계 량 분 석

계 량 분 석 이 승 재 2011. 00. 00

계량 분석 10 주차 Network Analysis Problem (Shortest path problem, Minimal spanning tree problem, Maximal flow problem, Minimum cost flow problem)

Network Analysis Problem 네트워크의 정의 자원 도로 물류 전화 전기 etc 상,하수도 • 네트워크란?여러 개의 node들과 이들을 연결하는 arc들로 구성 • node들 사이에 사람이나 물건이 arc를 따라 이동(예) 고속도로망, 전화망, 철도망 • 네트워크 모형은 최근들어 경영과학 분석기법으로 많이 사용 복잡한 문제의 각 활동계획을 최적화하고 통제하기 위한 모형 Network model 네트워크 모형을 가지고 문제의 최적화에 대한 분석 Network Analysis

Network Analysis Problem 네트워크 분석의 종류 - 복잡한 과업 과정들을 여러 활동으로 구분시켜 네트워크모형으로 모델화하여 네트워크 이론을 적용시킴으로써 문제를 해결하는 방법. 1. 최단경로문제(the shortest path problem) : 시작점에서부터 종료점까지 가장 짧은 거리를 찾아내는 문제 2. 최소걸침나무문제(minimal spanning tree problem) : 네트워크상의 모든 노드를 연결하면서 가장 짧은 경로를 찾는 문제 3. 최대흐름문제(maximal flow problem) : 시작점과 종료점 사이의 흐름의 최대용량을 찾아내는 문제 4. 최소비용흐름문제(minimum cost flow problem) : 특정 상품을 수송하는 과정에서 최소의 비용이 들 수 있도록 찾아내 는 문제

Network Analysis Problem • 최단경로문제(the shortest path problem) • : 네트워크상에서 복수의 두 지점 사이에서 가장 짧은 경로를 찾는 문제로서, 어느 특정한 두 지점 사이에서의 최단경로 혹은 시작점에서부터 종료점까지의 최단경로를 찾는 방법. The Shortest path problem ① tree labelling algorithm ③후방귀납법 (backward induction) ②의사결정수모형 (decision tree model)

Network Analysis Problem 예 제 S사는 물류비용을 최소화하기 위해 가장 짧은 거리로 제품을 운반하고자 한다. 고속도로 통과지점을 이용하여, 거리를 최소화하기 위한 경로를 tree labelling algorithm을 이용하여 결정하라.

단계2 반복 연결 표의 작성 및 연산 Network Analysis Problem Tree labelling algorithm • tree labelling algorithm은 각 목적지의 열(列)에서 최소값을 골라 다음 출발지에 옮겨 쓰고, 가장 작은 값의 출발지를 최소값 앞에 기재하는 방법 단계3 단계4 단계1 단계2 네트워크모형으로 작성 최적해도출

1 단계 1 : 네트워크모형으로 작성 2 3 4 Network Analysis Problem tree labelling algorithm 네트워크모형의 풀이과정 단계 2 : 표의 작성 및 연산 ① 출발지 노드에서 다음 도착지로 연결되는 노드까지의 거리를 표에 작성. ② 거리가 가장 짧은 수의 값의 거리는 출발지와 같이 에 기록하고 괄호로 묶는다. 다른 수의 값은 거리만 기록한다. 단계 3 : 반복연결 마지막 노드까지 단계 2를 되풀이한다. 단계 4 : 최적해의 도출 에 기록된 각 출발지와 최종 거리가 최적해가 된다.

Network Analysis Problem D 1 단계 – 네트워크 모형으로 작성 2 단계 – 표의작성 및 연산 9 13 B 10 12 A에서 갈 수 있는 길 B와 C를 적고 각각에 거리를 적고 가장 작은 값을 택해서 표시해 준다. 10 G 7 E A 10 14 열을 만들어 각 값 을 적어주고 가장 작은 값에표시해 준다. 8 11 C F 9

Network Analysis Problem 3 단계 – 반복 연결 열에 적어준 From 값 B와 C에서 갈 수 있는 D,E,F의 값을 더해 적어준다. 열을 만들어 각 값 을 적어주고 가장 작은 값에표시해 준다.

