1 / 21

Kombinatorika pre samoukov

Kombinatorika pre samoukov. Variácie Permutácie Kombinácie. Kombinatorika sa zaoberá otázkami, ktoré súvisia s určovaním počtu všetkých skupín zostavených podľa určitých pravidiel z prvkov danej konečnej množiny. Variácie. Definícia:

opal
Download Presentation

Kombinatorika pre samoukov

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Kombinatorika pre samoukov Variácie Permutácie Kombinácie

  2. Kombinatorika sa zaoberá otázkami, ktoré súvisia s určovaním počtu všetkých skupín zostavených podľa určitých pravidiel z prvkov danej konečnej množiny.

  3. Variácie Definícia: Nech k, nε N, 1<k<n. Variácia k-tej triedy z n prvkov je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov tak, že každý sa v nej nachádza najviac raz. Variácie k-tej triedy z n prvkov označujeme Vk(n). Vzorec:

  4. Riešený príklad č.1: Koľko trikolór možno zostaviť z týchto farieb: biela, červená, modrá, zelená? Riešenie:Ide o skupiny tvorené tromi zo štyroch prvkov, pričom záleží na poradí prvkov v skupine, t.j. ide o variácie tretej triedy zo štyroch prvkov. Takých skupín je V3(4)=4.3.2=24. Teda možno vytvoriť 24 rôznych trikolór.

  5. Riešený príklad č.2: Koľko rôznych výsledkov môže mať hokejový zápas, ak obidve mužstvá strelia najviac po 3 góly, pričom hostia dostanú aspoň 1 gól a remíza nastane iba v tom prípade, že obidve mužstvá strelia práve 3 góly. Riešenie:Počet všetkých možných výsledkov ,pri ktorých sa zápas nekončí remízou [V2(4)]. Z tohto počtu musíme vylúčiť zápasy [V1(3)], v ktorých hostia nedostanú ani 1 gól a pripočítame 1 výsledok, keď zápas skončí nerozhodne 3:3. Celkový počet výsledkov hokejového zápasu je 10.

  6. Variácie s opakovaním Definícia: Variácia k-tej triedy s opakovaním z n prvkov je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov. Každé miesto k-prvkovej skupiny možno obsadiť n spôsobmi a všetkých k miest možno obsadiť n.n. ... .n = nk. k-krát Vzorec:

  7. Riešený príklad č.3: Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísel možno napísať číslicami 1, 3, 5, 7, 8, ak sa v každom čísle môže každá číslica ľubovoľne opakovať? Riešenie:Ak sa môžu číslice opakovať, ide o variácie piatej triedy z piatych prvkov s opakovaním. V´5(5) = 55 = 3125 Z týchto číslic možno vytvoriť 3 125 päťciferných čísiel.

  8. Riešený príklad č.4: Koľko rôznych päťciferných prirodzených čísel možno napísať číslicami 4, 7? Ak sa môžu opakovať. Riešenie:Ak sa môžu číslice opakovať, ide o variácie piatej triedy z dvoch prvkov s opakovaním. V´5(2) = 25 = 32 Z týchto číslic možno vytvoriť 32 päťciferných čísiel.

  9. Permutácie Definícia: Permutácia z n prvkov je každá variácia n-tej triedy z týchto n prvkov. Počet všetkých permutácií z n prvkov označujeme P(n). (Sú špeciálne druhy Variácií, kedy n=k) Vzorec:

  10. Riešený príklad č.5: Koľko rôznych zostáv útoku môže zostaviť tréner futbalového družstva z hráčov s číslami 7, 8, 9, 10, 11 tak, aby hráči s párnymi číslami nehrali vedľa seba. Riešenie:Od počtu zostáv musíme odpočítať počet zostáv, ktorých hráči s párnymi číslami sú vedľa seba. Tieto zostavy dostaneme utvorením všetkých permutácií zo štyroch prvkov a to pre hráčov s číslami 8 a10. Z týchto hráčov možno vytvoriť 72 zostáv útoku.

