1 / 12

Динамика на относителното движение на материална точка

Динамика на относителното движение на материална точка. Учебни въпроси: Преносна и кориолисова инерционна сила Диференциални уравнения на динамиката на относителното движение . Частни случаи на относително движение. 1 . Преносна и кориолисова инерционна сила. 1.1 Постановка на задачата.

oki
Download Presentation

Динамика на относителното движение на материална точка

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Динамика на относителното движение на материална точка Учебни въпроси: Преносна и кориолисова инерционна сила Диференциални уравнения на динамиката наотносителното движение. Частни случаи на относително движение.

  2. 1. Преносна и кориолисова инерционна сила 1.1 Постановка на задачата. В предходната лекция разбрахме как се определя движението на една материална точка М на която действат силите F1, F2, ……Fn. Задачата се решаваше с помощта на основното уравнение на динамиката m.a = F [1], където F = ∑ Fi Изрично трябва отново да подчертаем обаче, че във формулировката на нютоновите закони на движението беше казано, че те важат за Коперниковата координатна система и следователно аозначава ускорението на точката спрямо тази координатна система. И така всички резултати, които получихме, важат при предположение, че координатната система S – Oxyz e коперникова или друга система, неизменно свързана с коперниковата и неподвижна спрямо нея. На практика обаче, твърде често се работи със земната или локална координатна система, неизменно свързана със земната или с координатни системи, които се движат спрямо Земята – самолети, кораби и др. И затова естествено възниква въпроса:

  3. Постановка на задачата (продължение) Какво ще бъде движението на точка М, ако се наблюдава от една подвижна координатна система S1 – O1x1y1z1? т.е. Поставяме си следната основна задача: Да се изучи движението спрямо подвижната координатна система S1 на една материална точка, на която действат силите F1,F2,……Fn. Движението на S1 спрямо S (коперниковата координатна система) е познато.

  4. 1.2 Решение на задачата Нека да използваме теоремата на Кориолис: aa = ar + ap + ac, тогава уравнението [1] добива вида: m.ar + m.ap + m.ac = F1 + F2 +…+ Fn [2]; Прехвърляме събираемите m.ap и m.ac в дясната част и означаваме с Фp и Фc изразите: Фp = - m.apи Фc = - m.ac, Получаваме: m.ar= F1 + F2 +…+ Fn+ Фp + Фc или m.ar= F+ Фp + Фc[3] .Уравнението [3] се нарича основно уравнение на динамиката на релативното движение. Силата F = ∑ Fi е равнодействаща на сумата външни сили; Силата Фp = - m.ap= - m.[a01 + є1 x r2(1)+ ω1 x (ω1 x r2(1)) се нарича преносна инерционна сила. Силата Фc = - m.ac,= - m.2 ω1 x vrel се нарича кориолисова инерционна сила. С въвеждането на двете инерционни сили ние свеждаме задачата до една обикновена динамична задача, т.е. можем да смятаме, че координатната система S1 e неподвижна (фиктивно).

  5. 2. Диференциални уравнения на динамиката на относителното движение. Видяхме, че основното уравнение на динамиката на релативното движение [3] се съставя, както в коперникова система с поправката, че към дадените реални сили се прибавят и инерционните сили – преносната и кориолисовата. Този подход можем да наречем “частично прилагане метода на Даламбер” (защо частично?). 2.1 Диференциални уравнения на динамиката на относителното движение в координатна форма. Ако проектираме основното уравнение [3]:m.ar= F+ Ф1 + Ф2 върху осите на подвижната координатна система – S1 (O1x1y1z1), се получава: m.x1 = Fx1 + Фpx + Фcx, m.y1 = Fy1 + Фpy + Фcy, [4] m.z1 = Fz1 + Фpz + Фcz, Уравненията [4] представляват диференциалните уравнения на релативното движение на материална точка в координатна форма. Обикновено тези диференциалните уравнения се решават с помощта на числени методи или други приближени способи.

  6. 2.2 Диференциални уравнения на релативното движение в естествена координатна система. В много случаи е целесъобразно проектирането на основното уравнение [3] да се извърши върху естествения триедър на Френе на релативната траектория: m.dvr/dt = Ft + Фpt + Фct m.vr/ρr = Fn + Фpn + Фcn [5] 0 = Fb + Фpb + Фcb Тук t, nи b са тангентата, главната нормала и бинормалата към релативната траектория, а ρr– радиусът на кривината й. Уравненията[5] представляват диференциалните уравнения на релативното движение в естествена координатна система. 2

  7. y2 y1 r1 y x2 x1 M2 M1 t t t О2 О1 2 n 2 2 t n z2 z1 O x t n z 3. Частни случаи 3.1. Подвижната координатна система S1 извършва равнинно движение.(є и ωvr). Преносната инерционна сила при равнинно движение ще бъде: Фp= - m.ap, където: ap = aO1 + єxr1 + ωx(ωxr1). Тук: ap=aM1 –ускорението на съответната точка M1 aO1 – ускорението на центъра на подвижната координатна система S1(O1x1y1z1) єxr1 = ap M1O1;ap= є.r1.sin90 = є. r1 = aM1O1; ωx(ωxr1) = (ω.r1).ω – (ω.ω).r1 = 0 – ω.r1 = = - ω.O1M1 = + ω. M1O1 = aM1O1// M1O1. Или: ap = aM1 = aO1+ єxr1- ω.r1= aO1+ aM1O1+ aM1O1 Тогавапреносната сила ще бъде: Фp= - m.ap= = - m.(aO1+ aM1O1+ aM1O1). Кориолисовата силаФc = - m.aс; Фc = 2m. ω. vr (по големина), а по посока Фcvr и противоположна на aс [6] тангециално пренос. ускорение нормално преносно ускорение

