Chapitre IV : Commande analogique des SLI par retour de sortie ou asservissement linéaire et continu

1. Chapitre IV : Commande analogique des SLI par retour de sortie ou asservissement linéaire et continu IV-1 Principe et objectif IV-2 Transmittance associée des SA (Système Asservis) IV-3 Analyse des SA continus IV-4 Précision d’un système asservi, immunité aux perturbations IV-5 Synthèse des asservissements linéaires

2. Chapitre IV : Commande analogique des SLI par retour de sortie ou asservissement linéaire et continu IV-1 Principe et objectif Pour asservir la sortie d’un système à une consigne la manière la plus logique (sans être la plus efficace) est de comparer la sortie à la consigne et de corriger le système pour diminuer cet écart consigne sortie. Perturbations Signale de commande + (t) u(t) e(t) ou consigne Correcteur Puissance Actionneur Système quelconque s(t) - Système formel G(p) r(t) Capteur H(p) Électronique basse puissance La loi de commande u(t) qui sera adressée au système via un organe de puissance et un actionneur, sera conditionnée par la nature du système et l’image de la sortie r(t) fournie par un capteur qui sera comparée à la consigne e(t). Les méthodes développées dans ce chapitre ont pour but de calculer la transmittance C(p) du correcteur de manière à atteindre les spécifications demandées en termes de stabilité, de précision statique ou dynamique ainsi que l’immunité aux perturbations (entrées non contrôlable du système). On intègrera au système la partie puissance et actionneur pour former le système formel de transmittance G(p). G(p) est déterminée à partir d’une expérience d’identification, le capteur est nécessaire lors de cette identification. Dans le cas où le capteur est beaucoup plus rapide que le système (cas le plus fréquent), il sera inclus dans G(p). Si ce n’est pas le cas H(p) doit être déterminé.

3. IV-2 Transmittance associée des SA (Système Asservis) 1 Transmittance en boucle ouverte TBO ou FTBO + + + G1(p) G2 (p) E (p) S(p) - R(p) H(p) 2 Transmittance en boucle fermée FTBF + T(p) E (p) S(p) - Schéma équivalent à retour unitaire Fu : transmittance à retour unitaire 3 Transmittance vis à vis des perturbations

4. IV-3 Analyse des SA continu Cette étude repose sur une principe très simple : Toutes les caractéristiques du SA sont reliées de façon simple aux caractéristiques de la FTBO (T(p)) que ce soit : • La transmittance • la stabilité • la précision statique • la précision dynamique • l’immunité aux perturbations La partie analyse consiste à établir les relations entre les caractéristiques en boucle fermée et la FTBO, aussi le respect du cahier des charges entraînera certaines contraintes sur la FTBO qui devront être satisfaite par la présence du correcteur. 1 Relation graphique FTBO  FTBF (Abaque de Black-Nichols) Tout système asservi peut se mettre sous la forme d’un système asservi à retour unitaire (Fu), la relation entre la FTBO et la FTBF est alors simple : Il est donc possible d’exprimer le module et la phase de Fu en fonction de ce de T.

5. Im 1 b 1+T T a 1+a Re Im On sait que T Re T+T* T* L’abaque de Black-Nichols est un réseau de courbes tracées dans le plan de Black (A(dB) vs (deg)) permettant de passer simplement des gains et phases en BO, aux gains et phases en BF à retour unitaire. Cet abaque comporte deux types de courbes : • Les contours d’amplitude • Les contours de phase

6. Abaque de Black-Nichols gain Aumax Q Au(0) Au(0) BF Aumax Il permet d’obtenir rapidement des infos sur la boucle fermée : • Gain statique en BF Au(0) • S’il existe un contour d’amplitude tangent au lieu de transfert en BO  présence d’une résonance en BF au gain Aumax (valeur du contour) • Bande passante à –3dB (suivant définition Au(0)-3dB ou Au(max)-3dB).

7. Re 2 Stabilité des SA – Critère de Nyquist On sait que la stabilité d’un système asservi de transmittance F(p) est assurée si F(p) n’a que des pôles à partie réelle négative. + + G T=GH E S E S - - Aussi le système est stable si 1+T(p) ne possède pas de racine à partie réelle >0 Mais ce qui nous intéresse ici c’est de déterminer la stabilité de F u(p) à partir de la connaissance complète (racines et pôles) de T(p). Donc regardons les conséquences sur T(p) de la stabilité de Fu(p) : Théorème de Cauchy Soit F(p) une fonction de la variable complexe p. Soit Z le nombre de zéros et P le nombre de pôles de F(p) situés à l’intérieur d’un contour fermé (C) dans le plan complexe. Lorsque p décrit le contour (C) dans le sens négatif, alors F(p) décrit un contour fermé () tel que , c’est-à-dire que la courbe () fait (P-Z) tours autour de l’origine dans le sens direct si P-Z > 0, dans le sens indirect si P-Z <0. Zéros Im F(p) o p Im o x Pôles x o x x o C x Re

