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Modellbasierte Zuverlässigkeitsanalyse

Modellbasierte Zuverlässigkeitsanalyse (Hauptseminar 1: Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmangagement) Christoph Rager. Überblick. Zuverlässigkeit Fehlerbaumanalyse (FTA) Aufbau Auswertung Grenzen Binary Desicion Diagram (BDD) Definition und Eigenschaften OBDD ROBDD Reduktion

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Modellbasierte Zuverlässigkeitsanalyse

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  1. Modellbasierte Zuverlässigkeitsanalyse (Hauptseminar 1: Qualitäts- und Zuverlässigkeitsmangagement) Christoph Rager

  2. Überblick • Zuverlässigkeit • Fehlerbaumanalyse (FTA) • Aufbau • Auswertung • Grenzen • Binary Desicion Diagram (BDD) • Definition und Eigenschaften • OBDD • ROBDD • Reduktion • Konstruktion • Auswertung • Bewertung

  3. Bestimmung Zuverlässigkeit eines Systems durch Vorhersage des zukünftigen Verhaltens Zuverlässigkeitsanalysen: • Simulationen • analytische Methoden • Modell des realen Systems als Basis • analytische Verfahren: • mathematische Methoden als Grundlage • z.B. Fehlerbaumanalyse, BDD • Zuverlässigkeitsfunktion: R(t) = P{t<T} • Ausfallfunktion: F(t) = 1 - R(t)

  4. FTA ist Verfahren für Zuverlässigkeitsanalyse • Fehlerbaum (FT: fault tree): • strukturiertes Logikdiagramm • Basisereignisse (BE) • Top- Ereignis (TE) • Konstruktion: • Top- Down- Verfahren • zu jedem TE eigener FT • Analyse: • qualitativ: • Bestimmung der minimal cutsets (MCS) • Sortierung der MCS • quantitativ: • Berechnung der Eintrittswahrscheinlichkeit des TE

  5. . Bestimmung MCS mit Hilfe Boolescher Algebra TE = E1. E2 E1 = A + E3 E3 = B + C E2 = C + E4 E4 = A . B TE E1 E2 + + + A E3 C E4 . + B C A B

  6. Vereinfachung FT durch MCS • Top- Down- Verfahren: • Terme nacheinander einsetzen • nach TE auflösen TE TE = C + A . B + C A . B . A B

  7. Vereinfachung FT durch MCS • Top- Down- Verfahren: • Terme nacheinander einsetzen • nach TE auflösen TE TE = C + A . B + beide Bäume besitzen die selben MCS! C A . B . A B

  8. Durchführung FTA mit zunehmender Größe des FT schwieriger • Probleme: • Rechenzeit steigt exponentiell mit Anzahl der Knoten • bei Bestimmung MCS: • Abbruchfehler • bei Berechnung Eintrittswahrscheinlichkeit TE: • kein effizienter Algorithmus • Schätzung selten eintretender Ereignisse

  9. Lösungsmöglichkeit durch neuen Algorithmus, basierend auf Binary Decision Diagrams (BDD) Durchführung FTA mit zunehmender Größe des FT schwieriger • Probleme: • Rechenzeit steigt exponentiell mit Anzahl der Knoten • bei Bestimmung MCS: • Abbruchfehler • bei Berechnung Eintrittswahrscheinlichkeit TE: • kein effizienter Algorithmus • Schätzung selten eintretender Ereignisse

  10. x1 x2 x2 x3 1 0 BDD ist gerichteter, azyklischer Graph mit genau einer Wurzel • Eigenschaften: • genau zwei Knoten ohne ausgehende Kanten • jeder andere Knoten hat zwei ausgehende Kanten • jeder Knoten mit Variable xi markiert • Darstellung: • 1- Kante als durchgezogene Linie • 0- Kante gestrichelt • Senken als Rechteck • Knoten als Kreise

  11. OBDD hält eine vorgegebene Variablenordnung von Wurzel zur Senke ein • Ordered BDD • Variablen in jedem Pfad in selber Reihenfolge • Darstellung von Schaltfunktionen mit Hilfe Shannon- Zerlegung: f = xi . fxi + xi .fxi fxi: positiver Cofaktor (xi= 1) fxi: negativer Cofaktor (xi= 0)

  12. OBDD für gegebene Schaltfunktionen nicht eindeutig bestimmt • Forderung an Darstellung: • minimal • Redundanzfreiheit • Arten von Redundanzen: • 0- und 1- Nachfolgeknoten eines Knotens v identisch • bestimme Teilgraphen treten mehrfach auf • Anwendung von Reduktionsregeln • ROBBD (Reduced Ordered BDD) als Ergebnis

