三角関数演習問題

1. ｒ ｂ θ ａ 1 0 0 2π 1 1 1 -1 2π 2π 2π -1 -1 -1 0 0 信号理論 (金田） 1演-1 三角関数演習問題 （答は別紙の解答用紙に記入する） ［ 三角関数 ］ １．右の図の直角三角形において、ｒ，ａ，ｂ は、 　　それぞれの辺の長さを表す。 　　また、θは ｒ と ａ の辺のなす角度を表す。 　　このとき、 (1) ｓｉｎθ(2) ｃｏｓθ(3) tanθ 　　を、ｒ，ａ，ｂ を用いて表せ。 ２．角度の単位を２つあげよ。 ３．(1) π/3(2)π/4(3) π は、何度の角度か？ ４．次の(1)(2) のグラフを描け。ただし、(1) は、可能な限りていねいに書くこと。 (2) は、(1)との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。 (1) sin( ｘ ) (2) cos( ｘ) ５．次の(1)(2) のグラフを描け。ただし、sin(ｘ) との違いがわかれば、それほどていねいに書かなくてもでなくても良い。 (1) sin( ｘ－π/2 ) (2) sin( ｘ＋π/2) ａ，ｂ は定数

2. 1 0 0 2π 1 1 1 ４． (1) sin( ｘ ) (2) cos( ｘ) -1 2π 2π 2π -1 -1 -1 ５． (1) sin( ｘ－π/2 ) 0 0 (2) sin( ｘ＋π/2) 信号理論 (金田） 1演-2解(1) 三角関数演習　解答用紙 波形は次ページ

3. １ １ x x π π 2 2 π π - １ - １ 信号理論 (金田） 1演-2解(2) 三角関数演習　解答用紙 ４． ５．(1) sin( ｘ-π/2 ) (1) sin( ｘ ) 参考： sin( ｘ ) (2) cos( ｘ) (2) sin( ｘ＋π/2 ) ２πで１周期 １ x 0 0 0 2 π π - １ π/2 π/2 × sin(ｘ) が右に π/2 移動 sin(ｘ) が左に π/2 移動 １ 関数 ｆ(ｘ-τ) は、 　→ 元の波形が、( ) 内がゼロとなるｘに移動する 　→ 左の式では、sin波形の開始点が 　　　ｘ＝π/2 の点に移動する ＝ -cos( ｘ) 半円の繰り返しではダメ ＝ cos( ｘ) x π 2 π - １

4. 信号理論 (金田） 1演-3 複素数演習 答えだけでなく途中式も書くこと　 １．以下の計算をして、答を 実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。　 ３．次の複素数を、複素指数関数（極座標表示） ｒ eｊ θの形 　　で表せ。 （ただし、θは「度」で表せ。また√2＝1.4 とせよ）　 (1) （2＋ｊ 3）＋（1＋ｊ 2） (2) （ ｊ ）×（ ｊ ） (3) （ 4＋ｊ ）×（ 3－ｊ 3 ） (4) （ ｊ ）6 (5) （ 1 ）÷（ ｊ ） (6) ( ｊ ) -3 (1) （ 1 ） (2) （ ｊ ） (3) （ 1－ｊ ） (4) （ -1＋ｊ ） ４．次の複素数の計算をせよ （答えは複素指数関数） (1) 2eｊ 25°× 4e－ｊ 315° (2) 2eｊ 25°÷ 4e－ｊ 315° ２．以下の複素数を、実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。 　　ただし、sin45°＝cos45°＝0.7 として計算せよ。　 (1) eｊ 90° (2) 2eｊ 45° (3) 4e－ｊ 315° ５．次の複素数 ｚ の絶対値（大きさ） | ｚ | を計算せよ 　ｚ＝3＋ｊ4