8. Im + C 0+ Enoncé du critère de Nyquist Une condition nécessaire et suffisante de stabilité pour un système asservi est que le lieu de transfert complet de la FTBO [T(p)] fasse un nombre de tours autours du point –1 (point critique) égal au nombre de ses pôles à partie réelle positives  Re 0- - On peut appliquer ceci à 1+T(p) : Si 1+T(p) fait P-Z tours autour de l’origine alors T(p) fera P-Z tours autour du point –1 appelé point critique. Critère de Nyquist Pour qu’un système asservi soit stable il faut que 1+T ne possède pas de zéros à partie réelle positive. Si on choisit le contour suivant : (C) = tout le coté droit du plan complexe Quand p décrit dans le négatif le contour (C) alors 1+T(p) fera P (P: nombre de pôle de T(p) dans (C)) tours autour de l’origine donc par conséquent T fera P tours autour du point critique –1. On dit que quand p décrit dans le contour (C)  T(p) décrit le lieu detransfert complet Tracé du lieu de transfert complet • de • de • le demi cercle de rayon  on reste à l’origine (gain nul) • de • Si T(p) n’a pas de pôle à l’origine : un point sur l’axe réel T(0) • Il existe un pôle d’ordre   1 à l’origine :Quand 0 T(p) décrit un cercle de rayon infini dans le sens négatif et tourne de .. Le lieu de transfert classique comporte alors une branche infinie donc par le lieu de transfert complet a deux branches infinie. Elles sont rejoint par  un demi cercle de rayon infini dans le sens négatif.

9. Exemple + T E S - Tracer le diagramme de Bode et le lieu de transfert complet sachant que En déduire les conditions de stabilité. • Pour K>0 • K petit –1 tour autour du point critique  SA Instable • K moyen 1 tour autour du point critique  SA Stable • K grand –1 tour autour du point critique  Instable • Pour K<0  symmétrie par rapport à l’axe des imaginaires • 0 tour autour du point critique  SA Instable

10. Cas particulier : Le Critère de Revers Si T(p) n’a pas de pôles à partie réelle positives  le système est stable en boucle ouverte. Donc dans ce cas le lieu de transfert complet ne doit pas entourer le point critique. On peut remarquer que pour les systèmes que nous avons quand  , T  et T . Ainsi le lieu de transfert classique tourne dans le sens rétrograde dans le plan de Nyquist quand  , il suffit donc de constater que le lieu de transfert classique ne doit pas crocheter le point critique (-1). Le critère du revers est utilisable dans toutes les représentation Bode Plan complexe : Nyquist Black gain Im Re -1 OdB -180° phase -180° État du système : Stable Juste Oscillant Instable

11. Degré de stabilité (système stable en boucle ouverte) La stabilité est certes un point très important de la théorie des systèmes linéaires mais il ne faut pas oublier que la stabilité n’est pas une condition suffisante pour que les performances du système soient satisfaisantes : les oscillations transitoires mal amorties d’un système stable mais trop proche de la limite d’instabilité peuvent être intolérable. Autrement dit la stabilité au sens mathématique n’entraîne pas nécessairement une bonne stabilité. Une bonne stabilité se mesure par la distance du lieu de transfert au point critique. Pour quantifier (chiffrer) cette distance on utilise soit la notion de marge de gain et marge de phase, soit le facteur de résonance Q. a Marge de gain et marge de phase (G et ) (à partir de de la FTBO) Bode Plan complexe : Nyquist Black Im gain Re A O -1 OdB  -180° G  phase G -180° G=-20.log(OA) >0 car OA < 1 Pour un système asservi on prend comme ordre de grandeur :

12. En prenant G > 10 et  > 45° on assure d’une part une garantie suffisante par rapport à des variations de gain imprévue en BO, ou par rapport à des retards parasites dont on a pas tenu compte, et d’autre part une amélioration des critères de performances a travers des transitoires mieux amortis. b Facteur de résonance Q (Dans le plan de Black) Plus la FTBO T(p) d’un système passe près du pont critique, plus Q=Aumax-Au(0) est élevé, par conséquent moins le régime transitoire du système est amorti. Donc on interdira la FTBO de d’aller au delà d’un certain contour de manière à diminuer le gain maxi en boucle fermé (Aumax) et de la même manière garantir un amortissement suffisant. gain Aumax Aumax Q Au(0)

