4.4 Secções planas de superfícies e sólidos

1. 4.4 Secções planas de superfícies e sólidos Geometria Descritiva 2006/2007

2. Secções planas de superfícies e sólidos • Quando um plano intersecta uma superfície geométrica determina sobre ela uma linha plana que pertence à superfície • A linha obtida pode ser • uma circunferência • rectas (problema mais simples) • A linha pode ser uma curva complexa • Ela terá que ser identificada ponto a ponto • É útil conhecer a tangente à secção plana em cada ponto • A tangente à secção plana é a recta de intersecção do plano secante que gera a secção plana com o plano tangente à curva nesse ponto

3. Secções planas de poliedros • Aplicação a prismas pirâmides e outros poliedros • 1º caso: O plano secante é projectante • A secção fica determinada pela intersecção de cada aresta do sólido com o plano secante projectante • 2º caso: O plano secante não é projectante • A secção é obtida através da intersecção do plano que contém cada face do sólido com o plano secante

4. M’2 N’2 N2 M2 X M1 M’1 N1 N’1 (h1) Secções planas de poliedros • Aplicação a prismas pirâmides e poliedros • Determinar a secção plana definida pelo plano de frente1 com o prisma hexagonal regular com bases de nível • A secção é o rectângulo MNN’M’

5. M2 N2 R2 f Q2 P2 X N1 R1 P1 M1 Q1 Pr1 h Qr1 Nr1 Rr1 Mr1 Secções planas de poliedros • Aplicação a prismas pirâmides e poliedros • Determinar a secção plana definida pelo plano vertical com uma pirâmide pentagonal regular assente em 0 • A secção é o polígono MNPQR • Para se obter a secção em verdadeira grandeza fez-se o seu rebatimento sobre o plano horizontal

6. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas • 1º caso: O plano secante passa pelo vértice da superfície • O plano intersecta a directriz • Num ponto: • A secção plana é a geratriz da superfície que passa nesse ponto • Em vários pontos: • A secção plana é constituída por geratrizes • O plano não intersecta a directriz • A secção plana reduz-se a um ponto (o vértice da superfície)

7. B2 s2 g’2 A2 g2 r2 X s1 g’1 B1 g1 r1 A1 i1 Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas • A superfície é definida pelo vértice V e pela directriz d (num plano  de topo) • O plano secante é definido pelas rectas r e s concorrentes em V (portanto o plano contém o vértice da superfície) • Determinar a secção definida na superfície pelo plano secante • Identificam-se as geratrizes que definem a secção plana identificando dois dos seus pontos pertencentes à directriz (pontos A e B) V2 i2 (f) d2 • O plano secante intersecta o plano que contém a directriz segundo a recta i, que determina sobre a directriz os pontos A e B • A secção plana é constituída pelas geratrizes g e g’ V1 d1

8. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas • 2º caso: O plano secante não passa pelo vértice da superfície • A secção não contém nenhuma geratriz • A secção é constituída pelos pontos de intersecção de cada uma das geratrizes com o plano secante

9. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • As secções planas de superfícies cónicas ou cilíndricas de revolução são cónicas: • Elipses • Parábolas • Hipérboles • Considerando que • uma circunferência é o caso particular de uma elipse • um ponto é um caso particular de uma circunferência • duas rectas paralelas são uma parábola degenerada • duas rectas coincidentes são uma parábola degenerada • duas rectas concorrentes são uma hipérbole degenerada

10. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • 2º caso: O plano secante não passa pelo vértice da superfície • Se o plano secante intersecta todas as geratrizes da superfície a cónica é uma elipse (curva fechada) • Se o plano secante é paralelo apenas a uma das geratrizes a cónica é uma parábola • Se o plano secante é paralelo apenas a duasgeratrizes a cónica é uma hipérbole

11. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução Parábola Círculo Hipérbole Elipse Paralelo

12. Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • Note-se que: • A secção plana de uma superfície cilíndrica nunca pode ser uma parábola ou uma hipérbole • O plano secante não pode ser paralelo a uma ou a duas geratrizes sem ser paralelo a todas • Para determinar se a secção plana de uma superfície cónica é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole faz-se passar pelo vértice um plano  paralelo ao plano secante  • O plano  determina quais são as geratrizesparalelas a 