5. 信号理論 (金田） 1演-3解 第１回演習解答 複素数演習 ３．次の複素数を、複素指数関数（極座標表示） ｒ eｊ θの形 　　で表せ。 （ただし、θは「度」で表せ。また√2＝1.4 とせよ）　 １．以下の計算をして、答を 実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。　 (1) （2＋ｊ 3）＋（1＋ｊ 2）＝ 3 ＋ ｊ 5 (2) （ ｊ ）×（ ｊ ） ＝ -1 (3) （ 4＋ｊ ）×（ 3－ｊ 3 ） ＝ 12 - ｊ12 ＋ ｊ3 ＋ 3 ＝ 15 - ｊ 9 (4) （ ｊ ）6＝ (( ｊ2 )3 ) ＝ (( -1 )3 ) ＝ -1 (5) （ 1 ）÷（ ｊ ） ＝ 1 / ｊ （分母分子に ｊ をかけると） 　　　　　　　　　　＝ ｊ / ( ｊ × ｊ ) ＝ ｊ / (-1) ＝ -ｊ (6) ( ｊ ) -3＝ 1 / ( ｊ ) 3＝ 1 / ( -ｊ ) ＝ （ ｊ ） / ( -ｊ × ｊ ) ＝ ｊ ◇ 複素数　ａ＋ ｊ ｂ　から 複素指数関数 Ａ ｅ ｊθへの変換 Ａ ＝ √（ａ２＋ｂ２ ）θ＝ｔａｎ-1(ｂ／ａ) 　　☆ただし、電卓などの計算結果では、 θは -90°＜θ< 90°の範囲で得られる 　　　　ので 、ａ ＜0 のときは、θに ±180° する θの値が複素平面上で妥当なことを確認する (1) （ 1 ） ＝ １＋ｊ 0 なので、ａ＝1、ｂ＝0 に相当 　　　　よって、Ａ＝1、 θ＝ｔａｎ-1(0)＝0°　　よって ｅ ｊ0° (2) （ ｊ ）＝ 0＋ｊ 1 なので、ａ＝0、ｂ＝1 に相当 　　　　よって、Ａ＝1、 θ＝ｔａｎ-1(1/0)＝90°　　よって ｅ ｊ90° (3) （ 1－ｊ ） ＝ 1＋ｊ (-1) なので、ａ＝1、ｂ＝-1 に相当 　　よって、Ａ＝√2＝1.4、 θ＝ｔａｎ-1(-1)＝-45° 　　よって 1.4 ｅ- ｊ45° (4) （ -1＋ｊ ）＝ (-1)＋ｊ (1) なので、ａ＝-1、ｂ＝1 に相当 　　よって、Ａ＝√2＝1.4、 θ＝ｔａｎ-1(-1)＝-45° 　　ただし、ａ ＜0 であるので、θに ＋180° する 　　よって 1.4ｅ ｊ135° 【参考】　（ ａ＋ｊ ｂ ） と、その複素共役 （ ａ - ｊ ｂ ） との積は 　　　　　　　 （ ａ＋ｊ ｂ ）×（ ａ - ｊ ｂ ） ＝ ａ2＋ｂ2 　　　と、簡単に計算できる。　（答は実数となるので、 　　　複素数の分母の実数化に利用される） ２．以下の複素数を、実数＋虚数 （ａ＋ｊｂ）の形で表せ。 　　ただし、sin45°＝cos45°＝0.7 として計算せよ。　 ４．次の複素数の計算をせよ （答えは複素指数関数） 【重要】 な オイラーの公式 （ 必ず覚えておくこと！） eｊθ＝ ｃｏｓθ＋ ｊ ｓｉｎθ を利用する。 指数関数の積と商 (積)Ａ１ｅ ｊ θ1・Ａ２ｅ ｊ θ2 　　　　　　　　＝ Ａ１・Ａ２･ｅ ｊ （θ1＋θ2） (商)Ａ１ｅ ｊ θ1／Ａ２ｅ ｊ θ2 　　　　　　　　＝( Ａ１ ／Ａ２) ･ｅ ｊ （θ1－θ2） 注： 実数の場合と同じ結果です (1) eｊ 90°＝ ｃｏｓ90°＋ｊ ｓｉｎ90°＝ ｊ (2) 2eｊ 45°＝ 2 ( ｃｏｓ45°＋ｊ ｓｉｎ45°) 　　＝ 2 ( √2/2 ＋ ｊ √2/2 ) ＝ √2 ＋ ｊ √2 ＝ 1.4 ＋ ｊ 1.4 (3) 4e－ｊ 315° 　　＝ 4 ( ｃｏｓ(-315°)＋ｊ ｓｉｎ(-315°)) 　　＝ 4 ( √2/2 ＋ ｊ √2/2 ) ＝ 2√2 ＋ ｊ 2√2 ＝ 2.8 ＋ ｊ 2.8 注： - 315＋360 ＝45 なので、-315°と45°は同じ角を表す。 (1) 2eｊ 25°× 4e－ｊ 315° ＝ (2×4) eｊ (25-315)°＝ 8 e- ｊ 290° （＝ 8 eｊ 70° ） (2) 2eｊ 25°÷ 4e－ｊ 315° ＝ (2/4) eｊ (25-(-315) )°＝ 0.5 eｊ 340°（＝ 0.5 e- ｊ 20°） 　☆ 複素数の知識が不十分な人は、 　　　「複素数のまとめ」 が、ホームページ http://www.asp.c.dendai.ac.jp/ 　の 　　　［授業］→［信号理論］ にあるので、 　　　再度勉強しておいてください ５．次の複素数 ｚ の絶対値（大きさ） | ｚ | を計算せよ ｚ＝3＋ｊ4 　複素数の絶対値（大きさ）は、 　（実数部の２乗）＋（虚数部の２乗）の平方根なので、 | ｚ | ＝√3２＋4２＝√9＋16＝5

