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Faltung, Korrelation, Filtern

Faltung, Korrelation, Filtern. Wie beschreibe ich lineare Systeme (z.B. Seismometer) -> Faltung, Konvolution , Dekonvolution ? Wie quantifiziere ich die Ähnlichkeit von Zeitreihen (-> Korrelation ) Wie quantifiziere ich zeitliche Versätze (z.B. Laufzeitunterschiede) -> Korrelation

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Faltung, Korrelation, Filtern

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Presentation Transcript

  1. Faltung, Korrelation, Filtern • Wie beschreibe ich lineare Systeme (z.B. Seismometer) -> Faltung, Konvolution, Dekonvolution? • Wie quantifiziere ich die Ähnlichkeit von Zeitreihen (-> Korrelation) • Wie quantifiziere ich zeitliche Versätze (z.B. Laufzeitunterschiede) -> Korrelation • Wie unterdrücke ich bestimmte Frequenzbereiche (-> Filtern) Shearer: Chapter 11, Instruments and Appendix E (Time seriesand Fourier transtorms) Kearey et al: Chapter 2.4, 2.5 Mussettand Khan: Chapter 3.2, 3.3

  2. Bearbeiten von Wellenformen – Lineare Systeme WiemüssenwirunseredigitalisiertenDatenbehandeln, um Information zuentnehmen? DieseFrageführtunsdirektzu den Konzepten der (De-) Konvolution (Faltung), (Auto-, Kreuz-)Korrelation und Filterung. Das zentraleKonzeptist die Ausgabeeines Systems auf eineneingegebenenImpuls. Die Impuls-Antwort Impuls-Antwort Impuls Filter, System Input Output Beispiele?

  3. Beispiel: Impuls-Antwort eines Seismometers x0 xr x ug Was sind die FolgenfürseismischeBeobachtungenmitSeismometern, die auf Basis einesFedersystemsfunktionieren?

  4. Beispiel: Instrumentkorrektur Vor Korrektur Nach Korrektur

  5. Diskrete Konvolution(Faltung) Konvolution(Faltung)ist die mathematischeBeschreibung der Änderung der Form einesEingabesignalsnachdemDurchlaufeneines Filters (Filtersystem) Esgibteineigenesmathematisches Symbol fürKonvolution: Hierist die Impuls-AntwortFunktion g gefaltetmitdemEingangssignal f. g wirdauch „GreenscheFunktion“ genannt.

  6. Faltung Beispiel(Matlab) Impuls-Response >> x x = 0 0 1 0 >> y y = 1 2 1 >> conv(x,y) ans = 0 0 1 2 1 0 System Input System Output

  7. Faltung Beispiel x „Faltung“ y y x*y 0 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 0 0 1 2 1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 2 1 2 1 0 1 0 0 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 2 1

  8. Konvolutionsmodell:Seismogramme

  9. Die seismische Impuls-Antwort

  10. Die gefilterte (gefaltete) Antwort

  11. 1D Konvolutionsmodell einer seismischen Spur Das Seismogrammeinesgeschichteten Mediums kannebensomiteinemKonvolutionsmodelberechnetwerden ... u(t) = s(t) * r(t) + n(t) u(t) Seismogramm s(t) Quellfunktion (Anregungsfunktion) n(t) Rauschen r(t) Reflektivität

  12. Dekonvolution Dekonvolutionist die Inversion der Konvolution. WannisteineDekonvolutionnützlich?

  13. Der Faltungssatz (Convolution theorem) FT -> Fourier Transform Eine Faltung in der Zeit entspricht einer Multiplikation im Frequenzbereich (und umgekehrt)! Zeitbereich Spektralraum Dieser Satz spielt für die Praxis der Zeitreihenanalyse eine wichtige Rolle! Beispiele an der Tafel.

  14. Korrelation KorrelationspielteinezentraleRollebei der Studie von Zeitreihen. Normalerweisegibt die Korrelationeinequantitative Abschätzung der ÄhnlichkeitzweierFunktionen und den zeitlichen/räumlichenVersatzzwischenihnen an. Die Korrelationzwischen den Vektoren g und f (beidemit n Elementen) istdefiniertdurch: m nennt man auchmax lag (Verzögerung)

  15. Beispiel (Matlab) >> x=[1 3 2] x = 1 3 2 >> y=[1 2 1] y = 1 2 1 >> xcorr(x,y) ans = 1.0000 5.0000 9.0000 7.0000 2.0000 >>

  16. Auto-Korrelation Auto-Korrelation Für einen Vektor der Länge n hat die Korrelation die Länge 2n-1. Bei der Autokorrelation ist das Maximum bei n (perfekte Übereinstimmung)

