Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12

1. Numeerisia ja algebralllisia menetelmiä MA 12

2. 1. tunnin laskinharjoittelua ja kertausta • Lue esimerkit 2 ja 3 ja harjoittele laskimen käyttöä • Tee tehtäviä 7, 8, 10, 13, 17, 18

3. Funktion kuvaaja ja kertausta aiemmilta kursseilta • Jotta funktion kuvaajan saisi skaalattua laskimen näyttöön kokonaan, pitäisi tietää ainakin funktion ääriarvot (MA07 asiaa) ja ns. kulkukaavio • Joutuu skaalaamaan x ja y –akselia, katso esimerkki 1 s. 19

4. Yhtälön graafinen ratkaisu • Piirrä molemmat funktiot graafisella laskimella ja määritä leikkauspisteiden koordinaatit. Esim. 3 sivulla 24. • Kaikki termit voi myös siirtää yhtälön vasemmalle puolelle ja ratkaista syntyvän funktion nollakohdat.

5. Kertausta • Määrittelyjoukko ja toisen asteen epäyhtälön ratkaisu • Ympyrän keskipistemuotoinen yhtälö ja kuvaajan piirtäminen. Esim. 4 s. 27.

6. Lukujärjestelmät • 10-järjestelmässä luvut esitetään 10 potenssin avulla ja käytössä on 10 lukua. • Esim. tietokoneissa on käytössä binäärijärjestelmä (kaksijärjestelmä), joten luvut esitetään kakkosen potensseina ja lukuina on vain 0 ja 1. • Esim.

7. Polynomien jakolasku • Esim. (2x2+3x-2):(x+2)

8. Murtofunktion asymptootit • Murtofunktio ei saa arvoja nimittäjän nollakohdissa, vaan funktion arvot ainoastaan lähenevät sitä • Toinen asymptootti tulee polynomin jakolaskun tuloksena • Esim. (x2+1):(x+2)

9. Polynomien jaollisuus • Jos jakolaskun P(x):S(x) osamäärä on Q(x) ja jakojäännös R(X), niin • P(x):S(X) = Q(X) + R(x):S(x) eli • P(x) = Q(x)S(x) + R(x) • Polynomi P(x) on jaollinen polynomilla S(x), kun jakojäännös R(x) = 0 • Huom! Jakojäännöksen asteluku on pienempi kuin jakajan asteluku

10. Binomilla x-a jakaminen • Tällöin P(x) = (x-a)Q(x) + r • P(a) = (a-a)Q(x) + r = r Eli jakolasku P(x):(x-a) menee tasan eli x-a on polynomin P(x) tekijä joss P(a) = 0

11. Polynomien jaollisuus – tekijöihin jako • Esim. s 50. • Tekijöihin jako nollakohtien perusteella • päättele ensimmäinen nollakohta esim. kuvaajasta • jaa jakokulmassa, niin saat muut tekijät • Esim. s. 50. • s. 52 yleisesti • Esim. s. 53. Tehtävä 111.

12. Tekijöihin jako • Jos n. asteen polynomilla P on n nollakohtaa x1, x2, …, xn (ei voi olla enempää), niin • P = a(x - x1) (x – x2)…(x - xn), missä a on korkeimman asteen tekijä • Esim. ax2+bx+c = a(x - x1) (x – x2) • Kaksinkertainen juuri tarkoittaa sitä, että sama nollakohta toistuu. • Esim. x2+4x+4 = (x+2)(x+2)=(x+2)2

13. Korkeamman asteen yhtälöt • Ratkaisut voi päätellä kuvaajasta, kunhan toteaa, että ne myös ovat nollakohdat. S. 56. • Tulon nollasääntö. S. 57. • Jos nähdään selkeästi vain yksi nollakohta x1, niin muut saadaan jakamalla jakokulmassa tällä tekijällä (x – x1). S. 58. • Esim. s. 60. Aina ei tarvitse ”arvata”.

14. Huom!

15. Huom! Nollakohdan voi ’arvata’ myös näin.

16. Likiarvon tarkkuus • Merkitseviä numeroita on kaikki muut paitsi ei kokonaisluvun lopussa olevat nollat ja desimaaliluvun alussa olevat nollat • Esim. 13000 on kaksi merkitsevää numeroa • Esim. 0,002340 on neljä merkitsevää numeroa • Esim. 1,00 on kolme merkitsevää numeroa • Tulos ilmoitetaan epätarkimman avulla • Monesti järkevä pyöristyssääntö on desimaalien lukumäärä tai mittayksikön tarkkuus

17. summassa ja erotuksessa käytetään epätarkinta desimaalilukua pyöristyssääntönä • tulossa ja osamäärässä käytetään epätarkinta merkitsevää numeroa pyöristyssääntönä

