Dane INFORMACYJNE

2. Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr 2 im. Zespół Szkół Ogólnokształcących nr 5 im. Aleksandra Kamińskiego im. Skamandrytów Gimnazjum nr 17 • w Żarach w Szczecinie • ID grupy: ID grupy: • 98/42_MF_G1 98/5_MF_G2 • Kompetencja: Fizyka i matematyka • Temat projektowy: Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych • Semestr/rok szkolny: IV-V/2011/2012

3. Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych http://www.google.pl/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia

4. TEMATYKA: • Potęgi służą do zapisywania w prostszej postaci liczb dużych i małych. Notacja wykładnicza to narzędzie używane do tego celu.

5. Cele projektu: • Poznawanie i stosowanie notacji wykładniczej oraz twierdzeń dotyczących potęgowania liczb, • Rozwijanie umiejętności posługiwania się potęgami, • Korelacja matematyki z innymi naukami, • Rozwijanie ciekawości poznawczej i umiejętności badawczych, • Rozwijanie umiejętności organizacji pracy własnej, • Kształtowanie i rozwijanie umiejętności współpracy w zespole i podejmowania decyzji grupowych.

6. Występujące pojęcia: • Potęga o wykładniku naturalnym, • Potęga o wykładniku całkowitym, • Notacja wykładnicza, • Potęga o wykładniku wymiernym, • System dziesiątkowy, • System dwójkowy.

7. Zakres i podział zadań 98/42_MF_G1 98/5_MF_G2 Definicje i twierdzenia dotyczące potęgowania Liczby małe i duże w przemyśle i budownictwie Liczby duże i małe w astronomii • Definicje i twierdzenia dotyczące potęgowania • Liczby duże i małe w geografii • Liczby duże i małe w botanice • Liczby duże i małe w zoologii

8. Potęga o wykładniku naturalnym Niech aR, nN, wówczas: • a0=1 dla a≠0 00 – nieokreślone • a1=a

9. Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym • Niech aR, a≠0,nN, wtedy potęgą a-n nazywamy odwrotność potęgi an:

10. Notacja wykładnicza • Notacja wykładnicza to zapis liczby w postaci iloczynu, w którym pierwszy czynnik jest liczbą większą lub równą 1 i mniejszą od 10, a drugi jest potęgą liczby 10.

11. Dziesiętny system liczbowy Dziesiętny system liczbowy (dziesiątkowy system liczbowy) – powszechnie stosowany system zapisu liczb przy użyciu 10 cyfr arabskich: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jest pozycyjnym systemem liczbowym o podstawie 10. Przykład Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str.40-41

12. Dwójkowy system liczbowy Dwójkowy system liczbowy (binarny system liczbowy) – sposób zapisywania liczb za pomocą dwóch znaków zwanych bitami: 0 i 1. Jest pozycyjnym systemem liczbowym o podstawie 2 stosowanym we wszystkich urządzeniach elektronicznych, w szczególności w komputerach. Przykład Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str. 33-34

13. Twierdzenie o mnożeniu potęg o tych samych podstawach • Jeżeli aR, a≠0 i m,nC, to

14. Twierdzenie o dzieleniu potęg o tych samych podstawach • Jeżeli aR, a≠0 i m,nC, to:

15. Twierdzenie o potęgowaniu potęgi • Jeżeli aR, a≠0 i m,nC, to:

16. Twierdzenie o mnożeniu potęg o tych samych wykładnikach • Jeżeli a,bR, a,b≠0 i nC, to:

17. Twierdzenie o dzieleniu potęg o tych samych podstawach • Jeżeli a,bR, a,b≠0 i nC, to:

18. Zadanie 1.Udowodnij Twierdzenie o mnożeniu potęg o tych samych podstawach, jeżeli wykładniki są liczbami naturalnymi. • Niech aR, a≠0 i m,nN, wówczas

19. Liczby olbrzymy • Liczby giganty (liczby olbrzymy) – na świecie funkcjonują równocześnie dwa systemy nazywania bardzo dużych liczb naturalnych: europejski i amerykański. Początkowo duże liczby zapisywano grupując cyfry w bloki po 6 cyfr. Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str.118-119

20. Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str.118-119

21. Trochę z kart historii • System dziesiętny powstał w Indiach ok. VIII- IX wieku. • Do Europy dotarł za pośrednictwem Arabów w X wieku. • Został spopularyzowany przez matematyka włoskiego L. Fibonacciego na przełomie XVII/XVIII w. Encyklopedia Matematyka; Wydawnictwo GREG , Kraków, str.40-41

22. Liczby duże i małe w geografii źródło: http://www.google.pl/imgres?imgurl=http://www.tapeta-chmury-gory-zielona-laka-drzewa.na-pulpit.com/zdjecia

