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解析函数

第二章. 解析函数. 定义 2.1 （导数的定义）设函数 w = f ( z ) 定义在 z 平面上区域 D 内，点 z 0 、 z 0 +  z  D, ,. 若极限. 存在 , 则称函数 f ( z ) 在 z 0 可导 , 这个极限值称为 f ( z ) 在 z 0 的导数 , 记作. 若函数 f ( z ) 在区域 D 内每一点都可导，则称函数 f ( z ) 在区域 D 内可导. §2.1 解析函数的概念. 1. 复变函数的导数.

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  1. 第二章 解析函数

  2. 定义2.1（导数的定义）设函数w=f(z)定义在z平面上区域D内，点z0、z0+zD, , 若极限 存在,则称函数f(z) 在 z0可导,这个极限值称为f(z)在z0的导数,记作 若函数f(z)在区域D内每一点都可导，则称函数f(z)在区域D内可导. §2.1 解析函数的概念 1.复变函数的导数

  3. 例2.1求函数f(z)=zn（n为正整数）的导数. 解： 说明zn(n为正整数)在整个z平面上处处可导.

  4. 例2.2研究函数f(z)= 在整个z平面上的可导性. 解：令z=x+iy, 让 沿着平行于x轴的直线趋于z，此时 让 沿着平行于y轴的直线趋于z，此时 函数在整个z平面上处处不可导.

  5. 若函数f(z)在点z0可导，根据导数的定义，用极限语言来表达，即:对于 , 必定 ,使得当 时，有 令 于是 则有 又因为 所以 即f(z)在z0连续. 注：函数可导必连续。

  6. 常用的求导公式与法则 (1) (C)'=0其中C为复常数; (2) (zn)'=nzn-1,其中n为正整数; (3) (f(z)±g(z))'=f'(z)±g'(z); (4) (f(z)g(z))'=f'(z) g(z) +f(z) g'(z) ; (5) ; (6) (f(g(z)))'=f'(w)g'(z),其中w=g(z); (7) 若两个单值函数w=f(z)与z=h(w)互为反函数，且h'(w)≠0,则有 .

  7. 2.解析函数的概念 定义2.2若函数f(z)在点z0及z0的邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0解析.若函数f(z)在区域D内每一点都解析，则称函数f(z)在区域D内解析，或称f(z)是D内的解析函数. 若f(z)在点z0不解析，但在z0的任一邻域内总有f(z)的解析点，则称z0为f(z)的奇点. 例2.3研究函数f(z)=zRe(z)的解析性. 解：设z=x+iy, z0=x0+iy0.当z0≠0时，则

  8. 令x=x0,y→y0, 则 令y=y0,x→x0, 则 当z0=0时，有 说明f(z)=zRe(z)当z≠0时不可导. 函数仅在z=0处导数存在. 它在z平面上处处不解析.

  9. 定理2.1 (1)在区域D内解析的两个函数f(z)和g(z)，其和、差、积、商（要求分母不为零）在区域D内解析. (2)设函数h=g(z) 在 z平面上的区域D内解析，函数=f(h)在h平面上的区域D*内解析.若对于D内每一点z，g(z)的对应值h落在D*内，则复合函数=f(g(z))在区域D内解析.

  10. 定义2.3对于二元实函数u(x,y)和v(x,y)，方程 称为柯西-黎曼方程（简记为C-R方程）. 3.函数可导与解析的充要条件 定理2.2设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定义，则f(z)在区域D内一点z=x+iy可导的充要条件是 (1) 二元实函数u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微； (2) u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程. 证明：先证必要性. 设f(z)在区域D内一点z=x+iy可导，

  11. 令 令 都是关于 的高阶无穷小量. 根据二元实函数微分的定义可知，u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微，并且有

  12. 都是关于 的高阶无穷小量. 是无穷小量 再证充分性. 已知u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，即有

  13. 由于u(x,y)、v(x,y)满足柯西-黎曼方程，故有 说明函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导. 函数导数公式有如下四种形式：

  14. 定理2.3函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是定理2.3函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是 (1) 二元实函数u(x,y)和v(x,y)在D内可微； (2) u(x,y),v(x,y)在D内满足柯西-黎曼方程. 推论2.1若u(x,y)与v(x,y)的一阶偏导在点(x,y)（或区域D内）存在而且连续，并满足柯西-黎曼方程，则f(z)在点(x,y)可导（或在区域D内解析）. 例2.4讨论下列函数的可导性与解析性. (1) f(z)= Im(z) ; (2) f(z)=|z|2z . 解：(1) 设z=x+iy,则f(z)= Im (z)=y. u(x,y)=y, v(x,y)=0都在复平面上可微.

  15. 在复平面上u(x,y),v(x,y)不满足柯西-黎曼方程. 所以f(z)=Im(z)在复平面上处处不可导,处处不解析. (2)设z=x+iy,则f(z)=(x2+y2)x+i(x2+y2)y. u(x,y)=(x2+y2)x,v(x,y)=(x2+y2)y都在复平面上可微 整个复平面上仅在(0,0)点满足柯西-黎曼方程， 所以f(z)=|z|2z仅在点(0,0)处可导，处处不解析.

