M. Sartor, M. Paredes et A. Daidié

PRESENTATION D’UNE ACTIVITE PEDAGOGIQUE DEDIEE AL’EXPLOITATION DES ALGORITHMES GENETIQUES EN CONCEPTION MECANIQUE APPLICATION A UN REDUCTEUR AENGRENAGES M. Sartor, M. Paredes et A. Daidié

Plan • Contexte de travail • Présentation du problème étudié • Résolution par Algorithme Génétique • Comparaison avec énumération • Résolution en variables continues • Retour aux Algorithmes génétiques • Conclusion

Contexte de travail • Formation d’ingénieur en Génie Mécanique • Module consacré à la conception optimale • Présentation académique des techniques d’optimisation (programmation mathématique et techniques stochastiques). • Travaux dirigés avec exemple liés à la conception • Travaux pratiques sur la programmation mathématique • Travaux pratiques sur les algorithmes génétiques

Présentation du problème Dimensionnement d’un réducteur de vitesse à axes parallèles à deux étages • Entrée M1= 20 Nm ; w1= 1500 tr/min • Rapport de réduction : 35 ≤ R ≤ 40 • Entraxe : 180 ≤ a ≤ 220 (mm) • Objectif : masse minimale avec ρ = 7.8 103 kg/m3

Fonction objectif : minimiser la masse Contraintes • Rapport de réduction • Entraxe • Puissance transmissible • Rapport de forme Définition du problème d’optimisation associé Variables • les modules m1et m2 (discrètes) • les nombres de dents Z11, Z12, Z21, Z22 (entières) • Les largeurs des roues b1et b2 (continues) • Problème en variables mixtes

Résolution par AG Principe • A chaque génération, une nouvelle population est créée à partir de la reproduction des meilleurs individus de la génération précédente.

Résolution par AG Codage des variables • les modules m1et m2 codés sur 4 bits (16 valeurs) • Les roues menantes codées sur 5 bits (15 ≤ Zi1≤ 46) • Les roues menées sur 7 bits (100 ≤ Zi2≤ 227) • Les largeurs des roues b1et b2 discrétisées sur 12 bits (10 mm ≤ bi≤ 50.95 mm) • Chromosome sur 56 bits soit : 256 = 7.2 1016 combinaisons potentielles, donc individus possibles. Fonction objectif etContraintes • Méthode de la pénalité extérieure

Résultats représentatifs (cout moyen : 5 104 évaluations) Surprise sur la diversité des résultats Envie de connaître la vrai solution optimale Résolution par AG Application pratique sous Matlab avec GAOT Genetic Algorithm for Optimization Toolbox (accès libre) • 100 parents • Taux de croisement de 80% • taux de mutation égal à 2% • Meilleur individu conservé d’une génération à l’autre • Stop après 500 générations

Enumération intelligente Problème brut • 7.2 1016 solutions potentielles • environ 108 heures de calcul => temps prohibitif Problème affiné : exploitation des propriétés • b1 et b2 dimensionnées par la puissance transmissible => Lorsque les variables discrètes et entières sont connues, b1 et b2 optimales sont calculées par résolution d’un polynôme de degré 2 • 4.3 109 solutions potentielles (5 heures de calcul) Balayage efficace : maillage séquentiel • Z11, Z12et Z21fixés, bornes de Z22calculées pour respecter les contraintes sur R (G1 et G2) • m1fixé, bornes de m2calculées afin de satisfaire les contraintes sur l’entraxe (contraintes G3, G4). • 3.9 108 solutions potentielles (31 minutes de calcul)

Surprise sur la diversité des résultats Envie d’essayer une méthode en variable continues Enumération intelligente Meilleurs résultats

Diversité de solution pour un même objectif optimum Géométrie identique => remplacer miZij par dij Réutilisation de fmincon avec 6 variables Enfin un optimum stable! Difficile de retrouver l’optimum en variables discrètes Résolution en variables continues Réutilisation de Matlab Fonction fmincon (méthode SQP)

Résolution par AG Codage des variables autour de la solution continue • m1codé sur 3 bits { 0.7 ; 0.75 ; 0.8 ;0.9 ; 1. ; 1.25 ; 1.5 ; 1.75 } • m2 codé sur 3 bits { 0.9 ; 1. ; 1.25 ; 1.5 ; 1.75 ; 2 ; 2.5 ; 3 } une fois m1et m2fixés , les nombres de dents varient autour des valeurs de référence Zij ref = Ent(dij / mi) • Variables d’écarts sur les roues menantes codées sur 4 bits [-6 ; +7] • Variables d’écarts sur les roues menées codées sur 5 bits [-13 ; +15] Lorsque les variables discrètes et entières sont connues, b1 et b2 optimales sont calculées pour respecter la puissance admissible • Chromosome sur 24 bits soit : 224 = 1.7 107 individus possibles.

Résultats représentatifs (cout moyen : 3 104 évaluations) Toutes les solutions sont dans les 22 premières Maintient d’une grande diversité de solutions Résolution par AG Application pratique sous Matlab avec GAOT Genetic Algorithm for Optimization Toolbox (accès libre) • 100 parents • Taux de croisement de 60% • taux de mutation égal à 5% • Meilleur individu conservé d’une génération à l’autre • Stop après 300 générations

CONCLUSION Intérêt des techniques d’optimisation au moment des choix initiaux en conception • Techniques numériques accessibles • Plus efficace que la démarche essai/erreur • Rapide (temps de développement des codages inférieur à 1 heure) Vision objective des techniques d’optimisation • Attention aux exemples « sur mesure » qui convergent trop bien • Comparaison des résultats obtenus avec une technique énumérative • Intérêt d’une analyse fine du problème pour adapter la stratégie

M. Sartor, M. Paredes et A. Daidié