  11. Riešený príklad č.6: Koľko rôznych zostáv útoku môže zostaviť tréner futbalového družstva z hráčov s číslami 7, 8, 9, 10, 11 tak, aby hráči s nepárnymi číslami nehrali vedľa seba. Riešenie:Každá takáto zostava má tvar x, 8, y, 8, z, kde x, y, z sú hráči s nepárnymi číslami. Preto počet týchto zostáv je: Z týchto hráčov možno vytvoriť 12 zostáv útoku.

  12. Permutácie s opakovaním Definícia: Permutácia z n prvkov je každá variácia n-tej triedy z týchto n prvkov. Počet všetkých permutácií z n prvkov označujeme P(n). (Sú špeciálne druhy Variácií, kedy n=k) Vzorec:

  13. Riešený príklad č.7: Koľko rôznych slov môžeme utvoriť zo slova Mississippi (aj takých, ktoré nenájdeme v žiadnom slovníku). Riešenie:Ak písmeno „i" napíšeme na jedno z jedenástich miest v slove, písmeno „p" môžeme napísať už len na jedno z desiatich miest, písmeno „s" na jedno z deviatich miest atď. Z Mississippi môžeme spolu utvoriť 34 650 slov.

  14. Riešený príklad č.8: Koľko vlakových súprav možno utvoriť, ak si môžeme vybrať z 3 jedálenských, 2 nefajčiarskych a 2 lôžkových vagónov? Riešenie:Pretože ak písmeno "a" napíšeme na jedno z piatich miest v slove, písmeno "k" môžeme napísať už len na jedno zo štyroch miest, písmeno "r" na jedno z troch miest atď. Možno utvoriť 1 260 vlakových súprav.

  15. Kombinácie Definícia: Kombinácia k-tej triedy z n prvkov je každá k-prvková podmnožina množiny určenej týmito n prvkami. Označuje ju Ck(n). Vzorec:

  16. Riešený príklad č.9: Na písomnej skúške z matematiky je 16 žiakov, z ktorých štyria sú na skúšku výborne pripravení. Polovica žiakov má vždy rovnaké zadanie úlohy. Koľkými spôsobmi môžeme rozdeliť žiakov, aby v obidvoch skupinách boli vždy dvaja výborne pripravení žiaci? Riešenie:Počet spôsobov, ktorými môžeme rozdeliť štyroch výborne pripravených žiakov do dvoch skupín po dvoch žiakoch v každej skupine je C2(4). Ku každej dvojici môžeme pripojiť 6 žiakov, to je C6(12). Žiakov môžeme rozdeliť 5 544 spôsobmi.

  17. Riešený príklad č.10: V triede je 21 chlapcov a 9 dievčat. Koľkými spôsobmi možno zvoliť trojčlenný výbor tak, aby v ňom boli 2 chlapci a 1 dievča? Riešenie:Počet spôsobov, ktorými môžeme rozdeliť žiakov do výboru po dvoch chlapcov, to je C2(21). Ku každej dvojici môžeme pripojiť jedno dievča, to je C1(9). Možno utvoriť 1 890 spôsobmi trojčlenný výbor.

  18. Kombinácie s opakovaním Definícia: Ak vyberáme k-prvkové skupiny, ktorej prvky sa môžu opakovať, ale na ich poradí nezáleží, hovoríme o kombináciách s opakovaním. Označujeme C´k(n). Vzorec:

  19. Riešený príklad č.11: Vo vrecku je máte10 guliek. Koľkými spôsobmi môžete z vrecka vytiahnuť tri guličky? Riešenie:Ak nezáleží na poradí a prvky sa môžu opakovať, tak ide o kombinácie 3 triedy z 10 prvkov s opakovaním. Tri guličky môžeme vytiahnuť 66 spôsobmi.

  20. Ak ste pochopili teóriu, tak môžete prejsť na cvičenia.

More Related