Fourier

1. Fourier

2. TransformationCar Hjem Bilverksted

3. Music - Digital Analog Digital Ren tone Reell tone Digitalisering Tabell FourierTransform Sammensetn av rene toner Integrasjon Derivasjon

4. TransformationComputing Rom 1 Rom 2 4 + 16 = 20 2 + 8 = 10 Transformasjon

5. TransformationComputing - Logarithm Rom 1 y Rom 2 x 8 * 32 = 256 3 + 5 = 8 Transformasjon

6. Transformation Theory F(u) = T[f(x)] Transformasjon f(x) F(u) Room 1 Room 2 f(x) = T-1(F(u))

7. Transformation Theory Integral Transformation F(…) = T[f(…)] f(…) F(…) Room 1 Room 2 f(…) = T-1(F(…))

8. Transformation Theory Integral Transformation Wavelet - Laplace - Fourier Wavelet Laplace f(…) F(…) Fourier

9. Transformation-theory Transformasjon f(x) F(u) Fourier Laplace Wavelet

10. Definition of The Continuous Wavelet Transform CWT The continuous-time wavelet transform (CWT) of f(x) with respect to a wavelet (x): L2(R)

11. Wavelets Fjerner lav-frekv. W Fjerner høy-frekv. W Kreftsvulster Bomring Video-komprimering

12. The Norwegian RadiumhospitalMammography

13. Mexican Hat - 3 Dim

14. Image processing IIIWavelet-transformation

15. Original Compress 1:50 JPEG Wavelet

16. Ultrasound Image - Edge detectionSINTEF – Unimed – Ultrasound - Trondheim - Ultrasound Images- Egde Detection- Noise Removal- Egde Sharpening- Edge Detection

17. Morlet ArthritisMeasure of bone External part External part E/I bone edge E/I bone edge

18. Wavelet TransformMorlet Wavelet - Non-visible Oscillation [1/2]

19. ECG

20. Seismic trace

21. Laplace transformasjon Diff./Integral.lign. Laplace transformasjon ’Ordinær’ ligning

22. Fourier Transformation Fourier Transformasjon f(x) F(u)

23. Continuous Fourier TransformDef The Fourier transform of a one-dimentional function f(x) The Inverse Fourier Transform Fourier Transformasjon f(x) F(u)

24. Continuous Fourier TransformExample - cos(2ft)

25. Signals and Fourier TransformFrequency Information FT FT FT

26. Stationary / Non-stationary signals Stationary FT Non stationary FT The stationary and the non-stationary signal both have the same FT. FT is not suitable to take care of non-stationary signals to give information about time.

27. Transient SignalFrequency Information Constant function in [-3,3]. Dominating frequency  = 0 and some freequency because of edges. Transient signal resulting in extra frequencies > 0. Narrower transient signal resulting in extra higher frequencies pushed away from origin.

28. Transient SignalNo Information about Position Moving the transient part of the signal to a new position does not result in any change in the transformed signal. Conclusion: The Fourier transformation contains information of a transient part of a signal, but only the frequency not the position.

29. Signals and Fourier TransformFrequency Information FT FT FT

30. The Fourier Series Expansionan,bn coefficients an bn Fourier Transformasjon f(x) f(x) F(u)

31. Pulse Train approximated by Fourier Serie f(x) square wave (T=2) N=1 N=2 N=10

32. Fourier SeriesZig tag Zig tag approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2 N = 5 N = 10

33. Fourier SeriesNegative sinus function Negative sinus function approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2 N = 5 N = 10

34. Fourier SeriesTruncated sinus function Truncated sinus function approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2 N = 5 N = 10

35. Fourier SeriesLine Line approximated by Fourier Serie N = 1 N = 2 N = 5 N = 10 N = 50

36. Fourier SeriesSimulation

37. The Two-Dimensional DFT and Its Inverse Fourier Transformasjon f(x) F(u)

38. FourierSampling - Digitalisering Analog Digital

39. FourierSampling - Digitalisering

40. FourierSampling - Digitalisering

41. FourierSampling - Digitalisering

42. FourierAnvendelse Svingninger Bølger Varmetransport F(t) f(x) g(x) f(x) Disse funksjonene kan være kompliserte. Problemene kan løses vha Fourier

43. FourierMotivasjon Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m

44. FourierMotivasjon - Eks 1 - Eksakt løsning Svingninger F = 4t Ytre påtrykt kraft k m

45. FourierMotivasjon - Eks 1 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F = 4t Ytre påtrykt kraft k m Eksakt løsning 1 Løsning vha Fourier

46. FourierMotivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m Odde funksjon med periode 2L

47. FourierMotivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m F 10 Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2 1 2 t -10

48. FourierMotivasjon - Eks 2 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2 1 2 Hvis det finnes et ikke-null ledd i Fourier-rekken til F(t) med så vil dette leddet forårsake resonans. Grunnen er at ligningen mx’’ + kx = Bnsin0t har resonans-løsning: Løsning:

49. FourierMotivasjon - Eks 3 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F = 5t Ytre påtrykt kraft k m Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L = 4 2

50. FourierMotivasjon - Eks 4 - Tilnærmet løsning vha Fourier Svingninger F Ytre påtrykt kraft k m cv Demping Utvider F(t) til en odde funksjon med periode 2L og skriver F(t) som en Fourier-rekke: Løsningen finnes nå vha superposisjon: