第八讲 : 动力系统模型 (Dynamic Models)

1. 数学建模理论与实验 第八讲: 动力系统模型(Dynamic Models) ---水鹏朗

2. 8.1 什么是动力系统(Dynamic System)? 所有的事物都随着时间发生着变化！ 人不能两次走进同一条河流！ 变化无处不在、变化无时不在，发现各种事物的变化规律是科学研究的任务之一，也是数学建模面临问题的主要类型。。 不变是相对的，而变是绝对的！。 “海枯石烂” “沧海桑田” 古希腊哲学家 赫拉克利特 （公元前5世纪） 周星驰：“曾经有一段真执的感情放在我面前我没有珍惜它，失去后后悔莫极，人生最大的痛苦莫过于如此，如果上天再给我一个机会，我会对那个女孩说三个字，我爱你，如果在这段感情后面加个期限，我希望是一万年。”

3. 8.1 什么是动力系统？ 民族性格：感性体会多于理性认知，是我国近代科学发展落后的主要原因之一。 题都城南庄 唐. 崔护 去年今日此门中 人面桃花相映红 人面不知何处去 桃花依旧笑春风 实际系统随时间演化中，包含了“变”和“不变”两种成分。需要发现不变的成分，描述变的成分的演化规律，建立“变”与“不变”之间的相互关联。

4. 8.1 什么是动力系统？ 复杂系统内，常常包含了多个相互影响的变化事物或因素。 普遍联系原理 【原理内容】事物是普遍联系的，整个世界是一个普遍联系的有机整体。【方法论】必须坚持联系的观点看问题。对事物的联系进行具体地分析，反对形而上学-孤立地看问题。联系的客观性原理【原理内容】联系是事物本身固有的，不以人的意志为转移的。（自在事物和人为事物的联系都是客观的）【方法论】联系的客观性要求：要从事物固有的联系中把握事物，切忌主观随意性。联系的多样性原理【原理内容】事物的联系是多种多样的，（具体的，有条件的）。【方法论】联系的多样性要求：注意分析和把握事物存在和发展的各种条件，做到一切以时间、地点和条件为转移。整体和部分相互关系原理【原理内容】整体和部分既相互区别，又相互联系、密不可分。

5. 8.1 什么是动力系统？ 动力系统就是研究在一个实际系统中各种因素(状态、变量）随时间演化规律的数学学科。 社会发展中的动力学系统 因素间相互关系 状态 X(t)-国民生产总值（GDP) 我国社会发展的追求目标是建立国民幸福感最大化的“和谐社会”，国家政策调控的关键是“社会财富的分配制度” Y(t)-社会财富分配的基尼系数，在(0,1)区间上取值 Z(t)-国民的幸福感度量 国家调控政策 t----时间变量

6. 基尼系数 基尼系数=A/(A+B)=2A

7. 8.2 常见的动力系统模型 连续时间微分动力系统 系统的状态变量由n个时间的可微分函数 描述，状态变量函数随时间的演化满足微分方程组 解的存在唯一性： 如果函数 在点 的邻域内具有一阶连续的偏导数， 那么存在唯一的解通过初始点。

8. 8.2 常见的动力系统模型 连续时间动力系统的解与稳态分析 微分动力系统的解由n维状态空间中的很多条曲线构成，通过一个初始点的解可以理解为一条轨线(path) 动力系统的平衡点： 动力系统的所有轨线在平衡点之外的任何点上是不可能相交的。 感兴趣的问题：从一个初始点出发，系统随着时间趋于无穷，最终的极限是否存在？如果存在，极限是什么？

9. 8.2 常见的动力系统模型 连续时间动力系统应用举例 蓝鲸和长须鲸的竞争生存模型 蓝鲸和长须鲸生活在相同的海域，两个总群间共享海洋资源，存在竞争关系。蓝鲸和长须鲸种群的年繁殖率分别是5%和8%。海域对两种鲸鱼的环境最大承载能力分别是150000和400000头。两类鲸鱼之间种群竞争的程度是未知的。由于人类的过渡捕捞，该海域的蓝鲸和长须鲸数量已经减小到5000头和70000头。 关心的问题：

