Lezione 13

1. Lezione 13 • Equazione di Klein-Gordon • Equazione di Dirac (prima parte) • equazione di continuità • hamiltoniana di Dirac • matrici alpha, beta

2. Equazioni d’onda relativistiche L’equazione di Schrödinger, come abbiamo già visto, descrive il comportamento di una particella non dotata di spin e non relativistica, descritta in termini di una funzione d’onda, dipendente dalle coordinate spazio-temporali, e il cui modulo a quadrato ci fornisce la densità di probabilità di posizione della particella. Tale densità integrata su tutto lo spazio deve essere normalizzata a 1. La particella può essere libera o soggetta a un potenziale. L’equazione di Schrödinger però non parte da relazioni relativistiche, bensi da relazioni classiche ed è ottenuta, come abbiamo visto, sostituendo nell’equazione classica per una particella libera: E = p2 / (2m) nella quale abbiamo fatto corrispondere a E e a p i seguenti operatori: Con un procedimento analogo dovrebbe essere possibile costruire un’equazione relativistica per una particella libera di spin zero.

3. + = 2 ( m ) Φ 0 (1) Equazione di Klein-Gordon Klein e Gordon nel 1926 costruirono un’equazione a partire dalla relazione relativistica tra energia e impulso: E2 = p2 + m2 nella quale, come nel caso dell’equazione di Schrödinger, si sostituiscono a E e p gli operatori corrispondenti: ħ=c=1 EQUAZIONE DI KLEIN GORDON PARTICELLA RELATIVISTICA LIBERA D’ALAMBERTIANO L’equazione di Klein-Gordon si applica a particelle relativistiche a spin=0 (bosoni)

4. Osservazioni sull' equazione di Klein-Gordon 1) La relazione relativistica tra energia e impulso: prevede la possibilità di due soluzioni per l'energia in corrispondenza di un certo valore dell'impulso: Ci troviamo dunque a dover trattare soluzioni a energia negativa che sembrano non avere significato fisico. 2) Se tentiamo di derivare dall’equazione di K.-G. una equazione di continuità, come abbiamo fatto per l’equazione di Schrödinger che dava luogo all’equazione: ci troviamo di fronte al problema di non poter interpretare  come una densità di probabilità. Vediamo perchè...

5. Equazione di continuità dall’eq. di K.-G. Prendiamo l’equazione di Klein-Gordon e la sua complessa coniugata: Moltiplichiamo la prima per F* e la seconda per F: Quindi sottraiamole membro a membro: (2)

6. Definiamo le seguenti grandezze:  DENSITA’ DI PROBABILITÀ ??  DENSITA’ DI CORRENTE DI PROBABILITÀ ??  Con queste definizioni l'equazione (2) diventa: cioè assume la tipica forma di un’equazione di continuità, tuttavia la quantità r non è definita positiva, come invece dovrebbe essere una densità di probabilità. Pertanto NON possiamo interpretare r come una densità di probabilità.

7. Osservazioni sull’ eq. K.-G. 1) Gli autovalori dell’energia possono anche essere negativi: questa è una conseguenza naturale della relazione relativistica energia-impulso. Gli stati a energia negativa non sembrano interpretabili come stati fisici. 2) La densità di probabilità non è definita positiva, come lo era invece nell'equazione di Schrödinger, perchè, mentre l'eq. di S. conteneva una derivata prima rispetto al tempo, quella di K.-G. contiene una derivata seconda rispetto al tempo. Ciò deriva dal fatto che l'eq. di S. scaturisce dalla relazione classica energia-impulso nella quale l'energia è elevata al primo grado (E  i /t) e l'impulso al secondo (p2 - 2/2m), mentre l'equazione di K.-G. deriva dalla relazione relativistica, nella quale entrambe sono elevate al quadrato (E  - 2/t2 e p2 - 2/2m) . Questo impedisce di usare l’equazione di K.-G. come equazione della meccanica quantistica ordinaria. Tuttavia essa è stata nuovamente riutilizzata con la nascita della teoria dei campi quantizzati (seconda quantizzazione), nella quale l’equazione di K.-G. è l’equazione che descrive non la funzione d’onda di una particella, ma un operatore associato a un campo bosonico  che può creare o distruggere particelle a spin zero, che sono i quanti del campo stesso.

8. Equazione di Dirac • Allo scopo di descrivere particelle relativistiche di spin ½ e senza struttura, Dirac propose nel 1927 un altro tipo di equazione, tentando di risolvere i problemi posti dall’ eq. di K.-G.. L’equazione deve avere le seguenti caratteristiche: • Da essa deve conseguire un’equazione di continuità ∂m jm=0 • La densità di probabilità r deve essere definita positiva, in modo che sia interpretabile come una densità di probabilità: l’equazione deve pertanto contenere solo derivate prime rispetto al tempo • L’equazione deve essere lineare e omogenea (principio di sovrapposizione) • L’equazione di Schrödinger considera solo particelle a spin zero. Per poter descrivere particelle a s=1/2, la funzione d’onda deve essere a N componenti, cioè deve essere uno spinore (due particelle con la stessa massa, una a spin up e una a spin down devono essere due stati della stessa particella e quindi soddisfare alla stessa equazione di Dirac) • Deve valere la relazione relativistica energia-impulso: E2 = p2 + m2. Pertanto le singole componenti dello spinore devono soddisfare a un’equazione di K.-G.