23. Najwyższa góra świata • Mont Everest 8848 m n.p.m. = 8,848 . 103 m n.p.m. http://pl.wikipedia.org/w/index.php?title=Plik:Everest_kalapatthar_crop.jpg&filetimestamp=20051106025838

24. Największy ocean • Ocean Spokojny 179 700 000 km2 = 1,797 . 108 km2 Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 20 http://i2.pinger.pl/pgr334/2440fb810013c1db4c4c0fdb/Fiji_(38).jpg

25. Największa wyspa • Grenlandia – powierzchnia około 2 175 600 km2 2,1756.106km2 Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 21 http://www.multita.com.pl/GRLAN/4/country/large/grenlandia.jpg

26. Największy półwysep • Półwysep Arabski – powierzchnia około 2 730 000 km2 2,73.106km2 Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 21 http://www.ps3info.pl/wp-content/uploads/2010/12/pustynia-szkic.jpg

27. Największa pustynia na Ziemi • Sahara - jest to największy pustynny obszar na kuli ziemskiej. Rozciąga się na przestrzeni 9 mln km² w Afryce Północnej. 9.106 km2 http://www.latofostera.pl/zdjecia_studenckie/sahara,634.jpg http://www.bryk.pl/teksty/liceum/geografia/geografia_fizyczna/8265- najwi%C4%99ksze_pustynie_na_ziemi.html

28. Najpotężniejszy wodospad • Livingstone’a (Inga) – wodospad na rzece Kongo. Średni roczny przepływ wody wynosi 41 400 m/s. 4,14.104 m/s Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 36 http://get-2.wpapi.wp.pl/a,61764482,f,a1c3638f4bbe669043bf088f25a5ddd6.jpg

29. Największa depresja • Morze Martwe 404 m p. p. m. = 4,04 . 102 m p. p. m. Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 25 http://cms.kariera.pl/image/article/584/large.jpg

30. Największy kontynent • Azja 44 400 000 km2 = 4,44 . 107 km2 Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 20 http://www.infoplease.com/images/mapasia.gif

31. Najgłębsze jezioro • Bajkał 1620 m = 1,62 . 103 m Świat w liczbach; Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne; Warszawa 1997; strona 37 http://www.top.turystyka.pl/res/zdj/Rosja/06-Bajkal/1-5-GoryNadmorskie/01-BolszeKoty.jpg

32. Skala mapy • Skala mapy – stosunek wielkości modelu Ziemi dla jakiego opracowano odwzorowanie kartograficzne danej mapy do rzeczywistej wielkości Ziemi. Najczęściej stosowaną skalą jest skala liczbowa, np. 1:100 000. 10-5 http://www.eko.org.pl/lkp/ostoje_html/mapa_ziemia_lubuska.gif http://pl.wikipedia.org/wiki/Skala_mapy

33. zadanie2.Ile razy powierzchnia oceanu spokojnego jest większa od powierzchni Grenlandii? • Odp.: Powierzchnia Oceanu Spokojnego jest około 8,26.101 razy większa niż powierzchnia Grenlandii.

34. Liczby duże i małe w botanice

35. Najmniejsza roślina w polsce • Wolfia bezkorzeniowa - gatunek rośliny z rodziny obrazkowatych, jeden z ok. 9 gatunków rodzaju wolffia. Jest to najmniejsza roślina okrytozalążkowa występująca w Polsce. Roślina osiąga zaledwie 0,6 mm długości i 0,33 mm szerokości. http://gatunki.cba.pl/Rosliny%20akwariowe/rosliny%20akw.%20W.html

36. Najmniejszy kwiat na świecie • Pilea microphylla ma kwiaty o średnicy zaledwie 0,35 mm. Jest to przedstawiciel pokrzywowatych. http://cyklamen.blox.pl/2009/02/Rekordy-swiata-roslin-26.hml

37. Najmniejsze nasiona kwiatowe na świecie • Orchidea – to roślina wykształcająca najmniejsze nasiona kwiatow. Jej malutkie nasionka osiągają 0,25-1,2 mm i szerokość 0,27 mm. Ponieważ są tak małe, każda torebka nasienna zawiera 1300-4000000 nasion. http://czywiesz.pl/natura/293727,Czy-wiesz--ktora-roslina-kwiatowa-wyksztalca-najmniejsze-nasiona-.html http://www.swiatkwiatow.pl/foto/storczyk-storczyki-orchidea-orchideceae_5062.jpg

38. Najmniejsza paproć • Najmniejsze paprocie mają długość 1,2 cm i reprezentują pochodzące z Ameryki Środkowej gatunki: Hecistopteris pumila i Azolla caroliniana. 1,2 cm = 1,2.10-5km http://www.fernsoftheworld.com/2011/11/04/hecistopteris-pumila/ http://www.lonicera.hg.pl/varia/var_rekordy.html

