Ukuran Nilai Sentral dalam Kumpulan Data

1. Ukuran Nilai Sentral dalam Kumpulan Data

2. Materi • Konsep Ukuran Nilai Sentral/Pusat; • Mean, Median, dan Modus • Rataan Geometri • Rataan Harmoni • Latihan

3. KonsepNilaiSentral/ Pusat • Nilai tunggal yang mewakili (mereferensikan) himpunan atau sekelompok data (a set of data)  Rata-rata (Average) • Apabila keseluruhan nilai yang ada dalam data diurutkan besarnya dan selanjutnya nilai rata-rata dimasukkan ke dalam himpunan atau sekelompok data tadi maka nilai rata-rata tersebut memiliki tendensi terletak diurutkan/deretan paling tengah atau pusat, sehingga sering disebut ukuran kecenderungan memusat (measures of centeral tendency) • 3 Jenis Ukuran Nilai Sentral/Pusat : 1. Rata-Rata Hitung (Arithmetic Mean)  µ (myu) dan (x bar) 2. Median  Md 3. Modus (Mode)  Mo

4. 1. Data yang tidak dikelompokkan Mean data (1) Apabila kita mempunyai data x, sebagai hasil pengamatan atau observasi sebanyak N kali, yaitu X1, X2,....Xi,......,XN, maka : a. Rata-rata sebenarnya (populasi) : atau b. Rata-rata perkiraan (sampel): Apabila rata-rata tersebut dihitung berdasarkan sampel sebanyak n di mana n < N observasi, maka rata-rata sampel adalah sebagai berikut : atau Dimana ∑xi =jumlah semua harga x n = banyak data

5. Kasus 1 : Berikutinidisajikan data penjualansuatuperusahaanselama 10 tahun. X = hasilpenjualanselama 10 tahundalamjutaan rupiah X1 = 50 (hasilpenjualantahunpertama) X2 = 60 (hasilpenjualantahunkedua) X3 = 40 (hasilpenjualantahunketiga) X4 = 70 (hasilpenjualantahunkeempat) X5 = 80 (hasilpenjualantahunkelima) X6 = 90 (hasilpenjualantahunkeenam) X7 = 100 (hasilpenjualantahunketujuh) X8 = 65 (hasilpenjualantahunkedelapan) X9 = 75 (hasilpenjualantahunkesembilan) X10 = 85 (hasilpenjualantahunkesepuluh) • Hitung rata-rata hasilpenjualansebenarnya. • AmbilSampelSebanyak n=5, misalnyasetelahdiambilsampelnyadiperolahtahun ke-2, 4, 5, 8 dan 10. Hitung rata-rata perkiraanhasilpenjualan per tahun.

6. 2. Data yang dikelompokkan Mean data (2) Untuk data yang sudah berbentuk frekuensi, dimana nilai –nilai observasi yang terletak dalam suatu kelompok/kelas berdistribusi merata sepanjang interval, maka titik tengah kelas (class mark) (Cm) merupakan nilai tunggal yang representatif untuk nilai dalam kelas tsb. xi = bobot badan fi = frequensi untuk nilai xi yang bersesuaian i = nomor kelas dari i sampai dengan k  = simbol penjumlahan = mean

7. 2. Data yang dikelompokkan Mean data (3) dengan metode perhitungan singkat (short cut metoda) Short cut metoda dilakukan dengan merubah class mark dengan sebuah skala baru (skala u) yang bernilai kecil dan bulat yaitu 0, ±1, ±2, ±3 dan selanjutnya. Ui = nilai skala U kelas i Xi = class mark kelas i X0 = class mark pada U=0 C = interval kelas dimana: = mean X0 = nilai kelas dimana U=0 C = interval kelas = rata-rata U pada skala U

8. Kasus 2 : Berat badan 100 orang mahasiswa Fakultas Ekonomi UT tahun 2007 disajikan dalam tabel berikut. Hitunglah rata-rata perkiraan berat per mahasiswa !

9. Sifat Mean Peka terhadap perubahan nilai maupun jumlah pengamatan Paling reliabel (dapat dipercaya)

10. Median (1) Median merupakan sebuah nilai pusat yang ditentukan berdasarkan letak data salam sebuah data yang telah tersusun dalam bentuk deret. Median biasanya beradal ditengah-tengah dari deretan data. median disimbolkan dengan Md. 1. Data yang tidak dikelompokkan Jika mendapatkan jumlah data (n) yang tidak merupakan kelipatan 2 (ganjil), maka nilai median adalah sama dengan nilai data yang memiliki urutan paling tengah atau data yang bernomor urut k, dimana k dapat ditemukan dengan rumus : apabila jumlah data (n) yang merupakan kelipatan 2 (genap), maka k merupakan bilangan rasional pecahan, dimana k dapat ditemukan dengan rumus :