  8. t n n n t t t n 2 n 2 3.2 Ротационно движение на подвижната координатна система около неподвижна ос. Ако преносното движение е само ротация около неподвижна ос, то ускорението на т.О1- центъра на подвижната координатна система, ще бъде равно на нула, защото тази точка лежи на оста и е неподвижна, т.е. ао1 = 0. Тогава преносната и кориолисовата инерционни сили ще бъдат: Фp= - m.ap= - m.(aM1O1+ aM1O1) = - m. aM1O1- m.aM1O1 = Фp + Фp; Фp= - m. є.r1 ,Фp = - m.ω. r1, където: r1 = O1M1 – радиус на въртене, разстояние от неподвижната ос до “съответната” точка. Фc = - m.aс; Фc = - 2m. ωxvr или по големина: Фc = - 2m. ω.vr.sin(ω^vr). Посоката на кориолисовата сила ще бъде противоположна на кориолисовото ускорение. Когато ротацията е равномерна (прим. като въртенето на Земята), то ъгловото ускорение е равно на нула, а ъгловата скорост е постоанна, т.е. є = 0 и ω= const. Тогава: Фp= - m. є.r1= 0 и Фp= - m.ap= - m. aM1O1. По големина Фp = - m.ω. r1, а по посока ще бъде насочена противоположно на нормалното ускорение – центробежна инерционна сила. Големината и посоката на кориолисовата сила ще се определя, както в общия случай на ротационно преносно движение. t

  9. 3.3 Преносното движение е транслация При транслационно движение на подвижната координатна система S1 (O1x1y1z1) преносната ъглова скорост ω= 0, следователно и кориолисовата сила ; Фc = - 2m. ωxvr = 0. Тогава уравнението на релативното движение ще има вида: m.ar= F+ Фp = F - m. aO1 Ако транслационното движение е неравномерно и криволинейно, преносното ускорение aO1, а следователно и преносната инерционна сила Фp могат да се проектират върху осите на естествената координатна система на Френе. Ако преносното движение е равномерна и праволинейна транслация, т.е. ω= 0, aO1= 0, ще имаме освен Фc= 0 и Фp= 0 Тогава:m.ar= F [7] !!! сравнете с: m.a= F [1] – основното уравнение на динамиката. Този резултат е много важен, защото се вижда, че в този частен и специален случай уравнението [7] има същия вид, както нютоновото основно уравнение [1].

  10. Принцип на относителността (релативността) в класическата (нютоновата) механика. Следователно може да се каже, че нютоновият закон за движението е в сила не само за Коперниковата координатна система S, но и за всяка друга координатна система S1, която извършва праволинейна и равномерна транслация спрямо S (такива координатни системи се наричат “галилееви”, а някой ги наричат “инерциални”). В този случай релативното движение от динаминачна гледна точка не се отличава с нищо от абсолютното. Това положение, наречено принцип на Галилей-Нютон за относителността в класическата механика, може да се формулира по следния начин: “Механичните явления в неподвижна система и в галилеевите системи протичат съвършено еднакво” Обобщението на този принцип доведе Айнщайн до неговата “обща теория на относителността”. Може да се замислим и да направим извода, че никакви механични опити не могат да докажат дали дадена система се намира в покой или извършва транслационно, равномерно и праволинейно движение.

  11. 3.4 Други задачи на релативното движение • При какви условия релативното движение ще бъде праволинейно и равномерно? т.еvrel = const (ar = 0) Заместваме в m.ar= F+ Фp + Фc[3] и получаваме: F+ Фp + Фc = 0, което изразява условието за праволинейно и равномерно релативно движение. • Кога, при какви условия една точка ще се намира в покой (равновесие) спрямо подвижната координатна система. т.е. vrel = 0 и ar = 0. Щом ar = 0, то лявата част на [3] (m.ar)става равна на нула, а щом vrel = 0, то кориолисовата сила ще бъде равна на нула. Тогава уравнението [3] ще добие вида: F+ Фp = 0. И така получихме следното условие за релативно равновесие: За да бъде точката М в релативен покой, трябва сборът от силите F и преносната инерционна сила да бъде равен на нула. • Как да определим елементите на преносното движение, ако релативното движение е познато? (обратна задача) Изхождайки от уравнението на Нютон и теоремата на Кориолис, лесно може да се стигне до уравнението: m.aр= F+ Фr + Фcq[8], което се нарича основно уравнениe на динамиката на преносното движение. Уравнението [8]може да се проектира върху осите на неподвижната координатна система или върху осите на естестествената система.

  12. Въпроси ?

More Related