Network Analysis Problem 3 단계 – 반복 연결 4 단계 – 최적해 도출 2번째 열 FromD,E,F에서 갈 수 있는 각각의 G값을 더 해 표에 추가 해준다. A에서 B,C에 이르는 거리 가운데 최소거리가 B에이르는 10인 것을 의미. B에서 D,E,F에 이르는 거리 가운데 최소거리가 D에이르는 9인 것을 의미. A에서 B-C를 거쳐 D-E-F를 지나 G로 가는 최소거리는 E에서 G로 가는 7임을 의미.

연결거리 계산 의사결정수의 작성 최적해도출 Network Analysis Problem 의사결정수모형(decision tree model) 기본원칙은 사건의 흐름이 왼쪽에서 오른쪽. 대안은 주어진 상황하에서 대안이 착수된 후부터 한 사건의 발생까지 하나의 가지로 나타남. 의사결정수모형을 통한 각 대안에 대한 결과는 각 대안의 경로 끝에 나타내며, 대안과 상황에 따른 성과가치를 나타냄. 단계2 단계1 단계3 단계4 네트워크모형으로 작성

1 2 3 4 Network Analysis Problem tree labelling algorithm 네트워크모형의 풀이과정 단계 1 : 네트워크모형으로 작성 단계 2 : 의사결정수의 작성 출발지 노드에서 최종 도착지까지 연결되는 노드들을 의사결정수(tree) 모형으로 나타낸다. 단계 3 : 연결거리 계산 출발지 노드에서 연결되는 노드까지의 거리를 각 노드의상단에 기록한다 단계 4 : 최적해의 도출 최종 거리가 최소인 경로가 최적해가 된다..

Network Analysis Problem D 1 단계 – 네트워크 모형으로 작성 2 단계 – 표의작성 및 연산 9 13 B 10 : 네트워크모형을 의사결정수 모형으로 나타낸다. 그리고 각 도시를 경유하여 최종도착지에 이르는 거리를 계산하여 그림의 오른쪽에 나타낸다. A+B+D+G=32 A+B+E+G=27 A+B+F+G=33 A+C+D+G=37 A+C+E+G=29 A+C+F+G=34 12 10 G 7 E A 10 14 8 11 C F 9

Network Analysis Problem 3 단계 – 의사결정수 및 최적해의 도출 19 13 32 G D 9 10 20 7 10 27 G E B 12 22 11 33 10 G F A 24 13 37 G D 14 10 14 22 8 7 29 C G E 9 23 11 34 G F

Network Analysis Problem 후방귀납법(backward induction) 최종 도착지에서부터의 연산 반복 연산 네트워크모형으로 작성 최적해도출 단계1 단계3 단계2 단계4

1 2 3 4 Network Analysis Problem 후방귀납법에 의한 네트워크모형의 풀이과정 단계 1 : 네트워크모형으로 작성 단계 2 : 최종 도착지에서부터의 연산 ① 네트워크모형의 뒤에서부터 시작한다. ② ‘도착지의 노드’에서 바로 앞에 연결된 노드까지의 거리를 계산하여, 최소값을 앞의 노드 위에 기록한다. 그리고 최소값이 아닌 나머지 노드와의 연결 가지를 자른다. 단계 3 : 반복연산 최초 출발지에 도착할 때까지 단계 2를 반복한다. 단계 4 : 최적해의 도출 네트워크모형에서 온전한 가지만을 연결하며, 최초 출발지의 노드 위에 기록된 거리가 최단거리가 된다.