11. 2. Data yang dikelompokkan Median (2) Langkah 1 : tentukan letak median pada suatu kelas. Bila jumlah keseluruhan frekuensi adalah n, maka median akan terletak pada data yang bernomor k, dimana k =n/2. Langkah 2 : tentukan median denganrumus: dimana : b : batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median akan terletak p : panjang kelas median n : ukuran sampel atau banyak data F : jumlah semua frequensi sebelum kelas median f : frequensi kelas median

12. Kasus 3 : • Ada 7 karyawan dengan upah per bulan masing-masing (dalam juta rupiah) adalah sebagai berikut 20, 80, 75, 60,50,85, dan 45 . Berapa nilai median? • Ada 8 karyawan dengan upah per bulan masing-masing (dalam juta rupiah) adalah sebagai berikut 20, 80, 75, 60,50,85, 45 dan 90. Berapa nilai median? • Hitunglah nilai median 100 mahasiswa dari data sbb:

13. Median Kurang peka terhadap perubahan nilai pengamatan tetapi peka jumlah pengamatan Kurang reliabel (kurang dapat dipercaya)

14. Modus Data Tunggal Modus (Mode) Modus adalah nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar. Seperti Rata-rata dan Median, Modus juga dapat digunakan untuk memperkirakan kecenderungan dari data, terutama data yang mempunyai ukuran besar. Suatu kumpulan data yang hanya mempunyai satu modus disebut unimodus. Suatu kumpulan data yang mempunyai dua modus disebut bimodus. Suatu kumpulan data yang mempunyai lebih dari dua modus disebut multimodus. Ada pula suatu kumpulan data yang sama sekali tidak mempunyai modus. Untuk menentukan Modus data tunggal kita tinggal mencari datum-datum yang sering muncul atau berfrekuensi paling besar. Untuk menentukan Modus Data Kelompok menggunakan rumus. Modus Nilai Matematika pada tabel adalah 70 dengan frekuensi tertinggi, yakni 10. selesai latihan soal

15. 2. Data yang dikelompokkan Apabila data sudah dikelompokkan dan disajikan dalam tabel frekeunsi maka modusnya dicari dengan rumus sbb : Dimana: LMo = Tepi bawah kelas yang mengandung modus d1 = Selisih frekuensi pada kelas modus dengan frekuensi sebelumnya d2 = Selisih frekuensi pada kelas modus dengan frekuensi sesudahnya

16. Kasus 4 : 1. Dari data berikut, apakahadamodusnya ? kalauada, tentukanmodusnya? a). 2,2,5,7,9,9,9,10,10,11,12,18 b). 3,5,8,10,12,15,16 c). 2,3,4,4,4,5,5,7,7,7,9 2. Carilah modus daritabelfrekuensisbb :

17. Sifat Modus Kurang peka terhadap perubahan nilai maupun jumlah pengamatan Tidak reliabel (tidak dapat dipercaya)

18. RATA-RATA UKUR Digunakan apabila nilai data satu dengan yang lain berkelipatan. Untuk data tidak berkelompok Untuk data berkelompok

19. RATA-RATA UKUR (lanjutan) Contoh :

20. RATA-RATA HARMONIS Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk pecahan atau desimal. Untuk data tidak berkelompok Untuk data berkelompok

21. RATA-RATA HARMONIS (lanjutan) Contoh :

22. LATIHAN KOMPETENSI • Berikut ini ada 10 soal pilihan jamak untuk mengukur pencapaian belajar. • Kerjakan dan pilihlah jawaban yang benar ! • Anda telah kompeten pada Statistika bila mampu menjawab benar lebih atau sama dengan 7 soal (70% atau lebih) • Bila kompetensi Anda kurang dari 70%, pelajari kembali materi yang belum Anda kuasai. • Selamat berlatih, dan jujurlah .... • Mulai mengerjakan Soal Latihan Kompetensi selesai latihan soal

23. LATIHAN KOMPETENSI Rata-rata data yang tergambar pada diagram garis di samping adalah .... selesai Materi Pembelajaran

24. LATIHAN KOMPETENSI Data Berat Badan Balita Berat (kg) frekuensi 2 – 4 5 – 7 8 – 10 11 – 13 14 – 16 3 5 7 6 4 Rata-rata data berkelompok pada tabel di samping adalah .... selesai Materi Pembelajaran

25. LATIHAN KOMPETENSI Rataan tinggi pegawai laki-laki adalah 165 cm, rataan tinggi pegawai wanita adalah 155 cm, sedangkan rataan tinggi pegawai secara keseluruhan adalah 162 cm. Perbandingan banyak pegawai laki-laki terhadap pegawai wanita adalah .... selesai Materi Pembelajaran

26. LATIHAN KOMPETENSI Modus data yang tergambar pada diagram batang di samping adalah .... selesai Materi Pembelajaran

27. LATIHAN KOMPETENSI Median data tunggal di samping adalah .... Data suhu pada siang hari (dalam oC) di sebuah pesisir adalah sebagai berikut : 25 25 28 26 29 30 25 21 20 21 24 23 25 25 27 26 27 24 23 21 24 27 27 26 27 23 27 27 26 24 selesai Materi Pembelajaran