Analiza wariancji jednoczynnikowa

1. Analiza wariancji jednoczynnikowa Dr hab. inż. Dariusz Piwczyński

2. Zastosowanie • Porównanie większej niż 2 liczby grup (k>2) • Zmienna zależna – skala przedziałowa • Zmienna niezależna – skala nominalna lub porządkowa

3. Ronald Fisher (angielski biolog i genetyk) • Istota teorii analizy wariancji opiera się na podziale zmienności głównej na pewne frakcje i na analizowaniu tych poszczególnych zmienności.

4. Rodzaje zmienności • zmienność ogólna • zmienność międzygrupowa • zmienność wewnątrzgrupowa

5. Zmienność ogólna • wyraża się zróżnicowaniem poszczególnych wartości zmiennej w stosunku do ogólnej średniej (obliczonej dla całej zbiorowości).

6. Zmienność międzygrupowa • występuje na skutek różnic powstałych między grupami doświadczalnymi, wywołana jest działaniem czynnika doświadczalnego na poszczególne grupy doświadczalne, • wyraża się zróżnicowaniem średnich poszczególnych grup doświadczalnych w stosunku do ogólnej średniej.

7. Zmienność wewnątrzgrupowa • istnieje między poszczególnymi zmiennymi wewnątrz każdej grupy, • wywołana jest czynnikami osobniczymi czyli indywidualnymi cechami poszczególnych osobników, • wyraża się zróżnicowaniem poszczególnych wartości zmiennej wewnątrz każdej grupy w stosunku do średniej dla tej grupy.

8. Założenia analizy wariancji: • Niezależność zmiennych objaśniających (czynników) • Homogeniczność wariancji (test Levene) • Normalność rozkładu

9. Normalność rozkładu • Rozkład cechy w każdej z grup winien być normalny. • W praktyce często badamy czy czynnik losowy, tj. eij posiada rozkład normalny. • W celu sprawdzenia tego założenia, od każdego pomiaru odejmujemy średnią wartość grupy, z której ten pomiar pochodzi,a następnie badamy rozkład tychże różnic. • Jeśli reszty nie mają rozkładu normalnego, to zaleca się transformacje zmiennych.

10. Reszty

11. Normalność rozkładu sprawdzamy za pomocą: testów Shapiro-Wilkoraz Kolmogorov-Smirnoff Ocena graficzna: histogram Teoretycznie, rozkład powinien być oceniany oddzielnie dla każdej porównywanej grupy. W praktyce rozkład jest oceniany dla całej objętej badaniami populacji.

12. Homogeniczność wariancji (równość wariancji) • Porównywane grupy nie powinny różnić się między sobą pod względem zmienności. • Jeśli nie ma homogeniczności, to możliwe są logarytmiczne transformacje zmiennych lub też usunięcie grupy, która pod względem zmienności wyraźnie odstaje od pozostałych.

13. Homogeniczność wariancji • wariancje odnoszące się do porównywanych grup powinny być takie same: • Test Bartlett wykonujemy w odniesieniu do zmiennych o rozkładzie normalnym • Test Brown i Forsythe • Test Levene

14. Założenie dotyczące homogeniczności nie są spełnione! • Transformacje zmiennej zależnej w celu zmiany rozkłady zmiennych i skorygowania nierównych wariancji. • Test Welch (Analiza wariancji Welch) • Nieparametryczna analiza wariancji (rozkład jest silnie skośny lub występują wartości skrajnie odbiegające od pozostałych)

15. Transformacje zmiennych • Transformacje zmiennych z reguły wpływają jednocześnie na homogeniczność wariancji i rozkład! • Oznacza to, że transformacje mające na celu poprawę „normalności rozkładu” mogą powodować problemy z homogenicznością wariancji i odwrotnie. Ln(Y)

16. Rozkład F • Jeśli z populacji o rozkładzie normalnym wybieralibyśmy losowo po dwie próby i badalibyśmy wzajemne relacje ich wariancji (iloraz), to ten stosunek miałby rozkład zgodny z rozkładem F.

17. Rozkład F • stosunek kwadratów odchyleń międzygrupowych do wewnątrzgrupowych kształtuje się według określonego rozkładu (rozkład F) lub inaczej • stosunek zmienności międzygrupowej do wewnątrzgrupowej kształtuje się według określonego rozkładu (rozkład F)

18. Rozkład F

19. Hipoteza zerowa • H0: Wszystkie średnie są równe, tzn.H0: 1= 2= 3= 4 = 5= 6...

20. Hipoteza zerowa – krety • Zakładamy, że masa ciała samic gatunku kret jest taka sama we wszystkich porach roku

21. Hipoteza alternatywna • H1:Istnieje co najmniej jedna para średnich, które różnią się ze sobą. • H1: 12 lub 1  3 lub 2  3 itd....

22. Kolejność obliczeń

23. Liczba stopni swobody • Ogólna: N  1 (N – liczebność populacji) • Międzygrupowa: k –1 (k – liczba grup doświadczalnych) • Wewnątrzgrupowa: N –k

24. Sumy kwadratów odchyleń • Zmienność ogólna • Zmienność międzygrupowa • Zmienność wewnątrzgrupowa: Sw = So - Sm

25. Średnie kwadraty odchyleń • Zmienność międzygrupowa: Sm2 = Sm / (k –1) • Zmienność wewnątrzgrupowa:Sw2 = Sw/ (N –k)

26. Statystyka F wartość krytyczna

27. Interpretacja • Obliczoną wartość statystyki F (tzw. F empiryczne - Femp.) odnosimy do wartości krytycznej z rozkładu F dla założonego poziomu istotności () i określonej liczby stopni swobody (1=k-1 oraz 2=N-k) (F tabelaryczne - Ftab.). Jeżeli Femp. Ftab. – to mamy podstawę do odrzucenie hipotezy zerowej i stwierdzenia, iż istnieje co najmniej jedna para średnich, które różnią się ze sobą. Zatem czynnik doświadczalny wpływa statystycznie na cechę. W przeciwnym przypadku, nie mamy podstaw do odrzucenia H0.

28. ANOVA za pomocą MS EXCEL Badamy wpływ pory roku, w której zostały odłowione zwierzęta na ich masę ciała! Czy masa ciała jest uzależniona od pory roku?

29. Obliczamy średnie w zakresie masy ciała – tabela przestawna

30. Wyniki, g

31. a co z rozkładem? (Analiza danych)

32. Przygotowanie danych Poukładać dane w kolumnach! Każda kolumna to inna pora roku!

33. Analiza wariancji

34. Wyniki analizy wariancji

35. I to samo w SAS EG

36. Wyniki • Decyzję o odrzuceniu H0 podejmujemy na podstawie kolumny P r> F na wysokości nazwy czynnika, tj. PoraRoku. • p jest mniejsze aniżeli 0,0001 (0,05) zatem mamy podstawę do odrzucenia H0!

37. Homogeniczność wariancji