PROBLEM SOLVING PROBLEM POSING

1. PROBLEM SOLVING PROBLEM POSING Sviluppare e potenziare in matematica la capacità di intuire, immaginare, progettare, ipotizzare, dedurre, controllare e verificare.

2. IL PROBLEM SOLVING(PISA 2012) Per problem solving si intende la capacità di un individuo di mettere in atto processi cognitivi per comprendere e risolvere situazioni problematiche per le quali il percorso di soluzione non è immediatamente evidente. Questa competenza comprende la volontà di confrontarsi con tali situazioni al fine di realizzare le proprie potenzialità in quanto cittadini riflessivi e con un ruolo costruttivo.

3. “Il problema è un gioco con cui si impara la matematica, è qualcosa da risolvere: devi usare i calcoli e ci devi mettere anche la testa per fare ragionamenti logici: è un rompicapo che serve ad allenare la mente!” Matteo

4. L’attività di problem solving e di problem posing non devono essere identificate con quella di risoluzione di esercizi applicativi; esse sono infatti attività più complesse. Gli esercizi applicativi possono essere risolti utilizzando concetti e regole già apprese, mentre la soluzione di un problema nuovo richiede: capacità decisionali tattiche e strategiche; l’utilizzazione di procedure e di strategie da scoprire.

5. IL PROBLEM SOLVING Il problem solving potrebbe essere definito come un approccio didattico teso a sviluppare l'abilità di soluzione di problemi non solo sul piano cognitivo, ma anche sul piano: psicologico comportamentale operativo – metacognitivo.

6. PROBLEM SOLVING E COMPETENZE ESSENZIALI DELL’INDAGINE PISA Fronteggiare efficacemente richieste e compiti complessi comporta non solo il possesso di conoscenze e di abilità, ma anche l’uso di strategie necessarie per l’applicazione di tali conoscenze e abilità, nonché emozioni e atteggiamenti adeguati e un’efficace gestione di tali componenti. Quindi le competenze essenziali riguardano non solo la sfera cognitiva, ma anche la componente motivazionale, sociale e comportamentale.

7. RUOLO DELLE ABILITA’ METACOGNITIVE Le abilità metacognitive riguardano l’insieme delle conoscenze che un individuo possiede riguardo il funzionamento della propria mente. L’intero flusso di soluzione deve essere accompagnato da un attento controllo, ovvero da quei processi che permettono al soggetto di dialogare con se stesso accompagnando e guidando in modo consapevole l’esecuzione del compito. (Ho compreso il problema? L’ho impostato in modo corretto? Sto eseguendo i passaggi giusti?)

8. IL PENSIERO PRODUTTIVO: L’INSIGHT o ILLUMINAZIONE Generalmente il PROBLEM SOLVING è associato allo sviluppo delle abilità logico-matematiche di risoluzione di problemi. Gli studiosi delle scienze cognitive, e per primi gli psicologi della Gestalt, hanno studiato il ruolo cruciale della ristrutturazione cognitiva necessaria per arrivare ad una soluzione. In particolare Wertheimer, parlando del pensiero produttivo, ha sottolineato l’importanza, nella didattica, della stimolazione che alleni le intuizioni spontanee degli alunni (INSIGHT o ILLUMINAZIONE), piuttosto che l’esercitazione di ripetizioni meccaniche di soluzioni e procedure già apprese.

9. LA DIDATTICA PER PROBLEMI Il metodo della didattica per problemi consente agli allievi di imparare a risolvere, con gradualità, problemi sempre più complessi che permettono loro di acquisire abilità cognitive di livello elevato. Un problema può consistere in una domanda che richiede una risposta precisa ed esauriente o in un quesito che richiede l’individuazione o la costruzione di regole e di procedure che soddisfino condizioni predefinite e consentano di risolvere il quesito stesso.

