Algebra Struktury s jednou operací

1. AlgebraStruktury s jednou operací

2. Proč zavádíme algebru • hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména pak matematiky) a pro popis operací s těmito objekty • chceme tento nástroj budovat postupně od nejjednodušších objektů (univerzálních) po úzce specializované objekty

3. Základní pojmy • Každý objekt je reprezentován • datovým nosičem – množina popisující data, se kterými pracujeme • operacemi– nejjednoduššími transformacemi, které nad daty můžeme provádět • Binární operace na množině je zobrazení A  A  A, obvykle použijeme infixový tvar pro zápis operace a  b

4. Grupoid • Nejuniverzálnějším objektem je grupoid(A, ), což je datový nosič A s jednou operací  • Jedinou vlastností je fakt, že užitím operace na libovolné dva prvky z A dostaneme opět prvek z A. Tedy množina A je vzhledem k operaci  uzavřená. • Zavádíme pojem komutativní grupoida,b  A: a  b = b  a

5. Pologrupa • Pro asociativní operaci platí a,b,c A: (a  b)  c = a  (b  c) • Pologrupa (A, ) je grupoid s asociativní operací • POZOR! Vlastnosti grupoidu zůstávají • Opět můžeme hovořit o komutativní pologrupě, pokud je operace navíc komutativní • Opakovanou aplikací operace na tentýž prvek získáme mocninu • v monoidu (A, ) označíme an = aa ... a (n-krát) pro lib. nN

6. Neutrální prvek • Levý neutrální prvek je takové e  A, které splní a  A: e  a = a • Analogicky pravý neutrální prvek je takové e  A, kde a  A: a  e = a • Levých neutrálních prvků může být více, pokud nejsou žádné pravé (a naopak). • Obsahuje-li pologrupa levý a pravý neutrální prvek, pak se musí jednat o tentýž prvek, který se nazývá neutrální prvek • důkaz: el = el  ep = ep

7. Monoid • Monoid (A, ) je pologrupa s neutrálním prvkem • Monoid je tedy množina s operací, kde platí uzavřenost, asociativní zákon a existuje neutrální prvek (oboustranný). • V případě komutativní operace hovoříme o komutativním monoidu.

8. Inverzní prvek • Mějme monoid (A, ) s neutrálním prvkem e • Pak b  A je levý (resp. pravý) inverzní prvek k a  A, pokud platíb  a = e (resp. a  b = e) • Inverzní prvek je pak takový prvek, který splní a  b = b  a = e • Inverzní prvek k prvku a značíme a-1

9. Grupa • Je dán monoid (A, ), kde je a  A, e neutrální prvek, l levý inverzní prvek k a a p pravý inverzní prvek k a. Pak platí:p = e  p = (l  a)  p = l  (a  p) = l  e = l • Z uvedeného plyne, že l = p • V monoidu tedy neexistuje nic jako levý a pravý inverzní prvek! • Grupa (A, ) je monoid, kde ke každému prvku existuje prvek inverzní • Opět hovoříme také o komutativní grupě

10. Řád prvku a řád grupy • Řád prvku a grupy (G, ) je nejmenší přirozené číslo n takové, že an = e. • Pokud takové n neexistuje, pak a má řád 0. • Řádem grupy se nazývá mohutnost, tj. počet prvků její nosné množiny.

11. Zbytkové třídy • Pro dané číslo n  N definujeme na množině Z relaci ρ takto:a ρ b  a ≡ b (mod n)  n | a-b • Tedy v relaci jsou spolu právě taková čísla a a b, která dávají po dělení n stejný zbytek • Relace ρ je relací ekvivalence na množině Z. • Této relaci přísluší rozklad Z/ρ • značí se Zn • jednotlivé prvky (třídy) rozkladu se nazývají zbytkové třídy a značí se [a]n • tedy [a]n = {a + kn | k  Z}

12. Operace se zbytkovými třídami • Na množině zbytkových tříd modulo n lze definovat operace + a * takto: • [a]n + [b]n = [a+b]n • [a]n [b]n = [ab]n • Operace jsou korektně definovány pomocí reprezentantů • Modulární aritmetika; aplikace v kryptografii • Množina zbytkových tříd je uzavřená vzhledem k operacím sčítání a násobení

13. Grupy zbytkových tříd • Algebraická struktura (Zn,+) je komutativní grupa pro libovolné n • operace je uzavřená, komutativní a asociativní • existuje neutrální prvek e = [0]n • ke každému prvku [a]n existuje inverzní prvek [-a]n • Algebraická struktura (Zn, ) je komutativní monoid pro libovolné n • operace je uzavřená, komutativní a asociativní • existuje neutrální prvek e = [1]n • inverzní prvky obecně existovat nemusí

14. Invertibilní prvky • Prvky, k nimž existuje inverze • Třída [a]n má inverzi  NSD(a,n)=1 • plyne z Bezoutovy rovnosti • Vypustíme-li všechny třídy soudělné s modulem (včetně nulové), získáme grupu zbytkových tříd – značíme (Zn*,)

15. Tradiční matematické příklady • (N, +)komutativní pologrupa • (N0, +)komutativní monoid • (N, )komutativní monoid • (Z, +)komutativní grupa • (Z, )komutativní monoid • (Q, +)komutativní grupa • (Q, )komutativní monoid • (Q-{0}, ) komutativní grupa • (Zn, +)komutativní grupa • (Zn, )komutativní monoid • (Zn*, )komutativní grupa

16. Vlastnosti struktur • V pologrupách nezáleží na uzávorkování • V komutativní grupoidech nezáleží na pořadí • V pologrupách definujeme mocninu an jako aplikaci operace na n činitelů a • Mocnina se zápornými n se definuje jako inverze na mocninu • V monoidu existuje také a0 = e • V grupě je inverzí k prvku a  b prvek b-1 a-1 • Lze dokázat (v monoidu) platnost am an = am+n, (am)n = amn

17. Na konečné množině A = {@, #, $,%} je možno zadat operaci * tabulkou. Rozhodněte, zda je operace * komutativní a asociativní Existuje v grupoidu (A,*) neutrální prvek? Pokud ano, existuje ke každému prvku inverzní prvek? Ukažte, že ({a,b}+, ·) je pologrupa, ale není monoid. Určete řád prvku 5 v grupě (Z7, +) Určete řád prvku 3 v grupě (Z5*, ·) Určete vlastnosti struktur ({0,1},+) a ({0,1},·) Příklady

18. Podstruktury • Nechť (A,*) je grupoid / pologrupa / monoid / grupa a nechť BA. Jestliže je i (B,*) grupoid / pologrupa / monoid / grupa, nazýváme jej / ji podgrupoid / podpologrupa / podmonoid / podgrupa. • Například (S0, +) je podmonoidem monoidu (N0, +), kde S značí množinu všech sudých přirozených čísel.

19. Podgrupy • (H, ) je podgrupou grupy (G, ) právě tehdy, když: • H  G • e  H • a  H  a-1  H • a,b  H  a  b  H • Pomocí množiny M  G můžeme generovat podgrupu (M, ) grupy (G, ) – hovoříme o podgrupě generované množinouM • Grupa generovaná jednoprvkovou množinou se nazývá cyklická