  17. Kreuz-Korrelation Cross-Korrelation Lag (in diesem Fall 200) zwischen zwei Funktionen

  18. Kreuz-KorrelationZufallsfunktionen Korrelation zwei verschiedener Zufallszeitreihen

  19. Auto-KorrelationZufallsfunktion Korrelation zwei gleicher Zufallszeitreihen -> „Deltafunktion“

  20. Auto-KorrelationSeismisches Signal

  21. Korrelationslänge„Zufallsmedium“

  22. Korrelationslänge„Zufallsmedium“

  23. Der Korrelationskoeffizient Der Korrelationskoeffizient Kor(X,Y) ist eine Zahl zwischen -1 und 1, welche die Ähnlichkeit zweier Funktionen X und Y beschreibt. Es gilt zum Beispiel: Für beliebiges X Kor (X,X) = 1 Kor(X,-X) = -1 (Anti-korrelation) Kor(X,Y) << 1 wenn X,Y unabhängige Zufallsfunktionen sind Korr(X,Y) = 1 wenn X und Y identisch Ein Kor nahe 1 KANN einen kausalen Zusammenhang zwischen Phänomenen bedeuten (z.B. Regen -> Grundwasserspiegel; Regen -> Erdbeben; Sonnenflecken -> Klima)

  24. Ähnlichkeit Rotationsrate und transversale Beschleunigung Ringlaser Rotation – Seismogramm Beschleunigung Ring laser in Wettzell

  25. Kreuz-Korrelationein Beispiel – “Ähnlichkeit” Der Korrelationskoeffizient ist in einem Zeitfenster entlang der Zeitreithe (ca 2T dominant) berechnet Rotation Translation Corr. coeff.

  26. Correlation: Solar forcing of climate?

  27. Seismizität2002 ... Die Regenfälle, die im August zum Hochwasser führten, hatten ihren Höhepunkt am Tag 218 ...

  28. Externer Einfluss auf Erdbeben?

  29. Die Power der Korrelationsanalyse: Helioseismologie Sonnenflecken Helligkeit Helligkeitszeitreihen

  30. 2-D + Zeit Helligkeitsdaten

  31. Sonnenseismogramme aus Rausch-Korrelationen

  32. Principle of noise correlations

  33. Tomografie mit Kreuzkorrelation

  34. Green‘s Funktionen aus 1 Jahr „Rauschen“: Vergleich mit Erdbeben (Shapiro et al., Science, 2005)

  35. Tomografie von Kalifornien7.5 s Rayleigh Wellen Yeah! All das mit Kreuzkorrelationen! … und ohne Erdbeben …

  36. Digitales Filtern Oftmalsbeinhalteteinaufgezeichnetes Signal eineFülle von Informationen, an denenwirnichtinteressiertsind (Rauschen, Störsignale). Um uns des RauschenszuentledigenfügenwireinenFilter imFrequenzraumhinzu. Die wichtigsten Filter sind: • Hochpass:schneidetniedrigeFrequenzenab • Tiefpass:schneidethoheFrequenzenab • Bandpass:schneidethohe und tiefeFrequenzenheraus, und hinterlässtein Band von mittlerenFrequenzen • Bandfilter:schneidetbestimmteFrequenzenheraus und hinterlässtalleanderenFrequenzen

  37. Typischer Tiefpassfilter (Butterworth) Die Krümmung der Filterfunktion (-> Ordnung des Butterworth Filters) an der Eckfrequenz beeinflusst den Effekt auf die Zeitreihe maßgeblich!

  38. Typischer Hochpassfilter (Butterworth)

  39. Beispiel: kausaler Filter (Tiefpass 20Hz) Warum kausal? Z.B. seismische Laufzeiten („Ersteinsätze“) bleiben erhalten.

  40. Digitales Filtern – Originales Seismogramm

  41. Tiefpass Filterung

  42. Tiefpass Filterung

  43. Hochpass Filter

  44. Bandpass (Butterworth)

  45. Bandpass Filter

  46. Bandpass Filter Eckfrequenz wird kleiner, Anteil hoher Frequenzen nimmt ab

  47. Zusammenfasung Spektralanalyseist die Basis der Dateninterpretation in der Seismologie Die Konzeptesind: (De-) Konvolution –> um die Response eines Systems auf einenbestimmteEingabezuerhalten (oderumgekehrt) Korrelation -> um SignalenachihrerÄhnlichkeitzuvergleichen und ihreVerschiebungenfestzustellen. (Phasen Delays) Fourier Transformation – Spektren - Filterung-> um bestimmteFrequenzenherauszuschneiden, und die interessantenSignalehervorzuheben, Rauschenzuunterdrücken.

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