9. L’ EQUAZIONE DI DIRAC (per fermioni relativistici) deve contenere: • Uno spinore y a N componenti • Derivata prima rispetto al tempo con un coefficiente matriciale • Derivate prime rispetto alle coordinate con tre coefficienti matriciali (uno per ogni derivata) • Termine senza derivata dove le a1, a2, a3 e la b sono delle matrici di dimensione NN. Indicando con a un "vettore" di tre componenti che ha come componenti le tre matrici ai: possiamo riscrivere la (1) in forma più compatta: (2) EQUAZIONE DI DIRAC

10. In forma matriciale: In componenti, ciò significa che l' equazione di Dirac equivale in realtà a N equazioni, una per ogni componente dello spinore y:

11. Vediamo che cosa significa l’equazione di Dirac in componenti. Poichè tra poco vedremo tra poco che la dimensione di  è 4, in componenti scriveremo:

12. L'equazione di Dirac corrisponde quindi a quattro equazioni (perchè quattro è la dimensione dello spinore y):

13. Equazione di continuità dall’eq. di Dirac Prendiamo l’equazione di Dirac e la sua hermitiana coniugata: i ∂0y+iak∂ky– mby= 0 – i∂0y†–i ∂ky† (ak)†–m y†b†= 0 Moltiplichiamo la prima a sinistra pery†e la seconda a destra pery i y†∂0y+ i y†ak∂ky–my†by= 0 –i(∂0y†)y –i (∂ky †)(ak)†y–my†b†y = 0 Quindi sottraiamole membro a membro: i ( y†∂0y + (∂0y†)y ) + i ( y†ak ∂ky+ (∂ky †)(ak)†y )– m (y† by–y† b†y)= 0 derivata del prodotto y†y potrebbe annullarsi se fosse (b)†=b potrebbe essere la derivata del prodotto y†akyse fosse (ak)†=ak Per ottenere un'equazione di continuità dobbiamo quindi necessariamente imporre che le matrici a1, a2, a3 e b siano hermitiane: (ak)† = ak e b† =b

14. In tal modo infatti l' equazione diventa: i∂0 (y†y)+ i (y†ak ∂ky +(∂ky †) aky)– (my† b y- my† by)= 0 (3) i ∂0(y†y) + ∂k(y†aky)= 0 Dando le seguenti definizioni di densità di probabilità e di densità di corrente di probabilità, perveniamo a una equazione di continuità:  DEFINITA POSITIVA † †

15. Hamiltoniana di Dirac Per trovare l'hamiltoniana dell'equazione di Dirac, possiamo esprimere l'equazione nella forma seguente: Pertanto l'hamiltoniana per una particella libera fermionica che soddisfa l'equazione di Dirac è: N.B. La condizione che le matrici ai e b debbano essere hermitiane si poteva anche ottenere imponendo che l'hamiltoniana fosse hermitiana.

16. RELAZIONE RELATIVISTICA ENERGIA-IMPULSO Richiederemo ora che le singole componenti di y soddisfino all' equazione di Klein-Gordon, o, il che è equivalente, richiediamo che valga la relazione relativistica energia-impulso: EQ. DI DIRAC EQ. DI KLEIN-GORDON Applichiamo all'equazione di Dirac un operatore appropriato, che permetta di ottenere l'equazione di K.-G. a partire da quella di Dirac:

17. Dato che le matrici ai e b sono i coefficienti dell' equazione di Dirac, essi devono essere parametri non dinamici, cioè non dipendono nè dal tempo nè dalle coordinate, pertanto esse filtrano attraverso le derivate temporali e spaziali:

18. (3) Ma l'equazione di K.-G. è: o anche: (4) Perchè la (3) e la (4) coincidano occorre che valgano per le matrici ai e b le seguenti regole: cioè le matrici ai e b anticommutano e il loro quadrato è uguale all'identità.

19. ALTRE PROPRIETÀ DELLE MATRICIaiEb 1) Dal momento che le matrici aieb anticommutano, non è possibile trovare una base nella quale esse siano tutte e quattro contemporaneamente diagonalizzabili. In ogni base solo una delle quattro sarà diagonalizzata. 2) Le matriciaieb hanno traccia nulla. Infatti: (proprietà delle tracce) Ma poichè le matriciae leb anticommutano, si avrà:  3) La loro dimensione è necessariamente pari. Infatti:

20. 4) Qual è il valore minimo per N? Non è ammessa la dimensione N=2, in quanto in tal caso il numero massimo di matrici che anticommutano è 3 (vedi matrici di Pauli). La dimensione minima è N=4. Una possibile scelta è quella della rappresentazione detta di Dirac-Pauli, nella quale la matrice b è diagonale: dove lesk sono le matrici di Pauli e pertanto:

21. PARTICELLE A MASSA NULLA Notiamo che l'equazione di Dirac: per particelle a massa nulla (m=0), come il neutrino, si riduce a: Per descrivere il sistema, sono dunque sufficienti tre matrici linearmente indipendenti ai (i=1, 2, 3). Pertanto le dimensioni dello spinore diminuiscono a 2 in quanto la dimensionalità più bassa per tre matrici anticommutanti è N=2 e le matrici in questione sono le tre matrici di Pauli. Possiamo dunque assumere: Indicando con s il vettore composto dalle tre matrici: s = (s1, s2, s3), l'equazione di Dirac si riduce a un'equazione a due componenti sole nello spinore yL (detta equazione di Weyl, vedremo meglio dopo il suo significato):