10. Non tutti i problemi hanno dei numeri e non tutti i problemi richiedono dei calcoli per essere risolti. E’ importante che i bambini si abituino ad affrontare situazioni problematiche di tipo molto diverso tra loro, con dati mancanti, inutili o sovrabbondanti. Non evitiamo domande troppo difficili! Spesso si è spinti dall’esigenza di gratificare l’alunno con un successo, evitando di incorrere in strategie sbagliate quando si risolvono dei problemi.

11. RUOLO DELL’ERRORE Il successo non deve essere identificato con la risoluzione del problema, ma piuttosto con la costruzione di strategie anche parziali, anche inadeguate, ma soprattutto significative. Più che alle risposte corrette, si deve dare importanza ai processi di pensiero significativi. Prendere consapevolezza dell’errore è importantissimo per l’autovalutazione (riflessione metacognitiva)

12. RUOLO DELL’INSEGNANTE I problemi dovrebbero essere discussi e condivisi dal gruppo classe e/o nei piccoli gruppi (PROBLEM SOLVING COLLABORATIVO). Pertanto i docenti assumono la funzione di guida metodologica, di assistenza e di consulenza per ciascun allievo o per il gruppo di alunni impegnato nella soluzione del problema.

13. RUOLO DELLA DOMANDA E’ la domanda a tenere la “regia” del problema; in base alla domanda possiamo sapere quali dati utilizzare e quali no. E’ la domanda che guida l’organizzazione dei dati del problema: se allo stesso problema cambiamo la domanda infatti cambierà anche l’utilizzo che facciamo dei dati.

14. I REGISTRI SEMIOTICI(rappresentazioni dei concetti) Orali; Iconici; Scritti; Manipolative. Per sua natura l’essere umano si forma spontaneamente immagini mentali di ciò con cui entra in contatto in forma sensibile: vista, udito, tatto. Nel processo di apprendimento ogni nuova informazione e rappresentazione produce un’immagine mentale. All’inizio si costruiscono immagini mentali deboli, successivamente queste immagini, arricchite da nuove informazioni e rappresentazioni diventeranno più stabili e quindi veri e propri concetti.

15. MODELLO COSTRUTTIVISTA DELLE COMPONENTI DELL’ ABILITA’ DI SOLUZIONE NEL PROBLEM SOLVING MATEMATICO COMPRENSIONE DEL TESTO

16. COMPRENSIONE In tale competenza sono coinvolte sia abilità generali di comprensione dei testi verbali (STRUTTURA VERBALE), sia abilità specifiche di comprensione dello schema matematico (STRUTTURA MATEMATICA). E’ una condizione necessaria, ma non sufficiente per spiegare la comprensione dei problemi matematici che richiede anche: la conoscenza schematica: ovvero la rappresentazione cognitiva delle informazioni; la conoscenza strategica, data dalla comprensione delle operazioni necessarie per la soluzione, dei piani e delle strategie.

17. RAPPRESENTAZIONE Permette la strutturazione delle relazioni logiche tra i dati e la domanda attraverso schematizzazioni. Il problema può essere rappresentato in diversi modi: con disegni, vignette, simboli, grafici, tabelle. Ogni bambino può scegliere la più adatta al suo stile cognitivo, anche a seconda dell’età.

18. CATEGORIZZAZIONE Consiste in quella capacità che, attraverso il riconoscimento delle somiglianze e delle differenze degli schemi risolutori, consente di individuare come simili i problemi che si risolvono nello stesso modo, ovvero che hanno la stessa struttura matematica. La struttura matematica o struttura profonda del problema è la relazione matematica che intercorre tra i dati e quindi le operazioni che è necessario svolgere. Per individuare le relazioni tra i dati è necessario fare riferimento alla domanda.

19. PIANIFICAZIONE E’ il processo che consente di organizzare i passaggi delle operazioni per arrivare alla soluzione di un problema. Consiste quindi nella corretta sequenza delle operazioni di calcolo, nonché nella sequenza più breve ed efficace per giungere al risultato. E’ utile pianificare il problema scrivendo i vari passaggi per arrivare alla soluzione.