13. A2 B’2 r2 V2 B2 f A’2 f B1 A1 X r1 V1 h h B’1 A’1 Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • Determinar que tipo de superfície é a secção plana definida pelo plano  na porção de superfície cónica de revolução indicada • Considera-se uma recta r, de frente, paralela ao plano  e que passa no vértice • Considera-se o plano paralelo a  e que contém r • Este plano intersecta a superfície segundo duas geratrizes AVA’ e BVB’ que são portanto paralelas a  • A secção plana é portanto uma hipérbole Nota: Se a directriz da superfície cónica não estivesse sobre o plano frontal de projecção teríamos que o colocar nessa posição fazendo uma mudança do plano frontal de projecção ou determinando nova directriz sobre este plano

14. Cr1 Dr1 Br1 Er1 Ar1 Fr1 Gr1 Hr1 F2 D2 H2 B2 E2 A2 G2 C2 (f) X G1 H1 F1 E1 A1 D1 B1 C1 Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • Determinar a secção plana definida pelo plano de topo  no cone indicado • O plano de topo  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse • A projecção cilíndrica de uma elipse é sempre uma elipse • Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes • A elipse resultante é ABCDEFGH • Para que apareça em verdadeira grandeza fez-se o seu rebatimento • Circunferência (caso particular de uma elipse) • Segmento rectilíneo (elipse degenerada)

15. f1 X1 P21 P2 f P1 X h Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado • O plano  não é projectante • Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topo • O plano  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse • Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes • A elipse resultante é ABCDEFGH • Para que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento h1

16. f1 A21 B21 H21 C21 G21 X1 F21 D21 E21 f X G1 H1 F1 A1 B1 E1 C1 D1 h Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado • O plano  não é projectante • Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topo • O plano  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse • Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes • A elipse resultante é ABCDEFGH • Para que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento h1

17. f1 A21 B21 H21 C21 G21 X1 F21 D21 E21 A2 H2 G2 B2 F2 C2 E2 D2 f X G1 H1 F1 A1 B1 E1 C1 D1 h Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado • O plano  não é projectante • Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topo • O plano  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse • Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes • A elipse resultante é ABCDEFGH • Para que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento h1

18. A2 H2 G2 B2 F2 C2 E2 D2 f X G1 H1 F1 A1 B1 E1 C1 D1 h Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado • O plano  não é projectante • Faz-se uma mudança do plano frontal de projecção de forma a transformá-lo num plano de topo • O plano  intersecta todas as geratrizes do cone, logo a secção plana é uma elipse • Determinam-se os pontos de intersecção do plano com as geratrizes • A elipse resultante é ABCDEFGH • Para que as elipses apareçam em verdadeira grandeza será necessário fazer o seu rebatimento h1

19. f A2 X P2 A11 P1 P11 h X1 h1 Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • Determinar a secção plana definida pelo plano  no cone indicado f1 • O plano  não é projectante • Faz-se uma mudança do plano horizontal de projecção de forma a transformar  num plano vertical • O plano  é paralelo apenas a umageratriz do cone (que passa no vértice e no ponto A), logo a secção plana é uma parábola • Determina-se as suas projecções através das projecções dos pontos de intersecção do plano com as geratrizes

20. f f M2 C2 A2 A’2 B2 B’2 N2 A1 B’1 X h C1 B1 A’1 h h Secções planas de superfícies cónicas e cilíndricas de revolução • Determinar a secção plana definida pelo plano de topo  no duplo cone indicado • Considera-se o plano  paralelo a  e que passa pelo vértice do duplo cone • O plano  intersecta o cone segundo duasgeratrizes AVA’ e BVB’ que são paralelas a  • Logo a secção plana definida pelo plano  é uma hipérbole • Os pontos M e N são os vértices da hipérbole e C é o ponto médio do eixo transverso MN da hipérbole • O plano frontal  é um plano de simetria da hipérbole, logo o eixo transverso é frontal • Para que a hipérbole apareça em verdadeira grandeza é necessário fazer o seu rebatimento V2 V1

