Compenetrazione tra solidi di rotazione

1. Compenetrazione tra solidi di rotazione Prof. Giorgio Garuti Cono cilindro ad assi ortogonali incidenti

2. Compenetrazione cono cilindro Quando in una compenetrazione sono coinvolti un solido di rotazione, avente cioè superficie curva, ed uno a facce piane (piramidale o prismatico), la linea di intersezione risulta essere una spezzata spaziale costituita da segmenti di curve. Se entrambi i solidi sono di rotazione si determina una (o due) linea di intersezione spaziale curva, continua e chiusa.

3. Compenetrazione cono cilindro Nell’esempio proposto gli oggetti sono: Cilindro retto con base // PL; Cono retto con base // PO.

4. Compenetrazione cono cilindro Nell’esempio proposto i solidi vengono posizionati in modo da avere gli assi incidenti; Per le dimensioni scelte il cilindro risulta il solido compenetrante Lo studio avviene mediante l’inserimento di piani sezionatori ausiliari nello spazio in cui insistono entrambi i solidi. La posizione di inserimento è in funzione della facilità con cui se ne determina il risultato

5. Compenetrazione cono cilindro Prima possibilità: Si utilizza un piano sezionatore ausiliario // PO. Si prende in esame l’effetto di tale piano sezionatore sui due solidi

6. Compenetrazione cono cilindro Sul cilindro la sezione risulta essere un rettangolo questo risultato è determinato dal fatto che il piano sezionatore è // all’asse ed alle generatrici del cilindro.

7. Compenetrazione cono cilindro Sul cono la sezione risulta essere un cerchio questo risultato è determinato dal fatto che il piano sezionatore è ^ all’asse del cono e, quindi, // alla base dello stesso.

8. Compenetrazione cono cilindro I punti in comune tra le due sezioni sono punti comuni alle due superfici dei solidi:

9. Compenetrazione cono cilindro Questi punti sono punti appartenenti alla linea di intersezione ricercata La ricerca di altri punti dovrà avvenire mediante l’inserimento di altri piani ausiliari // a quello ora descritto.

10. Compenetrazione cono cilindro Lo stesso problema può essere studiato mediante piani ausiliari disposti in altro modo: Si possono inserire piani // all’asse del cilindro e passanti per il vertice del cono e quindi contenenti generatrici del cono.

11. Compenetrazione cono cilindro Sul cilindro la sezione risulta essere un rettangolo definito da due generatrici del cilindro e da due corde delle basi questo risultato è determinato dal fatto che il piano sezionatore è // all’asse ed alle generatrici del cilindro.

12. Compenetrazione cono cilindro Sul cono la sezione risulta essere un triangolo passante per il vertice delimitato da una corda della base e da due generatrici; si prendono quindi in considerazione i punti comuni alle due sezioni

13. Compenetrazione cono cilindro Questi punti appartengono alla linea di intersezione ricercata per determinare la posizione di altri punti della linea di intersezione sono necessari altri piani sezionatori ausiliari passanti per il vertice e contenenti, quindi, generatrici del cilindro e del cono.

14. Compenetrazione cono cilindro Procediamo alla rappresentazione della intersezione cono cilindro mediante le proiezioni ortogonali Quando sarà necessario utilizzare piani sezionatori ausiliari, in questo esempio ci serviremo di piani ^ all’asse del cono, cioè // alla base dello stesso.

15. Compenetrazione cono cilindro Si procede alla rappresentazione mediante le proiezioni ortogonali dei due solidi disposti, come previsto, nell’ortotriedro: si rappresenta il cono retto con base // PO

16. Compenetrazione cono cilindro Nello stesso ortotriedro si rappresenta poi il cilindro con base // PL Lo studio della linea di intersezione inizia dalle generatrici, sia del cono che del cilindro, che risultano // a PV.

17. Compenetrazione cono cilindro Si individuano direttamente su PV, e successivamente su PO, i punti A B C D in cui tali generatrici si intersecano Questi punti sono punti della linea di intersezione ricercata.

18. Compenetrazione cono cilindro Lo studio continua mediante l’introduzione di piani ausiliari. Si introduce un piano // alla base del cono Se ne studia l’effetto determinando le sezioni sui due solidi ed individuandone poi i punti di contorno comuni.

19. Compenetrazione cono cilindro Si individuano i punti della base intercettati dal piano ausiliario su PL e le relative generatrici viste su PO Ciò permette di definire la sezione ausiliaria del cilindro vista su PO

20. Compenetrazione cono cilindro Da PV si determina il raggio in P’’ del cerchio risultante come sezione ausiliaria del cono e lo si proietta verso PO in P’: su PO è possibile tracciare tale cerchio concentrico alla base ed avente il raggio definito da P’.

21. Compenetrazione cono cilindro I punti E’, F’, G’, H’ comuni alle due sezioni sono punti della linea di intersezione ricercata che possono essere individuati infine su PV e PL : Su PL sono ovviamente da subito definiti dal piano ausiliario

22. Compenetrazione cono cilindro Si inserisce un altro piano di sezione ausiliario // alla base del cono e si studiano, in modo simile a quello prima descritto, le sezioni ottenute sui due solidi Si determinano in tal modo altri quattro punti della linea di intersezione.

23. Compenetrazione cono cilindro Con lo stesso procedimento si inserisce il necessario numero di piani sezionatori ausiliari. Ogni ulteriore piano determina quattro punti della linea di intersezione.

24. Compenetrazione cono cilindro Si può inserire, tra gli altri, anche il piano contenente l’asse del cilindro.

25. Compenetrazione cono cilindro Ritenendo sufficiente il numero dei punti individuati e soddisfacente la loro distribuzione si procede alla tracciatura della linea che li unisce L’intersezione risulta determinare due curve simmetriche chiuse.

26. Compenetrazione cono cilindro Si definiscono infine le parti in vista e quelle nascoste. Lo stesso risultato si ottiene se si utilizzano piani ausiliari passanti per il vertice del cono e quindi contenenti generatrici del cono stesso.