6. 信号理論 (金田） 1宿-1 ［ sin 関数の形の理解 ］ 下記の表の空欄に，適切な文字式と数字を記入せよ。その結果を使って下記のグラフ ｙ＝sin(ｘ) を完成させよ。 ◇ 関数の傾きは微分によって与えられる。　sin（ｘ） の微分は， であるので， 例えば、x=0 での sin(x) の傾きは，cos(0)＝1 である。 ｙ ｙ = ｘ の直線 ｘ＝π/2 で，ｙ ＝π/2＝1.6 ｘ =π/2 では，傾きは0。 ｘ＝3π/2 でも同じ ｘ ｘ = 0 では，傾きは 1 ｘ＝πでは、傾きは -1 ｘ＝2πでは ，傾きは 1 sin(x) = 0 となる点をはさんで， sin(x) = ±0.5 までの範囲で， ほぼ ｙ＝ｘ の直線と一致する 0

7. T 時間 ｔ 0 信号理論 (金田） 1宿-2 ［ 正弦波 ］ 時間を変数としたサイン（またはコサイン）関数は，正弦波と呼ばれる。 １．以下の文の （　） をうめよ。 　・ 時間 ｔ を変数とした関数の図は，「波形」と呼ぶ。 　・ 上記の sin( 2πf ｔ ) の波形は，時間 Ｔ，または，ｆ を使って表すと ①（　　　　　　）　ごとに同じ波形をくり返す。 　　　この ｆ を ②（　　　　　　　） と呼び， Ｔ を ③（　　　　　　　） と呼ぶ。 　・ 1秒間に同じ波形が ④（　　　　）回繰り返される。 　・ ω＝ 2πf　を使って， sin( ωｔ ) とも表される。 このωを ⑤（　　　　　　　　） と呼ぶ。 　・ sin( 2πf ｔ ＋θ) と表されるとき，θは ｔ＝0 の時の（　）の中の値であるが，このθを ⑥（　　　　　　　） と呼ぶ。 ２． sin( 2πf ｔ ) は，ｔ の値が 0 から増加するに伴って （　）の中の値が増加し， 　例えば，ｔ の値が 1/(4ｆ )　となると， 2πf ｔ の値は π/2 となるので， sin( 2πf ｔ ) ＝1 となる。 　同様の考えで，ｔ がどのような値をとると sin( 2πf ｔ ) がどのような値をとるか，を示している以下の表の 　空欄をうめよ。 ３．以下の式で表される波形を描け。 ① sin(2πf t －π/2) ② 2･sin(4πf t) 1 1 0 0