21. Secções planas de superfícies de revolução • 1º caso: O plano secante contém o eixo da superfície • A secção plana é uma meridiana da superfície • 2º caso: O plano secante é perpendicular ao eixo da superfície • A secção plana é um paralelo da superfície • 3º caso: O plano secante é oblíquo ao eixo da superfície • A secção plana é determinada por pontos que podem ser determinados sobre cada paralelo ou sobre cada meridiana • Determina-se a recta de intersecção do plano secante com o plano do paralelo ou da meridiana e consideram-se os pontos comuns à recta obtida e ao paralelo ou à meridiana

22. Secções planas de uma esfera • A secção plana de uma esfera é sempre um círculo • O centro do círculo é o pé da perpendicular baixada do centro da esfera para o plano secante • As projecções do círculo são elipses • O eixo maior é a projecção do diâmetro paralelo ao plano de projecção respectivo (projecta-se em verdadeira grandeza) • O eixo menor é a projecção do diâmetro perpendicular ao diâmetro paralelo ao plano de projecção em questão.

23. (f) B2 G2 F2 (f) D2 E2 C2 J2 I2 (f) A2 O2 E1 X G1 J1 A1 B1 C1 O1 F1 I1 D1 Secções planas de uma esfera • Determinar a secção plana definida pelo plano de topo  na esfera representada • O centro do círculo correspondente à secção plana é o ponto C • A projecção frontal da secção reduz-se ao segmento de recta A2B2 • A projecção horizontal é a elipse com • centro em C1, • eixo maior E1D1=A2B2 • eixo menor A1B1

24. 4.5 Intersecção de rectas com sólidos Geometria Descritiva 2006/2007

25. Intersecção de rectas com sólidos • Faz-se passar pela recta um plano auxiliar que intersectará o sólido segundo uma secção plana • Os pontos comuns à recta e à secção plana são os pontos procurados

26. A2 C2 D2 B2 F2 E2 X D1 R1 S1 E1 Intersecção de rectas com sólidos • Determinar a intersecção de um octaedro regular com 3 cm de aresta e uma diagonal vertical, tendo o ponto de menor cota a cota zero, com a recta r • Considera-se o plano de topo que contém a recta r • Determina-se a secção plana definida no octaedro pelo plano  • A secção obtida é um polígono com vértices A, B, C, D, E e F • Determinam-se os pontos de intersecção da secção plana com a recta r (pontos R e S) • Para obter a secção em verdadeira grandeza pode rebater-se o plano R2 S2 r2 (f) C1 B1 V1 A1 r1 F1

27. Intersecção de uma recta com superfícies cónicas e cilíndricas • Faz-se passar pela recta um plano auxiliar que intersectará a superfície segundo uma secção plana • Por exemplo o plano que passa pelo vértice • Os pontos comuns à recta e à secção plana são os pontos procurados

28. Q2 r2 A2 B2 s2 P2 g’2 g2 r’2 (f)d2 X Q1 P1 g’1 g1 i1 B1 A1 r’1 r1 d1 s1 Intersecção de uma recta com superfícies cónicas e cilíndricas • Determinar a intersecção da recta s com a superfície cilíndrica definida pela directriz d (situada num plano de topo) e pela direcção das geratrizes r • Considera-se o plano auxiliar definido pela recta s e pela direcção das geratrizes • A intersecção deste plano com o plano  que contém a directriz é a recta i • A intersecção da recta i com a directriz define os pontos A e B • Por A e B passam as geratrizes g e g’ que constituem a secção plana • A intersecção da recta s com a secção plana (são complanares) definem os pontos procurados P e Q i2

29. r2 Ar2 Br2 A2 C2 Pr2 B2 O2 rr2 P2 X C1 O1 f1 P1 B1 A1 r1 Intersecção de uma recta com uma esfera • Utiliza-se um plano auxiliarprojectante que contém a recta • Determina-se a secção plana formada na esfera pelo plano auxiliar • Determina-se a intersecção da secção plana com a recta • Para se obter a posição dos pontos com maior precisão pode rebater-se a secção plana e a recta em torno por exemplo de uma recta frontal f (f) f2