  13. x2 x3 kanonischen Darstellung von Schaltfunktionen durch zwei Reduktionsregeln • Eliminationsregel (Deletion Rule): • 0- und 1- Nachfolgeknoten eines Knotens v identisch • Vorgehen: • Knoten v eliminieren • in Knoten v eingehenden Kanten auf Nachfolgeknoten umleiten

  14. x2 x3 x3 kanonischen Darstellung von Schaltfunktionen durch zwei Reduktionsregeln • Eliminationsregel (Deletion Rule): • 0- und 1- Nachfolgeknoten eines Knotens v identisch • Vorgehen: • Knoten v eliminieren • in Knoten v eingehenden Kanten auf Nachfolgeknoten umleiten

  15. x2 x2 x3 x3 kanonischen Darstellung von Schaltfunktionen durch zwei Reduktionsregeln • Isomorphieregel (Merging Rule): • bestimme Teilgraphen treten mehrfach auf: • Knoten u und v mit gleicher Variable markiert • 1- bzw. 0- Kante von u und v haben jeweils gleichen Nachfolger • Vorgehen: • Knoten u oder v eliminieren • in diesen Knoten eingehenden Kanten auf verbleibenden umlenken

  16. x2 x2 x2 x3 x3 x3 x3 kanonischen Darstellung von Schaltfunktionen durch zwei Reduktionsregeln • Isomorphieregel (Merging Rule): • bestimme Teilgraphen treten mehrfach auf: • Knoten u und v mit gleicher Variable markiert • 1- bzw. 0- Kante von u und v haben jeweils gleichen Nachfolger • Vorgehen: • Knoten u oder v eliminieren • in diesen Knoten eingehenden Kanten auf verbleibenden umlenken

  17. Reduktionsrichtung von unten nach oben • Anwendung Eliminationsregel • Anwendung Isomorphieregel

  18. Konstruktion von BDD auf zwei unterschiedlichen Wegen • Schaltfunktion als Ausgangspunkt: • schrittweise Erstellung BDD mit Hilfe der Shannon- Zerlegung • Äquivalenztest parallel dazu • keine Reduktion erforderlich • FT als Ausgangspunkt: • vollständigen Entscheidungsbaum aufstellen: • TE als Anfangspunkt • logische Verknüpfung der Ereignisse durch boolesche Algebra • Reduktion

  19. TE C A . B A B Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) + .

  20. A B 1 0 1 0 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • Schritt 1: AB und

  21. A B B 0 1 1 1 0 0 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • Schritt 1: AB und und

  22. B B B 1 1 1 0 0 0 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • Schritt 1: AB 1 . X = X 0 . X = 0 A A 0 1 und und 0

  23. B C C A 1 1 1 0 0 0 oder oder 0 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • Schritt 1: AB • Schritt 2: AB + C

  24. C C C B C A A 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 B oder oder 0 1 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • Schritt 1: AB • Schritt 2: AB + C 1 + X = 1 0 + X = X

  25. C C A 1 1 0 0 B 1 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • Schritt 1: AB • Schritt 2: AB + C • Schritt 3: Reduktion

  26. C C A A 1 1 0 0 B B C C 1 1 0 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • Schritt 1: AB • Schritt 2: AB + C • Schritt 3: Reduktion

  27. A B C C 1 0 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • Schritt 1: AB • Schritt 2: AB + C • Schritt 3: Reduktion

  28. A A B B C C C 1 0 1 0 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • Schritt 1: AB • Schritt 2: AB + C • Schritt 3: Reduktion

  29. A B C 1 0 Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • jeder Pfad vom Wurzelknoten zur Senke 1 löst das TE aus

  30. Konstruktion BDD zum TE = AB + C (Variablenordnung: A < B < C) • jeder Pfad vom Wurzelknoten zur Senke 1 löst das TE aus A B C 1 0

  31. Auswertung FT effizient mit Hilfe BDD • Bestimmung der minimalen Lösungen: • jeder Pfad von Wurzel zur Senke 1 ist Lösung • Lösungen nicht minimal • minimale Lösung mit Hilfe Algorithmus (Rauzy) • Ermittlung der Eintrittswahrscheinlichkeit des TE: • exakte Resultate (kein Abbruch) • mit Hilfe der Shannon- Zerlegung: p (f) = p (x = 1) * p (f {x = 1} ) + p (x = 0) * p (f {x = 0} )

  32. Bewertung des BDD- Ansatzes • Vorteile ggü. FTA: • exakte Berechnungen • keine Abbruchfehler • keine Schätzungen • Bewältigung großer Anzahl von cutsets • schnellere Berechnung • Softwarepakete erhältlich (z.B. Aralia...) • Nachteile: • Verlagerung Komplexität auf Erstellung • Größe BDD abhängig von Variablenordnung • Anwendung: • symbolische Verifizierung von Digitalschaltkreisen • Modellierung technischer Systeme (Kraftwerke, Flugzeuge...)

