APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS EN EL CÁLCULO DE ALTURAS

1. APLICACIÓN DE TRIÁNGULOS EN EL CÁLCULO DE ALTURAS CRISTINA MARTÍN SÁNCHEZ 4º ESO-C

2. Índice. • Tales de mileto.(biografía) • Primer teorema de tales. • Calculo de las alturas de las piramides mediante los conocimientos de tales • Galileo galilei.(biografía) • Calculo de las alturas de las montañas lunares

3. Nació alrededor del año 640 AC en Mileto , Asia Menor (ahora Turquía.). Era un hombre que destacó en varias áreas: comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geometra. Tales era considerado uno de los siete sabios de Grecia. Sobresale especialmente por que en sus teoremas geométricos aparecen los inicios del concepto de demostración y se podría decir que son el punto de partida en l proceso de organización racional de las matemáticas. El grupo de sabios al que pertenecía tales de Mileto estaba formado por: Cleóbulo de Lindos Solón de Atenas Quilón de Esparta Bías de Priene Pítaco de Mitilene Periandro de Corinto TALES DE MILETO

4. Historias de tales de mileto • Tales es recordado principalmente por su cosmología y por su predicción del eclipse de sol ocurrido aproximadamente el 28 de Mayo del 585 AC. Lo espectacular de esta predicción es que detuvo una batalla . Es posible que el hecho de que el eclipse fuera total y la localidad importante afectada unido a una batalla, contribuyó a la reputación de Tales como astrónomo. Anécdota contada por Platón: Una noche Tales estaba observando el cielo y tropezó. Un sirviente lo levantó y le dijo: -¿como pretende entender lo que pasa en el cielo , si no puede ver lo que está a sus pies?

5. ¿Como midio tales las alturas de las piramides? Los egipcios no conocían la altura de las pirámides que ellos mismos habían construido. Para resolver este problemas pidieron a Tales que hallara la altura de la pirámide de Keops. Una de las versiones relata como Tales clavó su bastón en la arena hasta una marca preestablecida. En un momento determinado los rayos del sol cayeron paralelos entre si, con una inclinación de 45 º, proyectando la sombra de todo lo que se encontraba en aquellas planicie. Solo había dos posibilidades para que Tales realizara esta medición en aquella ubicación ( 29 º 58 ´53 ´´ de latitud): el 21 de noviembre o el 20 de enero.

6. Cuando la sombra del bastón fue igual de larga que el propio bastón, le dijo a un servidor que midiera la sombra de la gran pirámide. En este momento ésta es tan larga como la propia pirámide. Tanto el bastón como la pirámide formaron con su sombra un triangulo isósceles .(Un triangulo isósceles tiene dos lados y dos ángulos iguales.) Se forman dos triángulos equiláteros e isósceles.

7. PRIMER TEOREMA DE TALES.“ Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.” La otra versión nos dice que uso como elemento auxiliar un bastón colocado verticalmente y estableció una relación de proporcionalidad entre los lados de triangulo determinado por la pirámide y su sombra y el bastón y la suya. B = C A D BD= AC D= AC B

8. Corre el año de 1564 cuando en la conocida ciudad de Pisa, el músico Vicenzo Galilei y Gil lía Ammannati, un 15 de febrero, tienen al primero de sus siete hijos. Le ponen por nombre Galileo. Acababa de nacer el que es considerado el primer científico de la historia. Galileo Galilei. (Pisa 1564-Florencia 1642), fue astrónomo, físico, matemático y filosofo. Ha sido considerado como el “padre de la astronomía moderna”, “el padre de la física moderna” y “padre de la ciencia. Sus trabajos le llevaron a un enfrentamiento con la Iglesia Católica Romana. GALILEO GALILEI

