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3.7 隱微分

3.7 隱微分. 3.7 隱微分. 學習目標 以公式求導數。 以隱含函數求導數。 用導數求解實際生活問題。. 第三章　微分. P.3-57. 明確和隱含的函數. 本書到目前為止，兩個變數的函數都是表示成 明確型 (explicit form) y ＝ f ( x ) ，也就是，其中一個變數明確地依另一個來給定。例如，在方程式 y ＝ 3 x － 5 明確型 中，變數 y 明確地寫成 x 的函數。然而，有些函數並非明確地定義，而僅是用一個方程式來隱含，如範例 1 所示。. 第三章　微分. P.3-57.

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3.7 隱微分

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  1. 3.7 隱微分

  2. 3.7 隱微分 學習目標 以公式求導數。 以隱含函數求導數。 用導數求解實際生活問題。 第三章　微分 P.3-57

  3. 明確和隱含的函數 本書到目前為止，兩個變數的函數都是表示成明確型(explicit form) y ＝ f(x)，也就是，其中一個變數明確地依另一個來給定。例如，在方程式 y ＝ 3x － 5 明確型 中，變數 y 明確地寫成 x 的函數。然而，有些函數並非明確地定義，而僅是用一個方程式來隱含，如範例 1 所示。 第三章　微分 P.3-57

  4. 範例1　明確地求導數 對方程式 xy ＝ 1 求 dy/dx 。 第三章　微分 P.3-57

  5. 範例1　明確地求導數 （解） 在這個方程式，y 可隱含地(implicitly) 定義成 x 的函數。求dy/dx 的一種方法就是先對方程式解出 y，然後像往常一樣微分。 第三章　微分 P.3-57

  6. 檢查站 1 對方程式 x2y ＝ 1 求 dy/dx。 第三章　微分 P.3-57

  7. 明確和隱含的函數 只要能容易明確地寫出給定的函數，範例 1 的方法是很有用的，但若是不能解出 y 為 x 的函數時就不管用。例如，對方程式 x2－ 2y3＋ 4y ＝ 2 求 dy/dx 時，因為很難明確地將 y 表為 x 的函數，此時如何求dy/dx？處理這個問題可用稱為隱微分(implicit differentiation) 的技巧。 第三章　微分 P.3-57

  8. 隱微分 要了解如何隱含地求 dy/dx，必須了解微分是對 x 來運算。所以當微分只有含 x 的項時，就可以像往常一樣地微分。但是微分含y 的項時就必須用到連鎖律，因為我們假設 y 被隱含地定義為 x 的可微函數。仔細研讀下一個範例，尤其是在範例 2(b) 以及 2(d) 中用連鎖律導出 dy/dx 的技巧。 第三章　微分 P.3-58

  9. 範例2　應用連鎖律 將以下式子對 x 微分。 a. 3x2 b. 2y3 c. x + 3y d. xy2 第三章　微分 P.3-58

  10. 範例2　應用連鎖律 （解） a. 在這個式子唯一的變數是 x，所以只要使用基本乘冪律以及常數倍數律對 x 微分，就可得 第三章　微分 P.3-58

  11. 範例2　應用連鎖律 （解） b. 這個問題不一樣，因為式子的變數是 y，但要對 x 微分，所以必須假設 y 是 x 的可微函數再使用連鎖律。 第三章　微分 P.3-58

  12. 範例2　應用連鎖律 （解） c. 這個式子包含 x 和 y，由和律和常數倍數律，可得 第三章　微分 P.3-58

  13. 範例2　應用連鎖律 （解） d. 由乘積律和連鎖律，得到 第三章　微分 P.3-58

  14. 檢查站 2 將以下式子對 x 微分。 a. 4x3 b. 3y2 c. x ＋ 5y d. xy3 第三章　微分 P.3-58

  15. 隱微分 在範例 3 中，注意由隱微分得到的 dy/dx 可能包含 x 和 y 。 第三章　微分 P.3-59

  16. 範例3　以隱微分求圖形的斜率 求橢圓 x2＋ 4y2＝ 4 在點 的切線斜率，如圖 3.33 所示。 第三章　微分 P.3-59 圖3.33

  17. 範例3　以隱微分求圖形的斜率 （解） 第三章　微分 P.3-59

  18. 範例3　以隱微分求圖形的斜率 （解） 將 以及 代入上面的導數中就可求得在給定點的斜率，如下所示。 第三章　微分 P.3-59

  19. 學習提示 要了解隱微分的好處，試著用明確函數 重做範例 3，此函數圖形是橢圓的下半部。 第三章　微分 P.3-59

  20. 檢查站 3 求圓 x2＋ y2＝ 25 在點 (3, －4)的切線斜率。 第三章　微分 P.3-59

  21. 範例4　使用隱微分 對方程式 y3＋ y2－ 5y － x2＝ －4 求 dy/dx。 第三章　微分 P.3-60

  22. 範例4　使用隱微分 （解） 第三章　微分 P.3-60

  23. 範例4　使用隱微分 （解） 原函數的圖形顯示在圖 3.34，此圖形在點 (1, －3)、(2, 0) 以及(1, 1) 的斜率為何？ 第三章　微分 P.3-59 圖3.60

  24. 檢查站 4 對方程式 y2＋ x2－ 2y － 4x ＝ 4 求 dy/dx。 第三章　微分 P.3-60

  25. 範例5　以隱微分求圖形的斜率 求 2x2－ y2＝1 的圖形在點 (1, 1) 的斜率。 第三章　微分 P.3-60

  26. 範例5　以隱微分求圖形的斜率 （解） 首先以隱微分求 dy/dx 圖形在點 (1, 1) 的斜率是 第三章　微分 P.3-60

  27. 範例5　以隱微分求圖形的斜率 （解） 如圖 3.35 所示，此圖形稱為雙曲線(hyperbola)。 第三章　微分 P.3-60 圖3.35

  28. 檢查站 5 求 x2－ 9y2＝ 16 的圖形在點(5, 1) 的斜率。 第三章　微分 P.3-60

  29. 應用範例6　使用需求函數 某產品的需求函數以 做為模型，其中 p 為價格 (美元)，x 為數量 (千單位)，如圖 3.36 所示。求當 x ＝ 100 時，需求 x 對價格 p 的變化率。 第三章　微分 P.3-61

  30. 範例6　使用需求函數 第三章　微分 P.3-61 圖3.36

  31. 範例6　使用需求函數 （解） 為了化簡微分的運算，先改寫函數，然後對 p 微分。 第三章　微分 P.3-61

  32. 範例6　使用需求函數 （解） 當 x ＝ 100 時，價格是 所以當 x ＝ 100 以及 p ＝ 1 時，需求對價格的變化率是 這意味著當 x ＝ 100 時，價格每調高 1 美元，需求就下降 7 萬 5 千單位。 第三章　微分 P.3-61

  33. 檢查站 6 某產品的需求函數為 以隱微分求 dx/dp。 第三章　微分 P.3-61

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