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27.2.3 相似三角形的性质 (3)

27.2.3 相似三角形的性质 (3). 相似三角形的证明. 回顾. 一、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 , 对应边成比例 . ② 相似三角形对应中线的比 , 对应角平分线的 比，对应高的比 , 对应周长的比都等于相似比 . ③ 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 二 . 相似三角形的判定方法. 推论 1 平行于三角形一边直线截其它两边 ( 或其延长线 ), 所截得的三角形与原三角形相似 ;. 定理 1 两角对应相等的两个三角形相似. 定理 2 三边对应成比例的两个三角形相似 .

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27.2.3 相似三角形的性质 (3)

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Presentation Transcript

  1. 27.2.3相似三角形的性质(3)

  2. 相似三角形的证明

  3. 回顾 一、相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例. ②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. 二.相似三角形的判定方法 推论1 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似; 定理1 两角对应相等的两个三角形相似. 定理2 三边对应成比例的两个三角形相似. 定理3 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似; 定理4 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.

  4. ED EC = EO ED 证明：∵ AB∥CD ∴ ∠C=∠A ∵ AO=OB，DF=FB ∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB ∴ ∠C= ∠FDB 又 ∵ ∠DEO= ∠DEC ∴ △EDC∽△EOD ∴ ，即 ED2=EO · EC ED EC = EO ED 运用 2.如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO · EC. 分析：欲证 ED2=EO·EC，即证： 只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。

  5. 证明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB △AEB ∽△GED ∴ ∴ EA AB EF BE AB = = = EG DG EA ED DG EA EF = EG EA 运用 3.过◇ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G .求证：EA2 = EF· EG . 分析：要证明 EA2 = EF· EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.

  6. 4.已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的 中点，ED交AB的延长线于F. 求证: AB:AC=DF:AF. 分析：因△ABC∽△ABD，所以 要证 即证 ， 需证△BDF∽△DAF. ∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD 又∵ ∠F =∠F ∴ △BDF∽△DAF. ∴ ∵ ∠BAC=90°， AD⊥BC ∴ △ABC∽△ABD ∴ ∴ 证明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC ∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90° ∴ ∠BAD= ∠C ∵ ∠ADC= 90° E是AC的中点， ∴ED=EC ∴ ∠EDC= ∠C ∵ ∠EDC = ∠BDF

  7. BD BF = CD CE 运用 5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .求证：BD·CE=CD·BF A 分析： 由BD·CE=CD·BF，得 但△DBF与 △DCE不相似 F 因此，需作辅助线构造相似三角形 E D B C

  8. CD CG = BD BF 运用 5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .求证:BD·CE=CD·BF A 方法一： 过点C作CG∥AB,交DF于G 则△DCG∽ △DBF F 故 E G 再证CG=CE 即可 B C D

  9. BD BF = CD FG 运用 5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .求证BD·CE=CD·BF A 方法二： 过点C作CG∥DF,交AB于G 故 F E 再证FG=CE 即可 G B C D

  10. DC CE = DB BG 运用 5.D为△ABC的底边BC的延长线上一点，直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AF.求证：BD·CE=CD·BF A 方法三： 过点B作BG∥DF, 交DF的延长线于G G 则△DCE∽ △DBG F 故 E 再证BG=BF 即可 B C D

  11. FA FD FD FB FB FB = = = FC FC FC FD FD FA 运用 6.如图： 已知△ABC 中，AD平分∠BAC ，EF是AD的中垂线，EF 交BC的延长线于F .求证：FD2=FC·FB A 分析： 由FD2=FC·FB，得 E 但FD、FC、FB都在同一直线上，无法利用相似三角形. B F D C 由于FD=FA，替换后可形成相似三角形. 只要证△FAB∽△FCA即可.

  12. ⊿EDC∽⊿EBA ⊿ADC∽⊿AFE ⊿BDA∽⊿EDF F B D A C E 运用 7.已知,AB∥CD∥EF， （1）图中有几对相似的三角形？ （2）线段AB、CD与EF有怎样的等量关系？

  13. 小结 证比例式（或乘积式）的常用方法 证明乘积式时，可先将乘积式改为比例式 (1)找相似三角形（或平行线） (2)没有相似三角形（或平行线）,利用等比例转化,或利用等线段转化,或等积转化,或构造辅助线转化

  14. 不经历风雨，怎么见彩虹 • 没有人能随随便便成功! 再见

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