10. 8.2 常见的动力系统模型 连续时间动力系统应用举例 两个种群的竞争损失；假定竞争损失因子对两个种群是相同的；参数是竞争损失因子，未知。 当种群数量接近于环境承载最大值时，种群繁殖会受到明显抑制。 状态变量的变化范围

11. 8.2 常见的动力系统模型 第四个平衡点依赖于竞争损失因子 动力系统的平衡点 平衡点方程组 平衡点1-3 生态系统崩溃，蓝鲸和长须鲸都灭绝 长须鲸灭绝，蓝鲸种群达到环境的最大承载上限 蓝鲸灭绝，长须鲸总群达到环境的最大承载上限

12. 8.2 常见的动力系统模型 当 时， 第四个平衡点将位于状态变量的变化范围S之外，意味着系统仅有三个平衡点。因此，当两个种群竞争损失因子太大时(恶性竞争)时，系统随着时间演化必然收敛到另外三个平衡点。意味着：恶性竞争条件下，两个鲸鱼种群不能共生，至少有一个总群灭绝。 y 0.05/ 蓝鲸灭绝 400000 种群共生 都灭绝 长须鲸灭绝 假定 x 0.08/ 150000

13. 8.2 常见的动力系统模型 轨线计算与各平衡点的收敛域

14. 8.2 常见的动力系统模型 生态系统的自我调节能力是非常强的；在没有人工干预的情况下，蓝鲸和长须鲸种群在大多数情况下，可以通过调节最终达到共生的平衡状态 对自然最好的 保护，就是让 它远离人类的干扰！

15. 8.2 常见的动力系统模型 离散时间动力系统应用举例 假定在一个封闭的环境中，某生物种群的环境最大承载能力是1，初始状态下生物种群的相对数量是 。建立模型并探究生物种群数量随着年度的变化规律。 生物种群第n年的繁殖率:繁殖率随着种群数目接近最大承载能力而下降，并且繁殖率是随着时间变化的，并且依赖于参数r. Logistic map

16. 8.2 常见的动力系统模型 离散时间动力系统应用举例 Logistic map 参数r的取值范围 生物种群繁殖过程中，任何时候种群的数量都不能超过环境的最大承载能力1. 意味着：

17. 8.2 常见的动力系统模型 r取不同值时动力系统轨道的演化 从初始状态x(0)出发，动力系统演化的轨线；在动力系统中我们关心的是随着时间演化，系统的最终状态是什么？。 参数r在(0,4]从小到达取值，初始状态x(0)在(0,1)上随机取值时，轨线的不同演化过程。

18. 8.2 常见的动力系统模型 r取不同值时动力系统轨道的演化 r=1, 轨线缓慢衰减到零，种群灭绝 r=0.2, 轨线快速衰减小到零，种群灭绝 r介于0和1之间时，无论初始状态如何，种群终将灭绝；r越大，种群消失所花费的时间越长。 种群繁殖率负增长，必然导致种群最终灭绝！

19. 8.2 常见的动力系统模型 r取不同值时动力系统轨道的演化 r介于1和2之间时，轨线快速收敛到平衡点 种群区域生态平衡状态。 r介于2和3之间时，轨线震荡 收敛到平衡点 种群区域生态平衡状态。

20. 8.2 常见的动力系统模型 r取不同值时动力系统轨道的演化 r介于3和3.45之间时，几乎从所有状态出发，轨线将趋向于在两个值之间交替震荡。这两个值与r的取值有关。 繁殖率高度依赖种群数量，种群数量 小时，种群高增长率繁殖；种群数量 接近1时，种群数量高速率减少。

21. 8.2 常见的动力系统模型 r取不同值时动力系统轨道的演化 r介于3.45和3.54之间时，几乎从所有状态出发，轨线将趋向于在四个值之间交替震荡。这两个值与r的取值有关。

