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XDU 使用现代化软件创造性地学好线性代数 给西电大一学生的讲座
西电牵头的教育部项目 • 往年我的讲座题目是“科学计算能力和MATLAB”,今年不同是由于一个新的情况。经过我们多年的努力，西电在线性代数课程的改革成就得到了教育部的认可。今年1月，教育部启动了“使用信息技术工具改造课程”的教改项目，西电申报的“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数课程”被核准为18个子项之首。这个项目要求我校联合15个以上的大学，把现代化计算工具MATLAB用于线性代数课程，大大提高学生的科学计算能力，提高课程的教学水平，并使它真正成为教学计划各后续课的基础，提高学生全程培养的质量。
一。计算机应如何推动教育 1。CAD/CAM(计算机辅助设计和制造)成十倍地提高了产品生产和更新的速度； 2。计算机网络和通信的应用大大加快了经济全球化的速度； 3。计算机在各个技术领域的应用使人类认识自然规律的深度、广度和速度都达到一个新的水平。 问：计算机在教育中的作用有多大？如何才能充分提高教育的效率。
科学计算工具的发展 • 算盘是最早的计算工具 • 1630年发明了计算尺，它以后成为大学理工科学生的必备工具； • 1970年发明了计算器，在中国则从1980年起，大学中计算尺迅速被计算器所取代； • 计算机取代计算器的过程从1990年开始，到2000年。在发达国家大学中已经基本完成，中国尚需努力。
工具改进促进教学科研 • 计算工具的改进可以全面促进各门课程的教学和科研； • 计算器取代计算尺主要提高了精度，没有根本性的变革； • 计算机取代计算器更具有革命性的影响。与计算器取代计算尺的过程有三点不同： • (1). 效率大幅提高，达数十倍或更高； • (2). 它反过来影响理论研究和建模方法； • (3). 需要有一定的培训教育，才能掌握。
计算机和计算器的根本差距 • 计算器是一个一个数据进行计算，最多只能存储十来个数据，计算机则可以进行数据群的计算，把成千上万的数据放在一起进行分析。 • 计算器只能执行简单的少量的运算次数，而计算机可以把很复杂的运算集成起来。做成各种子程序，方便地调用。 • 计算机可以显示复杂的图形、声音、动画，发挥多媒体的功能。 • 计算机可以存储程序和成果，促进知识的积累。
计算机替代计算器的条件 • 1。价格能够普及到大学生；——个人计算机的发展和降价。 • 2。操作界面要像计算器那样方便；——科学计算语言的出现，如(MATLAB,Maple, Mathmetica等）。 • 3。功能确实成十倍、百倍地提高；——大量工具箱（子程序集）的出现。 • 4。不仅是数值计算，而且可以进行符号运算——即公式推导。
有士兵的能力，有将军的头脑 大学生怎么学各门课程？ 1。弄清概念，掌握方法； 2。知道步骤，会用手工解最简单的问题。 以上是士兵该学作的，后面才是将军的任务 3。能将步骤变成一般问题的子程序； 4。能调用多种多样子程序完成复杂的任务。 过去的教学计划只教前两步，同学也只学这两步，这是不利于培养高层次人才的，到21世纪，要教后两步。我的讲座就是要激励大家来学习后两步。
理想的大学课程教学效果 • 教师讲清了基本概念，学生知道如何解决问题，然后把解题的方法变成一个个简单的程序。 • 今后其他课程遇到类似的问题，不必重新编程，而可以直接调用此程序。 • 解决综合性复杂问题时，能够分解为几个子问题，分别调用相关的各种子程序来解决。这就是做将军的工作。
需要同学们的自觉性 教育部提出，我们学校的计划都有‘计算机不断线’的要求，同学们买了计算机只玩游戏和上网也算‘不断线’吗？不是这样，至少是很低级，不断线的核心应该是在大多数课程中使用计算机解决课程的问题。这个问题光靠教师不行，也要靠同学的主动性。 你们进入了这个时代，但你们的许多师兄和老师没有这个福气，你们有这个条件而不利用，太可惜了！要珍惜！
二。计算机比计算器强多少？ 我们用几个实例来说明： • 1。线性代数方程的解 • 2。函数表的生成 • 3。函数关系和曲线绘制 • 4。高阶代数方程的解 • 5。公式推导 • 6。有记忆和积累的能力。
例题1 线性代数方程 x1 + 2 x2 + 3 x3 -4x4= 2 3 x1- 5 x2 + 4 x3 +2x4= 0 7 x1 + 8 x2 + 9 x3 -5x4 = 2 5 x1 - 2x2 -3 x3 +6x4 = 3 新办法 ：矩阵＋MATLAB
用计算机来解例1 A=[1,2,3,-4;3,-5,4,2;7,8,9,-5;5,-2,-3,6]; B=[2;0;2;3]; X=inv(A)*B 程序运行结果为： • X = 1.2096 • -0.4688 • -0.9288 • -1.1287 即x1= 1.2096, x2= -0.4688, x3= -0.9288,x4= -1.1287