20. AUTOVALUTAZIONE Previsione: permette di valutare il livello di prestazione attraverso l’analisi della difficoltà del compito e della corretta applicazione strategica. Pianificazione: organizza le azioni attraverso operazioni che conducono all’obiettivo previsto. Monitoraggio: è la valutazione in itinere delle singole fasi del compito già intrapreso. Valutazione: comprende la valutazione globale della prestazione e delle strategie utilizzate per raggiungere il risultato finale.

21. L’autovalutazione è’ un’abilità coinvolta in tutti i compiti cognitivi. La previsione, la pianificazione, il monitoraggio e l’autovalutazione sono abilità che la mente utilizza quando riflette sui compiti cognitivi che sta per affrontare, che sta affrontando o che ha affrontato. L’autovalutazione accompagna tutte le fasi del problem solving matematico a partire dalla comprensione fino ad arrivare agli algoritmi di calcolo.

22. L’autovalutazione è in stretta relazione con i meccanismi autoregolativi e metacognitivi dell’apprendimento, attraverso i quali il soggetto attiva un processo di continuo aggiustamento, scoperta e correzione degli errori, di verifica della propria competenza. L’autovalutazione è un requisito trasversale per le diverse attività cognitive.

23. AUTOVALUTAZIONEArgomento ………. Ripenso alle diverse fasi del lavoro con la maestra ……. Ricostruisco il lavoro svolto in classe e quello svolto a casa ………………………………………………….. Provo a trovare collegamenti con la vita fuori della scuola ……………………………………………….. Analizzo cosa ho capito molto bene …………………… Analizzo cosa ho capito solo in parte e perché ……….. Analizzo cosa ho capito poco e devo approfondire……

24. Le vacanze di Lorenzo: una proposta di problem solving in una classe prima (maggio) Lorenzo è un bambino di prima elementare. Durante i mesi di luglio e agosto trascorrerà insieme ai suoi genitori e ai suoi 2 nonni 23 giorni al lago e una settimana al mare. Quanti giorni di vacanza farà Lorenzo?

25. Le vacanze di Marco: una proposta in una classe seconda Durante le vacanze estive Marco ha trascorso 25 giorni in montagna e tre settimane al mare. E’ rimasto a casa tutti gli altri giorni. Quanti giorni di villeggiatura ha fatto Marco? Quanti giorni è rimasto a casa?

26. Le vacanze di Gerlando: proposta di problem solving per le classi del secondo biennio Durante le vacanze estive Gerlando ha trascorso 25 giorni in una ridente località alpina vicina a Cortina, 2 settimane in crociera negli atolli maldiviani in compagnia degli zii peruviani, un weekend a Parigi senza riuscire ad incontrare neppure una volta Gigi, un altro weekend a Londra e, prima di tornare a scuola, ha trascorso una settimana con i nonni a New york. Quanti giorni, durante le vacanze estive, è rimasto a casa Gerlando?

27. I pennarelli di Lucia: problem solving a più soluzioni. A Lucia piace molto giocare con i numeri. L’altro giorno contando i suoi pennarelli si è accorta che contandoli per 2 ne avanzava 1, contandoli per 3 ne avanzava 2, contandoli per 4 ne avanzava 3. Sapresti indovinare quanti pennarelli ha Lucia? Spiega il tuo ragionamento. Scrivi il numero che hai trovato usando moltiplicazione e addizione. Dopo vari tentativi dovrebbero arrivare ad una delle possibili soluzioni: 2x5+1=11 3x3+2=11 4x2+3=11

28. Altre possibili soluzioni Lucia ha 23 pennarelli perché: Per 2 2x11+1=23 Per 3 3x7+2=23 Per 4 4x5+3=23 Lucia ha 35 pennarelli perché: Per 2 2x17+1=35 Per 3 3x11+2=35 Per 4 4x8+3=35

29. IL PROBLEM SOLVING NELLE FIABE Una delle strategie che si rivelano vincenti nella trasposizione didattica, soprattutto con i bambini della scuola per l'infanzia e dei primi anni della scuola primaria, è fare matematica attraverso il mondo incantato delle fiabe. Si rafforzeranno, così, il desiderio di apprendere, la ricerca di soluzioni, la voglia di analizzare, intuire, capire.