Network Analysis Problem D 1 단계 – 네트워크 모형으로 작성 2 단계 – 최종 도착지에서부터의 연산 9 13 B 10 G부터 거꾸로 시작해서 네트워크모형 을 그린다. 그리고 가장 최소값에 표시를 해둔다. D 12 13 10 G 7 E A 10 14 G 7 E 8 11 C F 9 11 F

Network Analysis Problem 2 단계 – 최종 도착지에서부터의 연산 3 단계 – 최적해의 도출 G->D->B : 22 G->E->B : 17 G->F->B : 23 계속해서 거꾸로 네트워크모형을 그리며 B와 C에 도달하는데 가장 최소의 값을 적는다. 13 13 D D 17 17 9 13 9 13 G->E->B->A : 27 G->E->C->A : 29 B B 10 10 12 12 7 7 27 10 G G 7 7 E E A 10 10 14 11 11 8 8 C C 11 11 15 F F 9 9 15 최단경로는 A->B->E->G의 경로를 이루며, 이때 거리는 27km G->D->C : 23 G->E->C : 15 G->F->C : 20

Network Analysis Problem Shortest-Route Algorithms 1. Dijkstra's algorithm : designed to determine the shortest routes between the source node and every other node in the network. - 공급지 노드와 다른 임의의 노드 사이에서 최단거리를 구하는 알고리즘 ■ Dijkstra’s Algorithm · : shortest distance from source node 1 to node I · : the length of arc (i , j) · Algorithm : · [0 , - ] : the label for the starting node ; indicating that the node has no predecessor. · two types node label in Dijkstra's algorithm 1) temporary label : 더 짧은 거리로 이동할 수 있는 경로를 충분히 찾을 수 있는 상태 2) permanent label : 더 이상 짧은 경로를 찾을 수 없는 상태, 최적의 상태

Network Analysis Problem Shortest-Route Algorithms 2. Floyd's algorithm : more general ; it allows the determination of the shortest route between any two nodes in the network. - 자신이 원하는 임의의 노드 사이에서 최단거리를 구하는데 사용되는 알고리즘 ■ Floyd’s Algorithm - General ; it allows the determination of the shortest route between any two nodes in the network. - N/W 상의 node가 n개라면 Floyd’s algorithm은 총 n번의 iteration을 통하여 N/W상의 두 node 사이의 최단거리 및 경로를 결정한다. - 같은 문제(N/W상의 두 node 사이의 최단거리 및 경로를 결정하는 방법)를 Dijkstra’s algorithm으로 구하려면 총 n번의 과정을 통해서 구해야 하는데 그 n번의 과정 내에서도 iteration을 해야 한다. - Floyd’s algorithm은 두개의 matrix(distance matrix, route (or predecessor) matrix)를 가지고 반복하는 절차를 거치게 된다.

Network Analysis Problem Minimal spanning tree problem • -introduction- • It deals with linking the nodes of a network, using the shortest total length of connecting branches => 가장 짧은 길을 찾는 문제. • The most economical design of the road system calls for minimizing the total miles of paved roads, a result that is achieved by implementing the minimal spanning tree algorithm. =>가장 경제적 도로 설계 시스템. 네트워크모형내의 모든 노드를 연결시킴과 동시에 가장 짧은 경로를 찾는 문제 최소걸침나무문제는시작점과 종료점이 의미를 가지지 못하므로 연결경로를 고려하지 않고,네트워크의 모든 노드사이의 거리를 최소로 연결해주는 경로를 구하는 문제 vs

1 단계 5:최적해의 도출 5 2 3 4 Network Analysis Problem Minimal spanning tree problem에 의한 네트워크모형의 풀이과정 단계 1 : 네트워크모형으로 작성 단계 2:임의의 노드 선택 및 연결 (임의의 노드를 선택하고, 이 노드에서 거리가 가장 짧은 노드를 선택연결) 단계 3:선택되어 있는 노드들에서 거리가 가장 짧은 노드를 선택연결 단계 4:반복연결 (모든 노드가 연결될 때까지 단계 2의 과정을 반복한다.)

