Méthodes de prévision (STT-3220)

1. Méthodes de prévision (STT-3220) Section 2 Transformation stabilisatrice de variance; moindres carrés pondérés; moindres carrés repondérés Version: 22 août 2005

2. Transformation stabilisatrice de variance • Technique qui vise à contrer certains problèmes d’hétéroskédasticité. • Considérons une variable aléatoire yi, et posons également: • On considère une certaine fonction et on développe en série de Taylor la fonction autour du point : STT-3220; Méthodes de prévision

3. Développement au premier ordre • On obtient donc: • Ici est la dérivée première évaluée en . • On applique la variance de chaque côté de la formule précédente: STT-3220; Méthodes de prévision

4. Résolution d’une petite équation différentielle • Ceci suggère de chercher la fonction qui satisfait la relation: • Ceci implique: STT-3220; Méthodes de prévision

5. Exemple 1. • Supposons que: • Résoudre l’équation donne: • On pourrait donc poser et considérer la transformation logarithmique. STT-3220; Méthodes de prévision

6. Exemple 2. • Supposons que: • Résoudre l’équation donne: • On peut poser et considérer la transformation racine carrée. STT-3220; Méthodes de prévision

7. Moindres carrés pondérés et repondérés • Exemple. Supposons que l’analyste est amené à estimer un modèle de la forme: • Pour les fins de l’illustration, la variable dépendante correspond à un nombre d’usagers d’un système (ex: un guichet automatique). STT-3220; Méthodes de prévision

8. Exemple (suite) • Une modélisation possible pourrait être: • Dans un tel cas: • Puisque le modèle de régression est un modèle transformé: STT-3220; Méthodes de prévision

9. Rappel: Moindres carrés pondérés • Dans l’exemple précédent, effectuer les moindres carrés pondérés suggère de résoudre: • De plus, la discussion précédente suggère de prendre les poids: • Or ces poids ne sont pas connus! STT-3220; Méthodes de prévision

10. Rappel: Moindres carrés repondérés • Puisque les poids sont inconnus, on peut tenter de les estimer. • La technique des moindres carrés repondérés (en anglais: Iteratively Reweighted Least Squares ou IRLS) est une procédure itérative qui cherche à effectuer des moindres carrés pondérés avec des poids estimés. • On doit répéter l’algorithme jusqu’à convergence. STT-3220; Méthodes de prévision

11. Algorithme pour IRLS • On va donner l’algorithme pour notre exemple. Il faut modifier l’algorithme, cas par cas. • Étape 1. (Initialisation des poids) Poser • Étape 2. (Régression usuelle) Faire une régression usuelle, dans notre exemple de la variable sur . Garder OLS de b • Étape 3. (Estimation des poids) Notons l’estimateur courant Calculer les poids. Dans notre exemple: STT-3220; Méthodes de prévision

12. Algorithme pour IRLS (suite) • Étape 3. (suite) On note que les poids sont fonction de On utilise donc les valeurs prédites: • Étape 4. (Moindres carrés pondérés) Résoudre en utilisant les poids estimés. Garder WLS de b. • Étape 5. Retourner à l’étape 3. • On fait les Étapes 3 à 5 jusqu’à convergence. STT-3220; Méthodes de prévision