30. Tutte le fiabe hanno una struttura molto simile: i protagonisti si trovano a dover affrontare un problema, una difficoltà. Hanno insomma quella che, anche in matematica, si definisce una situazione problematica da risolvere. Alcuni psicologi stanno attualmente svolgendo una ricerca, in alcune scuole primarie, con l’intento di verificare che la capacità di apprendimento è superiore in quei bambini che vengono in contatto, con una certa frequenza, con il mondo delle fiabe.

31. ANALOGIE TRA PROBLEMI E FIABE Nella soluzione di una situazione problematica gli alunni sono sollecitati a cercare di percorrere il sentiero che li porta a uscire da una difficoltà, per raggiungere una meta che non sia immediatamente, facilmente raggiungibile. Le conoscenze che hanno già acquisito però non sono sufficienti per dare una risposta e i bambini quindi sono chiamati a mettere in gioco tutte le abilità, le intuizioni, la creatività, la fantasia e le competenze personali, per scoprire modalità risolutive. E’ facile cogliere in questa definizione le analogie con la fiaba.

32. Nella fiaba il protagonista percorre un sentiero per raggiungere una meta che non è immediatamente raggiungibile ed è chiamato ad applicare tutte le abilità, le intuizioni e le competenze personali, così come l’inventiva e l’immaginazione.

33. MATEMATICA E CREATIVITA’(Albert Einstein: imagination is more important than Knowledge) Secondo Gardner l’individuo creativo è quella persona che sa risolvere regolarmente problemi, sa elaborare prodotti e formulare nuove ipotesi. L’attività immaginativa, quindi, è importante per la risoluzione dei problemi e ha un ruolo importante per la formazione del pensiero scientifico in generale. Einstein affermava: l’immaginazione è più importante della conoscenza.

34. IMMAGINAZIONE E PROBLEMI Favorire l’immaginazione operativa rende possibile risolvere problemi come il seguente: “Chiara ha un vassoio di caramelle. Matteo ne prende 15 per sé. Valentina regala a Chiara altre 9 caramelle. Ora Chiara ha 63 caramelle in tutto. Quante caramelle aveva all’inizio?

35. COME RISOLVONO I BAMBINI? Bambini di terza elementare non allenati ad “immaginare” la situazione, in percentuale molto elevata non sanno rispondere al problema. Bambini della stessa età, allenati a “vedere” la situazione immaginano operativamente le diverse scene e fanno i conti alla rovescia.

36. RAGIONAMENTO Prima che Valentina regala le caramelle a Chiara, Chiara ne ha 63 – 9 cioè 54. Quando Matteo ne prende 15, Chiara ne aveva 54 + 15 cioè 69. Operativamente, passo dopo passo, immaginando il succedersi delle scene, la percentuale di soluzione corretta aumenta notevolmente.

37. Questo grafico aiuta molto nel caso di bambini non allenati ad immaginare e la percentuale di risposte corrette sale dallo 0% al 60%.

38. POTENTE VALORE FORMATIVO DELLE FIABE Le fiabe insegnano che chiunque può riuscire ad arrivare alla meta che si è prefissata, che le difficoltà ci saranno, ma non bisogna rinunciare a combatterle. La fiaba fa capire al bambino che anche lui potrà riuscire ad emergere nella lotta quotidiana contro ogni ostacolo. E’ proprio questo il messaggio che diamo agli alunni ogni volta che li incoraggiamo a cimentarsi nella soluzione di una situazione problematica

39. QUALI FIABE MATEMATICHE?Alcune possibili proposte operative Cappuccetto rosso: che cosa contiene il cestino che porterà alla nonna? Quanto potrebbe pesare? Sono di più le frittelle o le fragole? Quanti sono i fiori che raccoglie nel bosco?…. Hansel e Gretel: quanti sassolini hanno buttato sul sentiero? (Costruzione del concetto di decina) Quanti Kg è ingrassato Hansel? La bella addormentata nel bosco: quanti giorni ha dormito la principessa dopo l’incantesimo della strega Malefica? Quante persone si sono addormentate nel castello?

