Estude os dois exemplos abaixo como recursos úteis que o ajudarão a transpor essa dificuldade.

1. Aparentemente, existe uma dificuldade inerente ao ser humano em compreender que uma soma infinita de termos não nulos possa resultar em um número finito. Tome como exemplo a soma a seguir:

2. Estude os dois exemplos abaixo como recursos úteis que o ajudarão a transpor essa dificuldade. 1. Imagine um quadrado com área A=1. Podemos dividir o quadrado verticalmente ao meio e colorimos a área da esquerda (azul). O retângulo da direita é dividido horizontalmente ao meio e colorimos a área inferior (verde). O quadrado que resta pode novamente ser dividido verticalmente e novamente pintaremos a área da esquerda (laranja). A área da direita é novamente dividida e a parte inferior pintada (cinza). O processo segue indefinidamente. Podemos calcular o valor da área pintada: Como a regra é sempre dividir o pedaço restante ao meio, mesmo que continuemos o processo indefinidamente, nunca pintaremos uma área maior do que a inicial: A=1. Por outro lado, a parte colorida vai ficando cada vez mais próxima da área total A=1 (a área em branco vai ficando cada vez mais reduzida). Podemos agora perceber que a soma dos infinitos termos acima é igual a 1. Resumindo, apesar de termos feito o raciocínio “ao contrário” (dividimos o número 1 em infinitas frações), fica claro que uma soma infinita pode resultar em um número finito, caso contrário, com uma tesoura e uma folha de papel, teríamos uma fábrica de celulose. Esta idéia geométrica para o cálculo de séries infinitas foi inventada por Arquimedes (287 ac).

3. A divisão da área em duas partes iguais é apenas um caso particular. Fazendo o raciocínio mais geral da divisão em partes assimétricas teremos como calcular a soma geral: Sejam x e y as duas frações nas quais a área foi dividida. e, analogamente ao raciocínio anterior, a fração x será novamente dividida. lembre que a = ya + xa (20% de a mais 80% de a = a) repetindo indefinidamente o processo de fracionamento... . . . Ou, isolando a variável y e lembrando que y = 1-x Como queríamos demonstrar... (a demonstração pode ser estendida para x negativo) Exercício Qual o erro no cálculo se somarmos o somatório apenas até a décima potencia de x = 1/2 ? Após alguns passos podemos ver que até a potência n, a expressão fica Para x = 1/2 e n=10 o termo em vermelho (que corresponde a área em branco na figura) vale 1/1024 (menos que um milésimo). Observe que, como x<1, o erro vai a zero quando n cresce.

4. Um segundo exemplo também nos ajuda a compreender somas infinitas. 2. Podemos facilmente decompor a dízima periódica 1,1111... = 10/9 em uma soma infinita: 1,111... = 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... Novamente, temos um número finito sendo representado por uma soma infinita. Este é um caso particular da soma infinita que discutimos anteriormente. Tomando x=1/10, Exercício Calcule o somatório

5. Apenas rascunho 7 8 5 6 3 4 1 2