39. najstarsze zboże chlebowe • Pszenica - rodzaj zbóż z rodziny wiechlinowatych. Pochodzi z południowo-zachodniej i środkowej Azji. Oprócz jęczmienia jest najstarszym zbożem chlebowym uprawianym od co najmniej 6 tysięcy lat. 6.103 http://pl.wikipedia.org/wiki/Pszenica http://excluzive.pl/wp-content/uploads/2009/01/istock_cereal.jpg

40. Największa roślina zielna • Barszcz Mantegazziego – największa roślina zielna pochodząca z Kaukazu. Barszcz ten, zdziczały i spotykany także w Polsce, może przekroczyć 3,6 m wysokości, a liście mają ponad 0,9 m długości. 3,6m = 3,6.103mm 0,9m = 9.102mm http://cyklamen.blox.pl/2009/02/Rekordy-swiata-roslin-26.html

41. Najwyższa paproć • Cyathea novae caledoniae to najwyższa paproć. Jest przedstawicielem drzewiastego gatunku z Nowej Kaledonii. Osiąga 28 metrów wysokości. 28m = 2,8.104mm http://cyklamen.blox.pl/2009/02/Rekordy-swiata-roslin-26.html

42. Największe kwiaty świata • Rafflesia arnoldi - roślina ta rośnie dziko tylko na wyspie Sumatra w Indonezji. Kwiaty osiągają średnicę 1 metra i wagę do 9 kg. Każdy z pomarańczowo-brązowych płatków osiąga pół metra długości i ponad 2 centymetry grubości. 1m = 103mm 9kg = 9.103g 2cm =2.101mm http://cyklamen.blox.pl/2009/02/Rekordy-swiata-roslin-26.html

43. Najcięższy kwiat • Amorphophallus titanum – osiąga2 i pół metra wysokości i wagę 75 kilogramów. 2,5m = 2,5.103mm 75kg = 7,5.104g http://cyklamen.blox.pl/2009/02/Rekordy-swiata-roslin-26.html

44. Największy kwiatostan • Puya raimondii - południowoamerykański przedstawiciel bromeliowatych. Potężny kwiatostan tego gatunku wznosi się na wysokość około 9 metrów i kwitnie nieprzerwanie przez 50 do 100 lat. 9m = 9.103mm 50 lat = 5.101 lat 100 lat = 102 lat http://cyklamen.blox.pl/2009/02/Rekordy-swiata-roslin-26.html

45. Zadanie 2.Ile razy największa paproć jest większa od najmniejszej rośliny? • Odp.: Największa paproć jest 4,66 . 104 razy większa niż najmniejsza roślina na świecie.

46. Liczby duże i małe w zoologii źródło: http://www.google.pl/imgres?imgurl=http://zoologia.up.poznan.pl/files/u1/zoologia_0.jpg&img

47. Największe zwierzę świata • Płetwal błękitny - największe zwierzę w historii całej Ziemi. Nigdy wcześniej nie było większego organizmu żywego, niż te walenie. Osiąga on do 33 metrów długości i waży nawet 90 ton! 33 m = 3,3 .104mm 90 t = 9.107 g http://zwierzosfera.pl/najwieksze-zwierzeta-swiata-rekordy-zwierzat/ http://imageshack.us/f/142/humpback5kj.jpg/

48. Największa ryba świata • Rekin wielorybi – jego długość dochodzi do 20m. Pożywieniem tego rekina jest plankton. 20 m = 2.104mm http://kolo_lowieckie_zubr.republika.pl/zwierz_naj.html http://orbit.vect.org/img/gallery/10sharks/blue_shark.jpg

49. Największy ssak lądowy • Słoń afrykański - samiec osiąga wysokość do 4,2 metra, samica nieco mniejsza do 2,6 metra. Waży do 6 ton, samice ważą o połowę mniej. 4,2 m = 4,2.103 mm 2,6 m = 2,6.103 mm 6 t = 6.106 g http://zwierzosfera.pl/najwieksze-zwierzeta-swiata-rekordy-zwierzat/ http://www.szkolnaprzygoda.pl/strony/az/slon_afrykanski.gif

50. Największy ptak świata • Struś afrykański - trudno wyobrazić sobie ptaka, który waży ponad 150 kilogramów i ma 274 centymetry wysokości. Jego jajo waży prawie 2 kilogramy. 150 kg = 1,5 .105 g 274 cm = 2,74.103 mm 2 kg = 2.103 g http://zwierzosfera.pl/najwieksze-zwierzeta-swiata-rekordy-zwierzat/ http://g.pwn.pl/f/img/2n/d03i0026.jpg