8. T 時間 ｔ 0 周期 信号理論 (金田） 1宿-2解 ［ 正弦波 ］ 時間を変数としたサイン（またはコサイン）関数は，正弦波と呼ばれる。 ① sin(2πf t －π/2) ② 2・sin(4πf t) ＝ 2・sin(2π(2f) t) １．以下の文の （　） をうめよ。 　・ 時間 ｔ を変数とした関数の図は，波形と呼ぶ。　　　　　　　　　　　　　　　　Ｔ 　・ 上記の sin( 2πf ｔ ) の波形は，時間 Ｔ，または，ｆ を使って表すと ①（　1／ｆ　）　ごと 　　　に同じ波形をくり返す。　この ｆ を ②（　周波数　） と呼び， Ｔ を ③（　周期　） と呼ぶ。 　・ 1秒間に同じ波形が ④（　ｆ　）回繰り返される。 　・ ω＝ 2πf 　を使って， sin( ωｔ ) とも表される。 このωを ⑤（　角周波数　） と呼ぶ。 　・ sin( 2πf ｔ ＋θ) と表されるとき，θは ｔ＝0 の時の（　）の中の値であるが，このθを 　 ⑥（　位相　） と呼ぶ。 １ ｔ ｔ 0 0 1/f ２． sin( 2πf ｔ ) は，ｔ の値が 0 から増加するに伴って （　）の中の値が増加し， 　例えば，ｔ の値が 1/(4ｆ )　となると， 2πf ｔ の値は π/2 となるので， sin( 2πf ｔ ) ＝1 となる。 　同様の考えで，ｔ がどのような値をとると sin( 2πf ｔ ) がどのような値をとるか，を示している以下の表の 　空欄をうめよ。 1/(4f) 振幅は2倍 sin(2πf t) が 1/4 周期右に移動 　・ π/2 → 1/4 周期 　・ 2πf t -π/2＝0　→ ｔ＝1/(4ｆ) 周波数2倍 ⇒ 周期は1/2 ｔ ＝ 1/ｆ ＝ Ｔ　で， 2πｆ ｔ ＝2π だから 1/ｆ ＝ Ｔ　は周期になる ３．以下の式で表される波形を描け。

9. 信号理論 (金田） 2説-1 ［ パラメータ ］ ｙ 例１） 直線のパラメータ 　　　直線の式： ａ ｂ パラメータは２つ。　ａ と ｂ 　ｂ： 切片 （ｘ＝0 における ｙ の値 ） 　ａ： 直線の傾き。　ｘ が 0 から 1 に増えたときの 　　　ｙ の増加量 ２つのパラメータ　ａ と ｂ の値がわかれば，直線が描ける。 ※ 直線は，２点を定めれば描ける，ということと等価 　　　（ｘ，ｙ） が （0，ｂ）， （1，ａ＋ｂ） の２点　　 ｘ 1 0 ｙ 例２） ２次曲線のパラメータ 　　　２次曲線の式： ｂ パラメータは３つ。　ａ と ｂ と ｃ ２つのパラメータ　ａ と ｂ の値がわかれば， ２次曲線が描ける。 0 ◇ 別の３つのパラメータもある ａ と α と β の３つ ただし，α と β は， の解

10. 信号理論 (金田） 2説-2 ［ 関数の平行移動 （1/2)］ ｆ（ｔ） ｆ（ｔ－τ） 図１ 図２ τ ｆ（ｔ－τ） は、ｆ（ｔ） を 右側に「τ」移動したもの ｆ（0） ｆ（0） ｔ ｔ τ τ 0 0 （タウ） ・ 信号 ｆ（ｔ） は、ｔ ＝0 の時 、 値 ｆ（0） となる。（図１） ・ 信号 ｆ（ｔ－τ） は、ｔ ＝τ の時 （ｔ ＝τを代入すると）、 　　（　）の中は 0となり，値 ｆ（0） となる。（図２） ・ したがって、ｆ（ｔ－τ） は、ｆ（ｔ） を　「右側にτ」移動したものである。 ｆ（ｔ ＋τ） は、ｆ（ｔ） を 左側に「τ」移動したもの ｆ（ｔ） ｆ（ｔ ＋τ） 図３ 図４ τ ｆ（0） ｆ（0） ｔ ｔ -τ 0 0 ・同様に，ｆ（ｔ ＋τ） は、ｔ ＝－τ で、 ｆ（ｔ） が ｔ＝0の時の値をとるので， ｆ（ｔ） を　「左側にτ」移動したものとなる。