9. Hace 400 años Galileo miraba por primera vez la luna a través de su rudimentario telescopio y descubriría que este astro no es perfecto como lo quería la teoría aristotélica. La física aristotélica distinguía un mundo supralunar, que comienza en la luna y es extiende mas allá. En esta zona no existen mas formas que formas geometrías perfectas (esfera) y movimientos regulares inmutables (circulares). Galileo observó que la superficie de la luna no era lisa. La mayor sabiduría que existe es conocerse a uno mismo. Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo Digamos que existen dos tipos de mentes poéticas: una apta para inventar fábulas y otra dispuesta a creerlas. Nunca he encontrado una persona tan ignorante de la que no pueda aprender algo. El gran libro de la naturaleza está escrito en símbolos matemáticos. En lo tocante a la ciencia, la autoridad de un millar no es superior al humilde razonamiento de una sola persona. Primeros descubrimientos de Galileo

10. El primer gran problema con el que se enfrentó fue imaginarse qué era. Luego había que saber a que distancia se encontraba, y, sabiendo qué era y como lucía su superficie, la próxima pregunta sería qué tan distinta es a la Tierra. Esto llevará claramente a preguntarse cuales el parecido entre ambas superficies. Para ello era necesario poder determinar o estimar de algún modo la altura de sus montañas. El nuevo problema que se le planteó a Galileo fue que no tenia ningún objeto conocido con el cual comparar las montañas lunares. Había entonces que echar mano de otra herramienta matemática: la trigonometría. Galileo en su tiempo tuvo una inquietud, utilizó lo que tenia a su disposición y fabricando lo que no tenia.

11. Desarrollo de su problema • La idea es que si tenemos un triangulo rectángulo y podemos conocer al menos y un lado y un ángulo , podemos conocer todo acerca del triangulo. En la Tierra el problema es sencillo, como vemos en el ejemplo: Hallar la altura del edificio, conociendo la longitud de su sombra y el ángulo. H= S. tai. 20 º 30 ´

12. Calculo de alturas de las montañas lunares • Para Galileo hallar la altura de las montañas lunares seria sencillo si estuviera parado sobre la una, ya que podría levantar la cabeza hacia el sol y determinar la altura de este sobre el horizonte. • Representación hecha por Galileo en 1611, donde se visualiza • Como medir la altura de las Montañas, a través de la Longitud de las sombras. A continuación veremos un dibujo que representa el problema a resolver:

14. Donde y es la altura que deseamos calcular, x es longitud de la sombra proyectada por el cuerpo y & el ángulo que los rayos de sol forman con la horizontal, es decir, la altura media desde el horizonte expresada en grados, que debe entenderse como el ángulo que forma nuestra vista con la horizontal (el suelo) cuando apuntamos directamente al centro del Sol. Es decir, el ángulo de vértice del observador, determinado por el Sol. • Esta relación se puede trasladar sin ningún problema a la superficie lunar si conocemos el ángulo & que forma el Sol con la horizontal y la longitud de la sombra x. Y= x .Tg & • El ángulo & se puede calcular desde la tierra valiéndonos de mediciones indirectas.

15. La información sobre la altura del sol sobre el horizonte nos la da la distancia del relieve al terminador lunar. El terminador lunar es la región lunar en donde el sol se encuentra a 0 grados de altitud sobre el horizonte. Es decir , el punto donde comienza la oscuridad lunar.

16. Se puede conocer la altura de cualquier relieve lunar conociendo la siguientes mediciones: - la distancia Tierra- Luna - El diámetro aparente de la Luna. - Distancia angular del relieve al Terminador - Longitud angular de la sombra que proyecta el relieve.

17. En conclusión • Hoy en día se supone bien conocidas la distancia de la Tierra a la Luna y el diámetro aparente de esta, datos que están publicados en las efemérides, el problema se reduce a realizar dos mediciones sobre la luna utilizando conocimientos de trigonometría. • Galileo calculando la altura de las montañas lunares por medio de sus sombras encontró que éstas eran similares a las de la Tierra llegando a medir, la mas alta , unos 10.000 metros. • Hay que tener en cuenta , que la montaña mas alta de la Tierra es el Everest con 8900 metros y a la vez representa 1/700 del radio terrestre. Por lo tanto se encontró con la sorpresa que las montañas lunares eran muchas más altas proporcionalmente que las de la Tierra y representan aproximadamente 1/174 del radio lunar. • De cualquier manera estas fueron las primeras experiencias que tuvo el hombre para conocer mas de cerca nuestro satélite natural.