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Sistemi di riferimento. La retta orientata e piano cartesiano. Contenuti. Breve ripasso: gli insiemi numerici Che cosa è un sistema di riferimento: la retta orientata e il piano cartesiano (sistema di assi cartesiani ortogonali) Rappresentazione degli insiemi numerici su una retta orientata
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Sistemi di riferimento La retta orientata e piano cartesiano
Contenuti • Breve ripasso: gli insiemi numerici • Che cosa è un sistema di riferimento:la retta orientata e il piano cartesiano (sistema di assi cartesiani ortogonali) • Rappresentazione degli insiemi numerici su una retta orientata • Il piano cartesiano
Gli insiemi numerici • I numeri naturali: N N={0; 1; 2; 3; …} • I numeri interi: Z Z={0; ±1; ± 2; ± 3; …} • I numeri razionali: Q Sono tutti quei numeri che possono essere scritti sotto forma di frazione. Sono i numeri decimali limitati e illimitati periodici, infatti ad esempio: 3,4 = 34/10; 5,1(7)=466/90 • I numeri irrazionali: I Sono tutti quei numeri che non sono razionali, cioè che non possono essere scritti sotto forma di frazione. Sono i numeri decimali illimitati non periodici come ad esempio: 3,023024025026…; π= 3,14159265358979323846264… • I numeri reali: R Dato dall’unione dei due insiemi: razionali e irrazionali
Numeri INTERI Z R Numeri REALI Q Numeri RAZIONALI I N Numeri IRRAZIONALI Numeri NATURALI Riassumendo {…, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
Sistemi di riferimento • Un sistema di riferimento è l’insieme degli elementi utili ad individuare la posizione di un oggetto nello spazio. A seconda del numero di riferimenti usati si può parlare di: • Sistema di riferimento monodimensionale(ad esempio la retta orientata) • Sistemi di riferimento bidimensionale(ad esempio coordinate cartesiane nel piano) • Sistemi di riferimento tridimensionale (3D)(ad esempio coordinate cartesiane nello spazio)
u La retta orientata La retta orientata è una retta su cui viene fissato: • Un verso di percorrenza serve a dare un ordine ai punti della retta • Un punto di riferimento detto Origine rispetto al quale è possibile stabilire dove si trova un determinato punto • Una unità di misura serve a stabilire a che distanza dall’origine si trova un determinato punto -2 1 +4 B A Il numero -2 è l’ascissa del punto B, +4 è l’ascissa del punto A e si scrive B(-2), A(+4). Dunque ad ogni numero x corrisponde un punto P sulla retta orientata ed ad ogni punto P corrisponde un numero x: P(x) Dunque il numero x indica la posizione, rispetto all’origine, del punto P di ascissa x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 I Numeri interi positivi o Naturali sulla retta orientata: la retta è in realtà una semiretta costituita da un numero discreto di punti. N u 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 0 u Z Numeri interi con segno o Relativi sulla retta orientata (costituita da un numero discreto di punti) … -6 -5 -4 -3 -2 -1 u Numeri esprimibili come frazioni o Razionali rappresentati sulla Retta orientata : la retta presenta ancora “buchi” determinati dai numeri Irrazionali Q R u Numeri Reali: Razionali ed Irrazionali sulla retta reale; i numeri Reali “coprono”, in modo continuo, tutti i punti della retta orientata.
Il segmento AB è individuato dai punti B(+6) e A(+ ) Nel nostro esempio per trovare la misura di AB (si indica con AB): Misura di un segmento Un segmento sulla retta è individuato dai suoi punti estremi. 3 u 2 ascissa di A ascissa di B 3 9 3 B A O AB = OB – OA = (+6) – (+ ) = 6 − = r 2 2 2 0 +6 3 + 2
Se A(+4) e B(−2), allora AB = |(+4) – (-2)| = |+4 +2| = |+6|= 6 oppure AB = |(−2) – (+4)| = |-2 -4| = |-6|= 6 Se A(−3) e B(−8), allora AB = |−3 – (−8)| = |−3 +8| = |+5|= 5 oppure AB = |−8 – (−3)| = |−8+3| = |−5|= 5 Misura di un segmento ESEMPI La misura di un segmento AB si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positività del risultato. Se A(xA) e B(xB), la misura di AB è data dalla relazione AB = |xA – xB| = |xB – xA|
Se A(xA) e B(xB) si ha che: AM = xM – xA e MB = xB − xM Punto medio di un segmento Il punto medio M di un segmento è il punto per il quale si verifica che AM ≅MB. Quindi xM − xA = xB − xM,cioè risolvendo rispetto a xM 5 Possiamo allora concludere che l’ascissa del punto medio di un segmento AB è data dalla semisomma delle ascisse dei suoi estremi. 2 SeA(+2) eB(−7),allora xA + xB +2 − 7 = − xM = xM = M 2 2 A B r ESEMPIO xA xB xM
Riassumendo Date le ascisse xA e xB di due punti A e B di una retta avremo: • La misura del segmento AB è: • L’ascissa xM del punto medio M del segmento AB è: OSS L’ascissa del punto medio di un segmento risulta pertanto pari alla media aritmetica delle ascisse degli estremi.
Sistema di assi cartesiani • È costituito da una coppia di rette orientate aventi la stessa origine. Ad esempio: • Noi ci occuperemo di un sistema di assi cartesiani ortogonali monometrico (stessa unità di misura su entrambe le rette orientate).
1 3 4 5 2 -1 -2 -3 +3 +2 +4 +1 -2 -1 -5 -4 -3 Piano cartesiano • Il piano cartesiano è suddiviso da 2 assi (asse x delle ascisse e asse y delle ordinate) in 4 angoli retti chiamati quadranti Partendo dall’angolo in alto a destra e seguendo il verso antiorario sono chiamati 1°,2°,3° e 4° quadrante y (Asse delle ordinate) Unità di misura 2° Quadrante 1° Quadrante (origine) O 3° Quadrante 4° Quadrante x (Asse delle ascisse)
