deu.

16. Si la grandeur n’était pas sommable, parler des multiples de l’unité ou écrire des égalités ou inégalités comme ci-dessus n’auraient pas de sens. Dans la pratique, la mesure conduit à une mesure exacte ou à un encadrement, cela dépend des unités dont on dispose. Remarques :

17. La longueur est une grandeur attribuée aux lignes. Ces lignes peuvent être composées de segments ou de courbes. La longueur d’une ligne fermée s’appelle son périmètre. Pour un cercle, on dit indifféremment : périmètre d’un cercle, longueur d’un cercle ou circonférence d’un cercle. IV.Longueurset distances dans le plan.1/ Généralités

18. Supposons que l’on ait choisi une longueur de référence u. La mesure l de la longueur L d’une ligne avec l’unité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans L. On dit que « la mesure de L avec l’unité u est égale à l », on dit aussi « la mesure de L est égale à l u ». Ce nombre peut être entier, décimal ou même non décimal.

19. Voici la liste des unités du système métrique : 2/ Pratique des mesures : a/ Unités :

21. Remarque : Il peut être utile de connaître une unité utilisée en astronomie : l’année lumière (a.l.) qui équivaut à la distance parcourue par la lumière en une année, soit environ 9,46x1012 km. Chaque unité, du kilomètre au millimètre, est 10 fois plus petite que celle qui la précède dans le tableau.

22. Quand on change d’unités pour mesurer une longueur, ce n’est pas la longueur qui change mais sa mesure. Ainsi on peut parfaitement écrire : 30 cm = 0,3 m = 3 dm = 300 mm. b/ Changement d’unités.

23. On peut si l’on dispose d’une figure à l’échelle mesurer la longueur de ce segment à l’aide d’une règle graduée. On obtient alors une valeur approchée de la mesure. Cette valeur est approchée pour au moins deux raisons : - imprécision des graduations - inexactitude possible de la figure. On peut utiliser une méthode plus mathématique à l’aide de théorèmes connus, comme celui de Pythagore. c/ Comment trouver la mesure de la longueur d’un segment ?

24. La tâche est plus délicate. Dans la pratique, on utilise un instrument, par exemple un curvimètre ou un mètre souple. d/ Comment trouver la mesure de la longueur d’une ligne courbe ?

25. En l’absence d’un tel instrument, on peut tracer une ligne brisée dont les sommets sont sur la ligne courbe. En mesurant la ligne brisée on obtient une approximation de la mesure de la ligne courbe. Intuitivement, il paraît clair que plus les points choisis sont resserrés, plus l’erreur commise est réduite.

26. Pour exprimer le résultat d’une mesure physique, il est préférable d’utiliser le symbole ≈ signifiant « à peu près égal à » ou de fournir un encadrement. • Par exemple, si en mesurant un segment de longueur L avec une règle graduée au demi-millimètre, on trouve 3,2 cm, on écrira L ≈ 3,2 cm ou mieux, puisque la précision est connue : 3,15 cm < L < 3,25 cm. e/ Remarques sur la distinction entre valeur exacte et valeur approchée d’une mesure.

27. Quand les calculs permettent d’obtenir la mesure exacte d’une longueur, en supposant exactes les données de l’énoncé, on donne cette valeur exacte comme réponse et on donne une valeur approchée si l’énoncé le demande en tronquant ou en arrondissant convenablement le développement décimal de la valeur exacte fournie par les calculs. Exemple : L = 2 π cm valeur arrondie de L à 0,1 près : L ≈ 6,3 cm.

28. 3/ Formules : a/ rappel de quelques mesures obtenues en utilisant le théorème de Pythagore : Mesure de la diagonale d’un carré de côté mesurant a  : avec la même unité. Mesure de la hauteur d’un triangle équilatéral de côté mesurant a : avec la même unité. b/ Mesure du périmètre d’un polygone : somme des mesures des longueurs des côtés. c/ Mesure du périmètre d’un cercle de rayon R : 2πR

29. a/ Distance de deux points A et B La distance entre deux points A et B est la mesure de la longueur du segment [AB]. On la note  d(A,B) ou AB. 4/ Notion de distance  :

30. Propriété Si l’on considère toutes les lignes de l’espace dont les extrémités sont A et B, elles ont toutes une longueur supérieure ou égale à AB.

31. On a en particulier ce que l’on appelle l’inégalité triangulaire : AB ≤ AC + CB quels que soient les 3 points A,B et C. L’inégalité est stricte sauf si A, B et C sont alignés et C entre A et B. En langage courant, on dit : « la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre ».

32. b/ Distance d’un point M à une droite (D) Par un point M extérieur à une droite (D), on peut mener une seule droite (D’) perpendiculaire à la droite (D). Soit H le point d’intersection de (D) et de (D’). On appelle « distance de M à (D) » la mesure de la longueur [MH].