22. 8.2 常见的动力系统模型 周期为4的极限环 序列本身的极限不存在；但序列分割成几个交替互补重叠的子序列时，各子序列具有不同的极限；当n充分大时，序列在四个状态之间交替转换。 x(n+1) x(n+2) x(n) x(n+4) x(n+3)

23. 8.2 常见的动力系统模型 混沌 随着r的增加，依次出现周期8,16,32，…的极限环。当r超过3.57时，几乎从所有的初始状态出发，不在出现有限周期的极限环；时间序列出现了混沌现象(Chaos). 什么是混沌？ 初始状态非常微小的变化，随着时间的演化，两个序列之间的误差可以任意大。 极限环 极限存在

24. 8.2 常见的动力系统模型 • 随着时间序列的演化，我们很难对时间序列的长期变化趋势进行准确预测； • 确定性系统，从初始状态可以精确预测长期行为； • 混沌系统，从初始系统可短期预测系统行为，但不能长期预测系统行为； • 随机系统，当前状态无法精确预测下一个时刻的状态。

25. 8.2 常见的动力系统模型 失之毫厘、差之千里！

26. 8.2 常见的动力系统模型 北美2004TOP10的影片《蝴蝶效应》 蝴蝶效应 男主角小时候和小伙伴一起捣蛋，闯了祸，长大后，活得很不爽，尤其是和与自己青梅竹马的女孩没办法在一起。偶然的机会，他翻看自己的一本日记本，却被它带回闯祸那一刻的前前后后，他在那一刻的一点小小的改变，都导致了截然不同的人生轨迹，却没有一个是更好的，有的是杀人被捉，有的是炸断了手，或者炸断腿，或者青梅竹马女孩死掉，甚至被人当精神病人治疗。最后，他决定放弃那个女孩，回到很小的时候，跟她说讨厌她，才获得最终生活的平静。(人生充满歧路且不可重来） 南美洲的蝴蝶扇动了一下翅膀，导致了北美洲大雨瓢泼！

28. 8.2 常见的动力系统模型 蝴蝶效应启示录 安徽阜阳FM87.7颍上交通音乐广播官方微博@颍上交通音乐广播11月16日6时49分消息：11月15日17时许，本台工作人员凌某某在合淮高速交通事故现场，行为举止不当，在社会上造成了严重不良影响。

29. 8.3 人口模型-Malthus模型与Logistic模型 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节主要是建立几个简单单种群增长模型，介绍这类问题的一般性分析方法，为更复杂的多种群生态模型的建立提供基础。 微分方程模型 由于在数学上，连续时间变量的函数比离散时间序列在处理上更加灵活。因此，虽然生物种群数量本应在时间和取值上都是离散的，但由于种群数量一般较大，离散时间也可用连续时间表示，建立模型时，可将种群数量和演化时间变量都看成连续变量，而且往往小的时段，种群数量的增量也是小的，种群数量可以看作是时间变量的可微分函数。

30. 8.3 马尔萨斯(Malthus)人口模型 建立了最简单的人口增长和生产资料(粮食)增长的数学模型。并且这些数学模型 得到了当时人口数据和生产资料数据的验证。 困惑：生产资料增长不能满足人口增长的需求。 解决之道：各种限制人口繁殖的措施。自然界生物种群控制之道。 Malthus其人其事

31. 8.3 马尔萨斯(Malthus)人口模型 马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数 设在t时刻，种群的数量是N(t)，t的一个连续可微分的函数，那么种群数量随着时间的演化满足微分方程 设在t0时刻，种群的数量是N0，种群数量随时间演化满足常微分方程：

32. 8.3 马尔萨斯(Malthus)人口模型 微分方程的解 种群数量翻番的时间T被净增长率唯一确定，r越大，种群数量翻番的时间越短。 种群数量翻番所需的时间T 随着人类社会的不断发展和进步，特别是年青人对新生活方式的最求， 在西欧的一些国家和日本甚至出现了人口的复增长。在负增长情况下， 人口数量减半的时间周期T1