40. Alì Babà e i 40 ladroni Alì Babà porta a casa le monete e, insieme alla moglie, le sistema in due contenitori da 123 e 152 monete. Quante sono in tutto? Alì Babà e la moglie sistemano 15 monete in 8 contenitori e 18 monete in altri 2 contenitori. Quante monete possiedono in tutto? Alì Babà e le moglie contano 84 monete. Preventivano di spenderne 12 ogni mese. Per quanti mesi è sufficiente il denaro? Se invece ne spendono 10 ogni mese che cosa succede?

41. Harry Potter e la pietra filosofale Quanto è lunga la bacchetta magica di Harry? Disegna tutte le bacchette magiche che osserva Harry e confrontale (lavoro sulla misura). Prepara una tabella con i gusti delle caramelle “Tutti gusti” e calcola le probabilità di pescare ad esempio caramelle al gusto di gorgonzola.

42. LE CARAMELLE DEI MAGHI

43. Qual è la probabilità di pescare una caramella al gorgonzola? 8 caramelle su 50, quindi il 16 % di probabilità di pescare caramelle al gusto di gorgonzola. Ma ancora si possono creare problemi ipotizzando di fare un viaggio per Hogwarts, la scuola di magia. Prezzi dei biglietti, percorso, chilometraggio, preventivi di spesa, cambio monetario.

44. IL PROBLEM POSING Questa attività comporta due modi distinti ma tra loro intrecciati di agire: La creazione di un problema basato sulla riflessione intorno ad un argomento in esame; La proposta di domande che analizzano situazioni “limitrofe” ad un problema in esame

45. L’ARTE DEL PROBLEM POSING Gli autori del testo che ha reso celebre il problem posing, Brown e Walter, distinguono due modi diversi di dire che chiariscono il tipo di problema: Fare o farsi domande, Chiedere sempre: “E se…?” oppure “E se non…?”

46. IL PROBLEM POSING Sviluppa il pensiero divergente attraverso la negazione di un dato certo sollecitando la capacità di porre e sviluppare problemi. L’attività di Problem Posing problematizza e stimola a: utilizzare le alternative, porre domande, fare congetture, formulare nuove proprietà e ulteriori domande.

47. Peter Pan Peter Pan decide di andare a sconfiggere Capitan Uncino, e per questo porta con sé 243 granelli di polvere magica. Volando però si imbatte in una grande nuvola e ne perde 63…. Domanda: Quanti granelli rimangono a Peter Pan? …. Per combattere Capitan Uncino, Peter Pan decide di portare con sé due suoi amici e di distribuire in parti uguali la polvere magica rimasta… Domanda: Quanti granelli di polvere magica andranno a ciascuno?

48. …Arrivati da Capitan Uncino i 3 amici scoprono però che anche 4 pirati alleati del Capitano hanno un sacchettino ciascuno contenente 54 granelli di polvere magica Domande: 1) Quanti granelli hanno i pirati? 2) Quanti granelli in più hanno i pirati rispetto a Peter Pan e ai suoi amici? …allora arriva Campanellino…. Domanda: Se Campanellino regala a Peter Pan 600 granelli di polvere magica, riusciranno Peter Pan ed i suoi amici a sconfiggere i Pirati? E se il sacchettino di ogni pirata contenesse 10 granelli di polvere in più?…

49. GRAZIE PER L’ATTENZIONE E… BUON LAVORO!!