18. Virhe • Esim. Jos suorakulmion mitat on 3 m ja 5 m, niin todelliset mitat voivat olla välillä • [2,5 ; 3,5[ tai [4,5 ; 5,5[ • Tällöin todellinen pinta-ala voi olla • pienimmillään 2,5 * 4,5 =11,25 m2 • suurimmillaan 3,5*5,5 = 19,25 m2 • Absoluuttinen virhe on tällöin • 15 – 11,25 = 3,75 tai 19,25 – 15 = 4,25 • Suhteellinen virhe on tällöin • 4,25 : 15 = 28 %

19. Jonot ja raja-arvot • Esim. 84. Miten laskimella? • Esim. s.78. Lukujonossa n on luonnollinen luku. Miten tableset nyt toimii, kun n lähestyy ääretöntä? • Eli lasketaan lukujonon raja-arvo, kun n lähestyy ääretöntä. Tällöin lukujono suppenee.

20. Funktion nollakohdat

21. Esim. • Osoita, että funktiolla f(x) = x3+2x2+2x-1 on tasan yksi nollakohta ja määritä sen likiarvo Bolzanon lauseen avulla haarukoimalla.

22. Derivointiesimerkkejä • Mikä oli derivaatta? • Miten derivaatta liittyy funktion kasvamiseen/vähenemiseen?

23. Newtonin menetelmä • Lasketaan derivoituvan funktion nollakohtia • Valitaan b nollakohdan likiarvoksi • Piste c on pisteeseen (b, f(b)) piirretyn tangentin ja x-akselin leikkauspiste • Tällöin c on yleensä lähempänä nollakohtaa kuin b • Toistetaan toimenpidettä, jotta saadaan tarkempia likiarvoja

24. Itse prosessi on seuraava • Tangentin yhtälö on

25. Esim.

26. Iterointi • Pyritään ratkaisemaan yhtälö, joka on saatettu muotoon x = g(x) • Sijoitetaan funktioon g(x) alkuarvaus x0, josta saadaan uusi arvo x1, joka sijoitetaan takaisin funktioon g(x) jne. Alkuarvauksen voi katsoa kuvaajasta

28. Graafinen iterointi • Kuva tilanteesta on sivun 115 yläreunassa • Jos käy hyvin, niin xn lähestyy x:n ja g(x):n leikkauspistettä (x=g(x))

29. Esim.

30. Esim.

31. Kiintopiste s. 114 • Äskeisessä esimerkissä x:n joutuu ratkaisemaan kahdella eri tavalla, jotta iterointi onnistuu. • Iterointi onnistuu, jos • |g’(a)|<1 ns. puoleensa vetävä piste • Iterointi ei onnistu, jos • |g’(a)|>1 ns. hylkivä piste • a voi käytännössä olla alkuarvaus

32. Derivaatta Derivaatta tarkoittaa geometrisesti käyrälle piirretyn tangentin kulmakerrointa

33. Erotusosamäärä

34. Derivaatan määritelmä osa I

35. Derivaatan määritelmä osa II • Täsmälleen sama idea, mutta merkinnät hieman muuttuvat. • x – a = h, jolloin x = a + h ja derivaatan määritelmä on

36. Esim. • Laske molempien määritelmien avulla funktion f(x)= x – x3 derivaatta numeerisesti kohdassa -1.

37. Numeerinen derivaatta • Jos |h| on riittävän pieni, niin kohtaan a piirretyn tangentin kulmakerroin on likimain

39. Esim.

40. Pinta-alan numeerinen määrittäminen

41. Ala suorakulmioiden avulla • Määritetään pinta-alojen ns. ylä –ja alasummat • Jaetaan kysyttävä pinta-ala n:ään osaväliin. Mitä suurempi n on, sitä tarkempi ala on

42. Keskipistesääntö • Jaetaan väli [a,b] n:ään yhtä pitkään osaväliin ja valitaan suorakulmion korkeudeksi välien keskipisteet

43. Puolisuunnikassääntö • Tehdään suorakulmiosta puolisuunnikas

44. t. 289

45. Simpsonin sääntö

46. Esim. • Laske yksikköympyrän pinta-ala Simpsonin säännöllä laskemalla ensin neljänneksen ala käyttämällä kuutta osaväliä

47. Määrätty integraali • Lasketaan funktion ja x-akselin väliin jäävää alaa. • Kun jakovälien lukumäärä lähestyy ääretöntä, niin tämän raja-arvon tuloksena saadaan alan tarkka arvo. (Simpsonin sääntö, puolisuunnikassääntö)

48. Esim.