33. 几何级数的增长 8.3 马尔萨斯(Malthus)人口模型 模型检验(粗略) 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。

34. 8.3 马尔萨斯(Malthus)人口模型 • 从更长的时间尺度上来看，人口净增长率r并不是常数。例如1800-1930年世界人口从10亿变为20亿花费了130年，而从20亿变为40亿，仅花费了44年，而从40亿变为70亿花费了37年。 • 因此，世界人口净增长率是随着时间尺度变化的；主要体现在： • 医学进步延长了平均寿命、增加了净增长率； • 而人口大国的计划生育、晚婚晚育、生活观念的变化又会降低净增长率。 模型检验(精细)

35. 8.3 马尔萨斯(Malthus)人口模型 中国人口问题的第一次机遇 学者的风骨！

36. 8.3 Logistic人口模型 • Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特(Verhulst)提出的。 • 按照马尔萨斯人口模型，种群数量按照指数函数无限增加； • 封闭环境中，细菌种群的数量并不会随着时间无限增加； • 环境资源有限情况下，种群内部的资源竞争会抑制种群繁殖的速率。 种群的净增长率不是常数，而是随着种群数量呈衰减趋势 种群内竞争项 这里选用了最简单的线性函数来模拟净增长率随着种群数量递减的关系。数学建模中，对于变换规律的建模都是从简单向复杂逐步过渡的；只有当模型检验表明“简单模型不符合实际数据时”，才考虑模型“升级”。“简单即美”。

37. 图8-1 8.3 Logistic人口模型 动力系统方程 变量可分离常微分方程 K---环境对种群的最大可支撑能力；当N(t)>K 时，净增长率小于零，种群数目减小趋向K;当N(t)<K时，净增长率大于零，种群数目增加趋向于K. 没有种群间竞争时，种群的最终数量取决于环境支撑能力。 微分方程求解

38. 模型检验 1945年克朗皮克（Crombic）做了一个人工饲养小谷虫的实验，数学生物学家高斯（E·F·Gauss）也做了一个原生物草履虫实验，实验结果都和Logistic曲线十分吻合。 大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线。 8.3 Logistic模型检验

39. 历史背景: 赝品的鉴定 8.4 人口模型的应用举例 第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了三流画家范·梅格伦，此人曾将17世纪荷兰名画家扬·弗米尔的油画“捉奸”等卖给纳粹德国戈林的中间人。 范·梅格伦在同年7月12日在牢里宣称：他从未把“捉奸”卖给戈林，而且他还说，这一幅画和众所周知的油画“在埃牟斯的门徒”以及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画“耶稣在门徒们中间”，当这项工作接近完成时，范·梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造罪，因此他拒绝将这幅画交出，以免留下罪证。(“我通过高明的赝品制作保护了国家财产！应该是民族英雄啊！”） 为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组查究这一事件。他们用X射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象。科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，

40. 赝品的鉴定 8.3 人口模型-实例1 还在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂。根据这些证据，范·梅格伦于1947年10月12日被宣告犯有伪造罪，被判刑一年。可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于1947年12月30日死去。（目的是高尚的，手段是违法的，依然要判刑---西方思维方式的可爱！“黑猫、白猫，逮住老鼠就是好猫”，只管目的，不择手段的超级实用主义) 事情并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在埃牟斯的门徒”是范·梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范·梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后，他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基·梅伦大学的科学家们 基本上解决。 (“科学提供了最终裁决权，数学建模提供了理性支持” “三流画家”和“有关部门”都输了，数学建模和科学赢了！ ）

41. 8.3 人口模型-实例1

42. 用N(t)表示时间t时存在的原子数,则： 常数λ是正的，称为该物质的衰变常数 与负增长的Malthus模型完全一样 8.3 人口模型-鉴定的原理与模型 测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的放射性现象。 放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射性与所存在的物质的原子数成正比。 用λ来计算半衰期T: 解析解 半衰期 许多物质的半衰期已被测定，如碳14，其T=5568；轴238，其T=45亿年。