33. NB : si le point M est sur (D), alors H=M, la distance de M à (D) est nulle. En langage courant, on dit que « MH est le plus court chemin du point M à la droite (D)».

34. Voici quatre figures : c/ Distance d’un point M à ensemble de points Dans chaque figure, F est une région délimitée par une ligne fermée. N est un point quelconque de cette ligne et M est un point fixe extérieur à F.

35. Les figures ci-dessous montrent où doit être placé le point N pour que la mesure de MN soit minimale. Sur les trois premières figures à partir de la gauche, il n’y a qu’une seule possibilité, c’est le point H. Sur la quatrième, il y a les deux possibilités H1 et H2. La mesure de la longueur de [MN] dépend de la position de N sur la ligne bordant F. La valeur minimale de cette mesure quand N se déplace est ce qu’on appelle la « distance de M à F ».

37. c/ Distance de deux droites distinctes parallèles Sur cette figure, on a deux droites fixes (D) et (D’) et deux points M de (D) et N de (D’). La mesure de la longueur du segment [MN] dépend de la position de M et N. La valeur minimale de cette mesure est ce que l’on appelle la distance de (D) et (D’).

38. La distance de deux droites s’obtient en traçant une perpendiculaire commune (D’’) à ces deux droites. La mesure du segment porté par (D’’), délimité par (D) et (D’) donne la valeur de cette distance (sur la figure : H1M1 ou H2M2).

39. L’aire est une grandeur attribuée aux surfaces (régions) du plan.Toute surface occupe une étendue ; cette étendue est ce que l’on appelle « l’aire ». Les mots « aire » et « superficie » sont synonymes en mathématiques. Dans le plan, les seules surfaces que nous allons considérer seront composées d’une ou d’un nombre fini de régions délimitées chacune par un nombre fini de lignes fermées. V.Aires dans le plan.1/ Généralités

41. Mesure d’une aire : Supposons que l’on ait choisi une aire de référence u. La mesure a de l’aire A d’une surface avec l’unité u est par définition le nombre de fois que u est comprise dans A. On dit « la mesure de A avec l’unité u est égale à a.u » ou « la mesure de A est égale à au ». On écrit : mesu A= aou plus simplement   A = au. Ce nombre peut être entier, décimal ou non décimal.

42. Les contenus mathématiques de ce paragraphe mettent en relation trois notions différentes : • La surface (objet géométrique) • L’aire (grandeur) • La mesure (nombre). Vous devez faire attention dans les expressions et les notations utilisées de ne pas confondre ces trois notions.

43. En particulier, il vaudrait mieux ne pas utiliser le mot « surface » quand on veut parler « d’aire ». Il faudrait aussi éviter de dire ou d’écrire que les deux surfaces sont égales sous le prétexte qu’elles ont la même aire.

44. Les aires de ces trois figures sont toutes égales à 4 cm2, mais les trois surfaces ne sont pas égales entre elle, elles ne sont même pas superposables. Exemples :

45. Voici la liste des unités les plus usitées du système métrique. 2/ Pratique des mesuresa/ Unités :

46. Chaque unité est cent fois plus petite que celle qui la précède dans le tableau. Les unités d’aires du système international sont construites comme produit de deux longueurs. Ainsi : 1 décamètre2 = (1 décamètre)2 = (10 mètres)2 = 102 mètres2 = 100 mètres2. La puissance deux (« au carré ») affecte aussi le préfixe déca qui ne signifie plus 10 mais 102. On dit souvent qu’un cm2 c’est un carré de un cm de côté. Cette phrase est maladroite. Elle laisse à penser que l’unité d’aire, ici le cm2, est une surface de forme carrée. Il vaut mieux dire « un cm2, c’est l’aire d’un carré de un cm de côté » de ne pas oublié que qu’un cm2, c’est aussi l’aire des diverses surfaces dessinées ci-après.

48. Il peut être utile de connaître les unités du système agraire (dont la connaissance n’est pas exigible à l’école primaire, même si elles peuvent être utilisées).

49. Quand on change d’unités pour mesurer une aire, ce n’est pas l’aire qui change mais sa mesure. Ainsi, on peut parfaitement écrire : 30 cm2 = 0,003 m2 = 0,3 dm2 = 3 000 mm2. Plus l’unité choisie est petite, plus le nombre qui exprime la mesure augmente, mais l’aire ne change pas. b/ Changement d’unités :

50. Pour certaines surfaces, il existe des formules. • Pour les surfaces planes quelconques, il est souvent commode de les décomposer en surfaces plus simples pour lesquelles il existe une formule de calcul. On peut aussi procéder par soustraction. • Exemple : c/ Comment trouver la mesure de l’aire d’une surface ?