13. IV-4 Précision d’un système asservi, immunité aux perturbations 1 Généralités + + + La consigne e(t) constitue un modèle pour la sortie s(t) dont r(t) est l’image fournie par le capteur de transmittance H(p).Rappelons que dans la majorité des cas, le capteur est beaucoup plus rapide que le système et en conséquence on peut le considérer comme un simple facteur d’échelle  H=Cte. Dans la pratique, il peut se passer : G1(p) G2 (p) E (p) S(p) - R(p) H(p) • L’entrée varie : le système fonctionne en suiveur et réalise la fonction asservissement • L’entrée est constante mais un signal de perturbations peut venir se superposer au signal utile en un point quelconque de la chaîne. Le fait de maintenir =0 malgré cette perturbation impose que la système fonctionne en régulateur En fait, les deux sources d’erreur sont présentes simultanément, mais en vertu du théorème de superposition, on peut écrire : En effet si on calcul l’erreur du schéma ci-dessus on observe bien les deux contributions: Donc toute l’information sur la précision d’un SA est contenu dans (t), mais le problème est que (t) dépend de e(t). Aussi la précision d’un SA sera caractérisée par certaines valeurs prises par (t) pour des entrées particulières

14. e(t) e(t) e(t) r(t) 2 Précision statique et dynamique Prenons l’exemple d’un SA soumis à un échelon. On peut définir la précision statique comme : Pour ce qui est de la précision dynamique, elle est reliée à la partie transitoire de r(t) donc l’aire hachurée 3 Précision statique et erreurs stationnaires a – Définitions des erreurs stationnaires d’ordre n : • n=1 (La consigne est l’échelon) Erreur de position Erreur de vitesse ou de poursuite • n=2 (La consigne est la rampe) Erreur d’accélération • n=1 (La consigne est une parabole)

15. b – Erreurs stationnaires relative à la consigne A l’aide du théorème de la valeur finale : On sait que quand Deux cas possibles En résumé 1 – Pas de pôle à l’origine (=0) 2 – Pôle à l’origine d’ordre  Conclusion : Il faut augmenter le gain statique en boucle ouverte (K) et créer des pôles à l’origine.

16. c – Erreurs stationnaires relative aux perturbations A l’aide du théorème de la valeur finale : On sait que quand Deux cas possibles 1 – Pas de pôle à l’origine (=0 et =0) En résumé 2 – Pôle à l’origine d’ordre  et  •  1 Conclusion : Il faut augmenter le gain statique et créer des pôles à l’origine dans la partie G1.

17. Le temps de réponse à 5% Le dépassement à l’échelon Dans le domaine des temps : La bande passante Le gain à la résonance (facteur de résonance) Dans le domaine des fréquences : e(t) 4 Précision dynamique Elle sera d’autant meilleure que la bande passante (BP) sera élevée en boucle fermée donc en boucle ouverte. Quelques caractéristiques liées à la précision dynamique : La précision dynamique est contenu dans la partie transitoire de (t) lorsque la consigne est un échelon. On peut quantifier la précision dynamique par: minimum On peut aussi utiliser le temps de réponse à 5% (ou x%) . En fait toutes les quantifications varient de façon monotone avec l’aire hachurée : elles dépendent de deux paramètres dynamiques essentiels de la transmittance Fu(p) : La fréquence caractéristique c pour un 1er ordre on a : pour un 2ème ordre on a : Le facteur de résonance Q (Black-Nichlos) pour un 2ème ordre on a : c est proportionnelle à 0 à Q constant

18. De façon générale on prendra : et une fréquence caractéristique la plus élevée possible • Quand 0 à Q constant, il est évident que la surface hachurée diminue continûment, donc la précision dynamique s’améliore de façon monotone avec 0 (donc avec c). • Quand Q à 0constant, la surface hachurée passe par un minimum, donc il existe une valeur optimum de Q=Qo Citons deux estimations de Qaqui définissent en général la fenêtre de réglage de Q : Le temps de montée à 5% qui correspond pour un 2nd ordre à : La minimisation de l’intégrale pour un 2nd ordre :

20. IV-5 Synthèse des asservissements linéaires + La synthèse d’un système asservi se ramène à la détermination de C(p) de manière à ce que le SA satisfasse le cahier des charges portant sur : + + C(p) G1(p) G2 (p) S(p) E (p) - R(p) • La précision statique • La précision dynamique • L’immunité aux perturbations H(p) Deux méthodes pour résoudre ce problème : La méthode fréquentielle : elle consiste à utiliser directement les résultats obtenu dans la parti analyse établissant les relations entre les propriétés en BO et en BF. On cherche à rendre compte du cahier des charges en imposant des contraintes sur la FTBO à l’aide C(p): C(p) joue le rôle d’organe de réglage La méthode du modèle : elle consiste à se donner la fonction de transfert finale en BF. On détermine alors C(p) en fonction des caractéristiques du système (zéros et pôles), de la faisabilité de C(p) et du modèle choisi pour F ou Fu pour garantir le cahier des charges. Pas abordée dans ce cours 1 Problème des perturbations L’effet permanent des perturbations est annulé en annulant 0n : 01 =0 : l’effet d’une perturbation Cte est nul en régime permanent. 02 =0 (bien sur 01 =0) : l’effet d’une perturbation rampe n’a pas d’effet sur la sortie en régime permanent. etc....