43. 用N(t)表示时间t时存在的原子数,则： 常数λ是正的，称为该物质的衰变常数 其解为: 许多物质的半衰期已被测定，如碳14，其T=5568；轴238，其T=45亿年。 令 则有: 8.3 人口模型-鉴定的原理与模型 测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是本世纪初发现的放射性现象。 放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在本世纪初发现，某些“放射性”元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，且物质的放射性与所存在的物质的原子数成正比。 用λ来计算半衰期T:

44. 利用放射原理，还可以对其他文物的年代进行测定。例如对有机物（动、植物）遗体，考古学上目前流行的测定方法是放射性碳14测定法，这种方法具有较高的精确度，其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连续照射，空气中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射性碳14（C14）。有机物存活时，它们通过新陈代谢与外界进行物质交换，使体内的C14处于放射性平衡中。一旦有机物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即被破坏。因而，通过对比测定，可以估计出它们生存的年代。例如，1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurabi王朝字样的木炭，经测定，其C14衰减数为4.09个/每克每分钟，而新砍伐烧成的木炭中C14衰减数为6.68个/每克每分钟，C14的半衰期为5568年，由此可以推算出该王朝约存在于3900-4000年前。 8.3 人口模型-鉴定的原理与模型

45. 8.4 草原生态建模问题(课程作业选择之二） 脆弱的高原草原生态，过渡繁殖的黄羊，几乎被人类灭绝的狼群。试建立草原上“草场-黄羊-狼”的生态模型。并给出保持生态平衡的建议。 草原生态构成 黄羊吃草、黄羊过渡繁殖会导致草场退化！ 狼吃羊，羊群种群数量太小时，狼群种群繁殖率下降.

46. 8.4 草原生态建模问题(课程作业选择之二） 生态要素基本假定 • 狼群基本假定 • 当前狼群种数50只； • 黄羊种群数量与狼种群数量之比超过300:1时，狼群净增长率0.01. • 之比低于300:1时，会导致狼群繁殖率下降，下降与狼群总量与黄羊总量值比成比例，比例系数。 • 每只狼平均每年吃掉20只黄羊； • 黄羊灭绝次年，狼群灭绝。 • 草场基本假定 • 草场总面积1000平方公里； • 每平方公里在供养50只以下黄羊情况下，草场不退化，且以每年百分之0.08的速度恢复； • 当黄羊数量平均每平方公里超过50只时，草场面积减小率与黄羊超过50只的数量成正比，比例系数0.001； • 草场恢复到1000平方公里后不再增加(容量封顶). • 黄羊种群基本假定 • 当前黄羊种群数量60000只； • 草场充足,没有狼群情况下，黄羊群净增长率0.1； • 草场不充足会导致种群繁殖率下降，净增长率的减小与每平方公里平均黄羊数量减50成正比，比例系数为0.07. • 狼群存在会减少黄羊的数量; • 草场完全退化后，黄羊次年灭绝。 • 建模并分析=5时，200年后生态系统的状态； • 回答这种情况下生态系统的最终状态； • [1,10]之间，讨论它的变化对生态系统的影响。

47. 8.4 草原生态建模问题(课程作业选择之二） 课程作业提示 离散动力系统

48. 8.4 草原生态建模问题(课程作业选择之二） • 草场基本假定 • 草场总面积1000平方公里； • 每平方公里在养50只以下黄羊情况下，草场不退化，且以每年百分之0.01的速度恢复； • 黄羊数量平均每平方公里超过50只时，草场面积减小率与黄羊超过50只的数量成正比，比例系数0.0001； • 草场恢复到1000平方公里后不再增加(容量封顶). 课程作业提示 以草场为例：

49. 8.4 草原生态建模问题(课程作业选择之二） 温馨提示!责任自负！ • 2018年12月30日前，提交PDF版本的“大作业”到：plshui@xidian.edu.cn; • 文件名格式：数模实验---姓名---学号 • 逾期未交作业，成绩记为零分。 课件下载地址:http://see.xidian.edu.cn/faculty/plshui/