11. x x π 2π 信号理論 (金田） 2説-3 ［ 関数の平行移動 （2/2)］ ① sin(ｘ)　と　sin(ｘ - π/2) sin(ｘ - π/2) sin(ｘ) ・ 右に π/2 移動 ・ ｘ＝π/2 で，( ) の中が0になり、 　ｓｉｎ(0) の値を取るから x 2π π π/2 ② sin( ωｔ )　と　sin( ωｔ - π/2) sin( ωｔ - π/2) ・ 右に π/(2ω) 移動 ・ ｔ ＝ π/(2ω) で，( ) の中が0になり、 　ｓｉｎ(0) の値を取るから sin(ωｔ ) ｔ ｔ π/ω 2π/ω ＝1/ f π/ω 2π/ω ＝1/ f π/(2ω) ・ 横軸の値に注意 ・ ｔ が，2π/ω （＝ 1/ｆ ＝ Ｔ ） になったとき sin の ( ) の中は 2π になる。 　→ 2π/ω （＝ 1/ｆ ＝ Ｔ ） 　が１周期 ③ sin( ωｔ )　と　sin( ω( ｔ - τ) ) sin(ω( ｔ - τ) ) sin( ωｔ ) ・ 右に τ 移動 ・ ｔ ＝τ で，( ) の中が0になり、 　ｓｉｎ(0) の値を取るから ｔ τ

12. １ １ ｔ 波形 (a) 波形 (b) -1 -1 ｔ 1（秒） 1/6 0.5 1（秒） 信号理論 (金田） 2演-1 ［ 正弦波の表現１と表現２ ］ １．　正弦波の表現を２種類示せ ２．以下の２つの正弦波形について， 　　波形 (a)(b) を， A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) として表すとき，ｆ，A，θ を求めよ。 　　　　　波形(a)：　ｆ ＝　　　　　　，　A＝　　　　，　θ＝ 　　　　　波形(b)：　ｆ ＝　　　　　　，　A＝　　　　，　θ＝　　　　　　 （　続きは 裏面　）

13. 信号理論 (金田） 2演-2 ３．次の正弦波の表現１： A･sin( 2πｆ ｔ ＋θ) 　を、表現２： a･cos(2πｆ ｔ )＋b･sin(2πｆ ｔ )　に変更せよ (1) sin( 2πｆ ｔ ＋π/2) → (2) sin( 2πｆ ｔ ＋π/6) → (3) 2･sin( 2πｆ ｔ －π/3) → ※ 質問事項（本日の授業でわかりにくかったこと）、 　　　および、この授業に対する感想・意見・要望などあれば、記入してください。　　

14. 1 1 時間 ｔ 時間 ｔ 0 0 10ms 10ms 5 5 -1 -1 信号理論 (金田） 2宿-1 問１．次の周波数の正弦波の式を示して、グラフを描け。ただし、すべて、振幅は１、位相は 0 とせよ。 　　［ この問題は基本的な問題なので、必ず、理解して解けるようにしておくこと］ (1) 周波数が 100Hz の正弦波 （式） 横軸は時間軸で、 １目盛が 1ms（ミリ秒） (2) 周波数が 500Hz の正弦波 （式） 問２．正弦波は、 　　表現１： 振幅Ａと位相θを使った表現 　　表現２： ｃｏｓ と ｓｉｎ の和を使った表現 で表すことができる。次の表現２から表現１を求めよ。 (1) ｃｏｓ（2πｆ ｔ） ＋ ｓｉｎ（2πｆ ｔ） (2) √3･ｃｏｓ（2πｆ ｔ） ＋ ｓｉｎ（2πｆ ｔ）

15. 信号理論 (金田） 2宿-2 問３． このことを作図により確かめる。 下のグラフは ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) と ｓｉｎ(2πｆ ｔ ) を表している（ｆ＝1 の場合） 。 これより、 ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) ＋ ｓｉｎ(2πｆ ｔ ) のグラフを作図せよ。 （あまり、ていねい・厳密にやる必要は無い。おおまかな形がわかればよい） ※ 各時間において、縦方向に２つのグラフの値を加算した値の点を記入して、それをつなげばよい。 ※ 描いたグラフと、問２(1) の計算結果を比較せよ。同じ結果になっているか？ 同じ周波数の、２つの正弦波の和は、１つの正弦波になる sin( 2πｆ ｔ) 時間 ｔ 0 ｃｏｓ( 2πｆ ｔ) 問４．複素数 ｚ ＝ａ＋ ｊ ｂ （ただし、ａ、ｂ は実数） と、その共役複素数 ｚ* の和と差、　ｚ＋ｚ*　と 　ｚ－ｚ*　 を、ａ、ｂ を使って表せ。