21. De façon générale on prendra : et une fréquence caractéristique la plus élevée possible Si la perturbation n’est pas mesurable = pas de solution Si la perturbation est mesurable,alors il est toujours possible d’annuler formellement ses effets en intercalant un correcteur C1(p) tel que : H1 capteur mesurant le bruit C1(p) H1 (p) + - + + + G1(p) G2 (p) C(p) E (p) S(p) - R(p) H(p) Cependant la réalisation pose un problème. En effet G1 est généralement un passe bas , donc C1 n’est pas réalisable. Cependant on peut conserver l’égalité sur une bande limitée englobant la bande fonctionnement du SA. D’autre part, il faut que G1 soit à phase minimale (pas de zéros à partie réelle positive), sinon C1 aurait des pôles à partie réelle positive et serait par suite instable : donc irréalisable 2 Méthode fréquentielle et commande PID (Proportionnelle, Intégrale, Dérivée) (Stable en BO) C(p) va servir à corriger : • L’instabilité • Les défauts de précision • La lenteur • Un dépassement excessif Rappels

22. a – Commande proportionnelle (P) : En augmentant k on translate verticalement le lieu de transfert en BO dans le plan de Black. Tc(p) 2.3 dB On augmente donc le gain statique, par la même occasion la précision statique mais en contre partie on augmente l’instabilité en se rapprochant du contour Q=2.3dB, ou bien on diminue  et G -180° Tnc(p) Il est nécessaire après avoir réglé k de déformer le début du lieu de transfert sans toucher la partie proche de la résonance : Correcteur PI b – Commande proportionnelle et intégrale (PI): gain Bode Black 20Log(k) phase -180° -90° -90°

23. Attention :ine doit pas être trop grand car Rôle : Créer un pôle à l’origine supplémentaire (ce qui permet d’annuler une erreur stationnaire supplémentaire), sans changer le lieu de transfert en haute fréquence Exemple de réalisation C R2 R1  - u + Tc(p) 2.3 dB Pour le signe de k on utilisera en plus un inverseur -180° Choix de k : On règle le facteur de résonance avec k. Tnc(p) Choix de i : Il faut que de sorte que le recul de phase supplémentaire ne diminue pas la marge de phase. En général on prend : Remarque : Pour annuler plusieurs erreurs stationnaires on peut cascader plusieurs PI.

24. gain Bode Black phase 90° 90° 0° 2.3 dB Tnc(p) -180° Tc(p) c – Commande proportionnelle et dérivée (PD) : Ce correcteur permet dans un premier temps d’améliorer l’erreur stationnaire par k, mais surtout il permet d’améliorer la précision dynamique par l’intermédiaire de d 20Log(k) : les points du lieu de T(p) seront déplacés vers la droite et le haut. • Augmentation de la marge de phase (éloignement du pont critique) • Augmentation de la BP  rapidité

25. R2 R1  - u + C C2 R2 R1  - u + C1 Choix de d : Le correcteur PD est utilisé lorsque le gain statique conduit à un mauvais degré de stabilité, donc on place en général : Exemple de réalisation Pour le signe de k on utilisera en plus un inverseur Attention à la BP de l’ampli d – Commande proportionnelle, intégrale et dérivée (PID) : Obtention et Réglage du PID : • Il peut être obtenu en plaçant en cascade un PI et un PD. Régler ensuite le PI et le PD selon les remarques précédentes

26. Rd Cd - + • Le PID existe dans le commerce avec une transmittance standard, où k, i et dsont réglés séparément. R1 R2  - u + Ci Ri Sommateur de gain Ri R1 - +

27. tangente au point d’inflexion a=tg()  Tr -180° • Méthode de Ziegler NicholsCette méthode fournit l’expression de k, i et den fonction de deux paramètres obtenus après une identification du processus, cette méthode n’est utilisable que pour les systèmes apériodiques en BO. Identification en BO : réponse à l’ échelon- la pente a de la tangente au point d’inflexion - le temps Tr Identification en BF : Si la branche ne peut être ouverte On réalise l’identification en BF en utilisant une commande proportionnelle : les deux paramètres sont alors obtenus pour le gain k0pour lequel le système est Juste Oscillant (J.O) et la période T0 des oscillations.

28. Critères de Ziegler Nichlos