Network Analysis Problem THE ASSIGNMENT MODEL 예 제

Network Analysis Problem 1단계: 네트워크모형으로 작성 2단계: 임의의 노드 선택 및 연결 86 2 5 75 임의의 노드 선택 40 74 20 86 2 7 5 50 80 75 3 1 40 74 20 35 90 7 50 80 100 6 3 1 35 95 4 90 55 100 6 95 4 55

Network Analysis Problem 3단계: 연결되지 않은 노드 연결 86 86 2 2 단계 2의 연결된 가지와 가까운 거리에 있는 연결되지 않은 노드를 연결한다 5 5 75 75 40 74 20 40 74 20 7 7 50 80 50 80 3 3 1 1 35 35 90 90 100 6 100 6 95 95 4 4 55 55 모든 노드가 연결될때까지 단계 2의 과정을 반복한다.

Network Analysis Problem 4단계: 반복연결 86 86 2 2 5 5 75 75 40 74 20 40 74 20 7 7 50 80 50 80 3 3 1 1 35 35 90 90 100 6 100 6 95 95 4 4 55 55

Network Analysis Problem 5단계: 최적해의 도출 86 86 2 2 5 5 75 75 40 74 20 40 74 20 7 7 50 80 50 80 3 3 1 1 35 35 90 90 100 6 100 6 95 95 4 4 55 최적해의 도출 전체거리는 275km(=40+50+20+35+55+75)가 된다

Network Analysis Problem The maximal flow problem • 네트워크상의 시작점에서 종료점까지 이동하는 흐름의 양을 최대로 하는 문제 단계3 단계4 단계1 단계2 특정 경로의 최대흐름용량계산 반복 연산 네트워크모형으로 작성 최적해도출

Network Analysis Problem The maximal flow problem 단계1: 네트워크모형으로 작성. 단계2: 특정 경로의 최대흐름용량 계산 시작점에서 종료점까지임의의 경로를 선택하여 그 경로의 최대흐름용량 값을 구한다. 2. 구간 경로의 최대흐름용량 값만큼 경로 내 각 진입 활동의 용량을 감소시키고, 출구 활동에는 감소시킨 양만큼 증가시킨다. 단계3: 반복연산 시작점의 경로를 구성하는 활동들이 더 이상의 진입이 불가능할 때까지 단계2의 과정을 반복한다 단계4: 최적해 도출

Network Analysis Problem 예 제 2 5 고속도로 네트워크 시스템이 다음과 같이 주어졌을 때 차량의 시간당 최대흐름을 결정하라.(단위 : 100대) 2 시간당차량 흐름 =400대 2 5 4 2 1 1 0 3 1 3 6 2 0 0 2 0 2 2 2 0 4

Network Analysis Problem 단계2: 특정 경로의 최대흐름용량 계산 시작점에서 종료점까지임의의 경로를 선택하여 그 경로의 최대흐름용량 값을 구한다. 경로1->2 를 통해서 1(4)->2(2)->4 1(4)->2(1)->3 두 가지의 경우로 갈 수 있는데 위와 같이 2->4가 2->3보다 많은 용량 을 받을 수 있으므로 1->2->4->6을 택한다. 1(4)->2(2)->->4(5)->6 을 보아서 2단위의 차량이 이동할 수 있음을 볼 수 있다. 2. 구간 경로의 최대흐름용량 값만큼 경로 내 각 진입 활동의 용량을 감소시키고, 출구 활동에는 감소시킨 양만큼 증가시킨다.

Network Analysis Problem 단계2: 특정 경로의 최대흐름용량 계산 2 5 -2=0 (1)에서 들어갈 각 방향으로 들어갈 수 있는 최소 용량2를 넣고 이동시키며 이동한 방향의 용량에서 빼주고 반대방향 용량에는 더해준다. 2 2 5 +2=4 -2=3 4 -2=2 2 1 +2=4 1 0 +2=2 1 3 3 6 2 0 0 2 0 2 2 2 0 4