  33. Quellenangabe • Buchacker, K.: Definition und Auswertung erweiterter Fehlerbäume für die Zuverlässigkeitsanalyse technischer Systeme • Fault Tree Handbook with Aerospace Applications (NASA) • Rauzy, A.: New algorithms for fault trees analysis • Meinel, C., Theobald, T.: Algorithmen und Datenstrukturen im VLSI- Design • http://www.wikipedia.de

  34. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

  35. Backup

  36. Q A B Berechnung der Wahrscheinlichkeit des TE bei „oder“- Verknüpfung • P(Q) = P(A) + P(B) – P(A∩B) • Näherung bei kleinen Wahrscheinlichkeiten: • P(A), P(B) < 10-1 • P(A∩B) klein gegenüber P(A) + P(B) • P(Q) = P(A) + P(B) +

  37. x1 id: 1 id: 2 id: 4 x2 x2 x3 id: 3 id: 6 id: 5 1 0 Reduktion eines OBDD (1)

  38. x1 x1 id: 1 id: 1 id: 2 id: 2 id: 4 id: 4 x2 x2 x2 x2 x3 id: 3 id: 6 id: 6 id: 5 id: 5 1 0 1 0 Reduktion eines OBDD (2)

  39. x1 id: 1 id: 2 id: 4 x2 x2 id: 6 id: 5 1 0 Reduktion eines OBDD (3)

  40. x1 x1 id: 1 id: 1 id: 2 id: 2 id: 4 x2 x2 x2 id: 6 id: 6 id: 5 id: 5 1 1 0 0 Reduktion eines OBDD (4)

  41. x1 id: 1 id: 2 x2 id: 6 id: 5 1 0 Reduktion eines OBDD (5)

  42. x1 id: 1 id: 2 id: 2 x2 x2 id: 6 id: 6 id: 5 id: 5 1 1 0 0 Reduktion eines OBDD (6)

  43. Konstruktion BBD mit Schaltfunktion als Ausgangspunkt • Geg.: f(x1, x2, x3) = x1(x2 + x3)

  44. Konstruktion BBD mit Schaltfunktion als Ausgangspunkt • Geg.: f(x1, x2, x3) = x1(x2 + x3) • Unterfunktionen von x1 berechnen: fx1 = x2 + x3 fx1 = 0 x1 0

  45. Konstruktion BBD mit Schaltfunktion als Ausgangspunkt • Geg.: f(x1, x2, x3) = x1(x2 + x3) • Unterfunktionen von x1 berechnen: fx1 = x2 + x3 fx1 = 0 • Unterfunktionen von x2 berechnen: fx1x2 = x3 fx1x2 = 1 + x3 = 1 x1 x2 1 0

  46. x1 x2 1 Konstruktion BBD mit Schaltfunktion als Ausgangspunkt • Geg.: f(x1, x2, x3) = x1(x2 + x3) • Unterfunktionen von x1 berechnen: fx1 = x2 + x3 fx1 = 0 • Unterfunktionen von x2 berechnen: fx1x2 = x3 fx1x2 = 1 + x3 = 1 • Unterfunktionen von x3 berechnen: fx1x2x3 = 1 fx1x2x3 = 0 x3 0

  47. Operationen auf BDD (exemplarisch) • binäre Operationen: • Verknüpfung mehrerer BDD mit boolescher Algebra • Voraussetzung: • gleiche Variablenordnung der Funktionen • Anwendung: • Erstellung großer BDD • einfache Veränderung bestehender BDD • Algorithmen: • Äquivalenztest: • Test, ob zwei gegebene OBBD die gleiche Fkt. Darstellen • Auswertung: • Durchlauf des OBDD von der Wurzel zur Senke

  48. Speicherverwaltung • Situation: • große OBBD aus Vielzahl von kleinen OBBD aufgebaut • kleine OBDD nur eine vorübergehende Zeit von Bedeutung • nicht benötigte OBBD sollen entfernt werden • Problematik beim sofortigen Löschen: • „tote“ Knoten evtl. für spätere Berechnungen noch benötigt • Knoten kann nur gelöscht werden, wenn zugleich alle seine Vorgänger gelöscht werden • Strategie: Garbage Collection • Speicherplatz eines „toten“ Knotens wird nicht sofort freigegeben • warten bis Umstrukturierungsaufwand in gutem Verhältnis zum Gewinn an Speicherplatz

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