  16. 例2.5试证函数f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析，且f'(z)=f(z).例2.5试证函数f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析，且f'(z)=f(z). 证明：u(x,y)=excosy, v(x,y)=exsiny在复平面上可微 u(x,y),v(x,y)在复平面上每一点都满足柯西－黎曼方程，所以f(z)在复平面上解析 f'(z)=ux+ivx=excosy+iexsiny=f(z).

  17. 定义2.3对于复变数z=x+iy，定义指数函数为: ez又用记号exp(z)表示. (2) 在复平面上ez≠ 0 . (3)当Im(z)=y=0时，则ez=ex. (4)当Re(z)=x=0时，则ez=eiy=cosy+isiny, 此为欧拉公式. (5) ez在z平面上处处解析，且(ez)=ez. §2.3 初等函数 1.指数函数 复指数函数ez的性质：

  18. (6)加法定理成立，即 (8)极限 不存在，即 无意义. z1=x1+iy1, z2=x2+iy2 (7) ez是以2pi为基本周期的周期函数.

  19. 定义2.4规定对数函数是指数函数的反函数，即若定义2.4规定对数函数是指数函数的反函数，即若 则称函数w=f(z)为z的对数函数，记作w=Lnz. w=u+iv,则eu+iv=eueiv=|z|eiArgz. u=ln|z|,v=Argz,w=u+iv=ln|z|+iArgz Lnz. 2.对数函数 w=Lnz=lnz+2ki=ln|z|+iargz+2ki, k=0,1, 2,…. 例2.6 Ln3=ln3+2ki (k=0,±1, ±2,…); ln(-1)=ln(-1)+ i= i; Ln(-1)=ln(-1)+2ki=i+2ki=(2k+1)i (k=0,±1, ±2,…).

  20. 复对数函数的性质 对于等式左边的多值函数的任一个值，等式右边的两个多值函数一定各有一个适当的值与之对应，使等式成立，反之亦然.也就是说，等式两端可能取值的函数值的全体是相同的.

  21. 等式 Lnzn=n Lnz, 不再成立，其中n≥ 2,为正整数. 以n=2时为例进行说明。 可见2Lnz与Lnz2的实部相等，但虚部的取值不完全相同 2Lnz可能取值是Lnz2可能取值的一部分,所以等式Lnzn=nLnz不成立.

  22. 因为z=ew在区域 内的反函数w=lnz是单值的，所以由反函数的求导法则，有 对数函数的解析性 对数函数 w=Lnz的主值分支lnz=ln|z|+iargz，其实部ln|z| 在复平面上除去原点外都是连续的，虚部argz在负实轴和原点不连续 lnz在复平面上除去原点和负实轴外处处解析. 同理可知，Lnz的各个分支在复平面上除去原点和负实轴外也是处处解析的.

  23. 若a为正整数n,w=zn;当a为分数 (n正整数)时， 与 即为通常的幂函数. 3.幂函数 定义2.5函数w=za=eaLnz（z≠0,a为复常数）称为z的一般幂函数. 它是复平面内的单值解析函数. 对于每个确定的k,上式函数对应着的一个分支. 函数的各个分支在除去原点和负实轴的复平面上也是解析的，并且具有相同的导数。

  24. 对于一般的幂函数 ，它也是多值函数，并且其各个分支在除去原点和负实轴的复平面上也是解析的. 若一般的幂函数 的底数z为一确定复常数b(b≠0)，则ba=eaLnb称为乘幂.由于Lnb=ln|b|+iargb +2ki，所以乘幂ba也是多值的. 例2.7求下列各数的实部和虚部. 解： (1) k=0,±1,….

  25. (2) k=0,±1, ±2，…. (3)

  26. k=0,±1,….

  27. 定义2.6规定 分别称为z的正弦函数与余弦函数. 4.三角函数与反三角函数 性质 (1)周期性：sinz与cosz是以2为基本周期的周期函数.

  28. (2)奇偶性：sinz为奇函数，cosz为偶函数. (3)欧拉公式在复数域中eiz=cosz+isinz也成立. (4)三角恒等式成立.

  29. (5) 解析性：sin z与cosz在平面上处处解析，且 (sinz)=cosz, (cosz)=-sinz. (6) 无界性：复变函数sinz,cosz在复平面上是无界函数. 取z=iy(y>0), 只要y充分大，cosy就可以大于一个预先给定的正数. 其它三角函数定义如下:

  30. 例2.8求函数cosz在z=1+i的值. 解： 三角函数可以用指数函数表示，由于对数函数是指数函数的反函数，所以反三角函数作为三角函数的反函数可以用对数表示. z=sinw

  31. 定义反正弦函数为 反余弦函数 反正切函数 反余切函数

  32. 例2.9求函数Arcsinz在z=5的值. 解：

  33. 例2.10求函数Arctanz在z=2+3i的值. 解：

  34. 定义2.7规定 并分别称它们为双曲正弦函数与双曲余弦函数. 5.双曲函数与反双曲函数 性质 (1)周期性：shz和chz都是以2i为基本周期的周期函数. (2)奇偶性：shz为奇函数，chz为偶函数.

  35. (3)解析性：shz和chz在复平面上处处解析，且有 (shz)'=chz,(chz)'=shz. (4) shz、chz与sinz、cosz有如下关系： siniy=ishy, shiy =isiny , cosiy=chy, chiy =cosy . 反双曲正弦函数 反双曲余弦函数

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