Network Analysis Problem 단계2: 특정 경로의 최대흐름용량 계산 5 1. 시작점에서 종료점까지임의의 경로를 선택하여 그 경로의 최대흐름용량 값을 구한다. 경로1(3)->3(2)->6을 보아서 2단위의 차량이 이동할 수 있음을 볼 수 있다. 2. 구간 경로의 최대흐름용량 값만큼 경로 내 각 진입 활동의 용량을 감소시키고, 출구 활동에는 감소시킨 양만큼 증가시킨다. 0 2 4 3 2 1 4 1 2 1 3 -2=1 3 6 2 -2=0 0 +2=2 0 +2=2 2 0 2 2 2 0 4

Network Analysis Problem 단계3: 최종 결과 2 5 5 -2=0 0 2 2 2 5 4 +2=4 -2=3 3 2 4 -2=2 2 1 1 +2=4 4 1 1 0 +2=2 2 1 3 1 3 6 -2=1 1 3 6 2 -2=0 0 0 +2=2 2 0 2 +2=2 0 2 0 2 +2=2 -2=0 0 2 2 2 -2=0 0 2 +2=2 모두 진입용량이 0이므로 더 이상의 개선여지가 없다. 따라서 3RouteX 200= 600 시간당 최대흐름은 600대이다 4 4

Network Analysis Problem Minimum cost flow problem -목적 수요지 노드들이 요구하는 양을 공급지 노드들로부터 수송하고자 할 때, 전체 수송비가 최소가 되도록 하는 수송방법을 찾는 것. 공급지 노드로부터 최종 수요지 노드에 수송하는 양은 다른 공급지 노드나 수요지 노드 또는 경유지 노드들을 경유하여 수송하는 것이 가능 수송문제 : 경유지 노드가 없다. 공급지 노드에서 수요지 노드로의 직접 수송만 가능 최소비용 네트워크 흐름 문제 : 경유지 노드가 존재한다. 공급지 노드에서 수요지 노드로의 직접 수송 뿐만 아니라, 다른 공급지 노드나 경유지 노드를 경유하여 수요지 노드로 수송하는 것도 가능. -결정변수 Xij : 노드 i에서 노드 j로의 수송량 -기본적 제약 조건 흐름 보존 법칙(Flow Conservation Rule)

Network Analysis Problem Minimum cost flow problem -입력 데이터 Cij: cost per unit flow on arc (i,j) 노드 i에서 노드 j로의 흐름에 대한 단위당 수송비 Uij: capacity; maximum amount that can flow on arc (i,j) arc( i , j)의 흐름 용량 B(i): 노드 i 에서의 수요 또는 공급 If b(i)>0 => node i is a supply node If b(i)<0 => node i is a demand node If b(i)=0 => node i is a transshipment node 30 -35 5 1 4 4 5 40 예제 -30 3 3 5 2 4 2 2 2 8 4 1 7 20 -15 7 3

Network Analysis Problem LP모형으로의 전환 • (결정변수) • xij : 노드i 에서 노드 j 로의 수송량 • 결정변수 개수 = 아크 개수 (12개) • (목적함수) • Min z = 4x12+3x14+4x24+5x26+2x31+2x34 • +7x37+5x45+3x46+4x47+ x65+2x76 • (제약조건식) • 7개 노드 각각에 대해 흐름보존법칙에 관한 제약조건식이 하나씩 대응 • 제약조건식 개수 =7(비음제약조건 제외) • (노드 1) x12 + x14 - x31 ≤ 40 • (노드 2) x24 + x26 - x12 ≤ 30 • (노드 3) x31 + x34 + x37 ≤ 20 • (노드 4) x45 + x46 + x47 - x14 - x24 - x34 ≤ 0 • (노드 5) - x45 - x46 ≤ -35 • (노드 6) x65 - x26 - x46 - x76 ≤ -30 • (노드 7) x76 - x37 - x47 ≤ -15

변수값을 입력하는 과정 Positive Variables 는 비음조건을 뜻함 39

목적함수 OBJ 로 표현 제약조건식은 CON 으로 표현 40

Using GAMS 41

Result Optimal Solution 42

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