例1的应用推广 1。理论力学静力学都可归结为线性代数方程,一个空间物体平衡有6个方程，两个物体就加倍，工程结构该有多少阶？ 2。电路理论中的稳态电路也可归结为线性代数方程组。每个环路或节点就是一个方程，其中电阻电路为实数代数方程组，交流电路为复数代数方程组。 3。线性微分方程解也归结为代数方程的解。
手工必须让位于计算机 如果代数方程的阶次更高，比如10阶，系数又是复数，你用手工怎么算？ 计算方法研究的结果知道，代数方程求解的需要的乘法次数为n3/3，所以十阶方程要做300次乘法和相近次数的加法，复数乘法则相当于4次实数乘法。这1000多次的乘法中不能有一次错误，这是无法做到的。 所以讲矩阵、讲计算复杂性，而不讲计算机算法实现，是违背工程教学的目标的。
例2 三角函数表的计算 由于元素群运算功能，此程序只要两条语句 x=[0:0.05:pi/4]'; [x,sin(x),cos(x),tan(x)] 运行结果为： x sin(x) cos(x) tan(x) 0 0 1.0000 0 0.0500 0.0500 0.9988 0.0500 0.1000 0.0998 0.9950 0.1003 … … … …
例3 函数群运算功能的推广 任何函数 y=f(x),假如给出100个x,即求出100个y.为列表和绘图都准备了条件。 例如 程序为 dt=0.01;t=[0:dt:1.5]; % 设定自变量数组t w= 4*sqrt(3); % 固定频率 y=sqrt(3)/2*exp(-4*t).*sin(w*t + pi/3); 这151个t与y数据可为绘图语句plot(t,y)作准备。
例4 高阶多项式的求根 高阶代数多项式求根的问题已存在几百年，手工解很烦，用计算机解极简单： a=[1,2,3,4,5];X=roots(a) 运行结果为： X = 0.2878 + 1.4161i 0.2878 - 1.4161i -1.2878 + 0.8579i -1.2878 - 0.8579i
多项式的求根的推广 >> X=roots([1,0,0,0,0,1])，运行结果为： X = -1.0000 -0.3090 + 0.9511i -0.3090 - 0.9511i 0.8090 + 0.5878i 0.8090 - 0.5878i 由根反求多项式检验 >> a=poly(X) a = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000
用图形检验 plot(X,’x’) 或 polar(angle(X),abs(X),’x’)
吴文俊院士论“数学机械化” 我国“数学机械化”的带头人，获得首届国家最高科学技术奖的数学家吴文俊院士对“数学机械化”的重要意义作了如下的阐述： “…今天，电子计算机已可以有条件地代替一部分特定的脑力劳动，因而人类面临另一场更宏伟的技术革命。处在又一个新时代的前夕。” 数学脑力劳动包括三方面的内容：‘数值计算’、‘公式推导‘与‘定理证明’。
“数学机械化”的当前水平 • ’数值计算‘的特点是‘易、繁、刻板和枯燥’，适合计算机实现，因此，它的机械化已经相当非常成熟； • ’定理证明‘的特点是‘难、简、灵活和美妙’。机械化的难度较大，是当前数学家们研究的热门，吴文俊院士获奖的一个主要成就也正在这个领域。 • ’公式推导‘则介乎其中，也已达到可以广泛应用的程度。
充分利用”数学机械化“的成果 • 吴文俊院士语重心长地提出：“我国在体力劳动的机械化革命中曾经掉队，以至造成现在的落后状态。在当前新的一场脑力劳动的机械化革命中，我们不能重蹈覆辙。” • 我们提出的“用计算机代替计算器” ， “提高科学计算能力”就是为了在脑力劳动的机械化革命中不要落伍。其范围主要是‘数值计算’，少量的‘公式推导‘，因为MATLAB已把部分公式推导功能集成在其软件中。
提高科学计算能力的方法 • 1。学习MATrix LAB入门； • 2。结合各门课程，应用MATLAB去解决问题； • 3。通过矩阵建模，建立数据群的方程，发挥计算机处理海量数据的优势； • 4。利用图形功能说明问题； • 5。先用MATLAB数值解，后符号推理；
MATLAB入门光盘 它包含以下内容: (看演示) 1.《MATLAB入门》（完全版），它是一套录像，由四段组成，每段播放50分钟。2.《MATLAB入门》（精简版），它由完全版录像摘录成为两段，每段播放50分钟。3. 2005年线性代数教师培训研讨会资料。其中包括给教师讲的8节课的ppt课件，培训班的小结和参加培训教师的心得汇集。4. 2008年“用MATLAB提高线性代数教学水平的研究”鉴定会资料。5．陈怀琛教授所写的六本教材中的全部MATLAB程序集，文件名为chenprog6. 《线性代数机算和应用指导》中的全部程序集。
配套的教学资料（1） 《线性代数实践及MATLAB入门》 “语言篇”,电子工业出版社,2005.10初版，2009.1第二版 第一篇：MATLAB入门 第二篇：线性代数实践 第5章 预备知识 第6章 用行阶梯法解线性方程 第7章 用矩阵运算解线性方程 第8章 向量空间法解线性方程 第9章 线性变换及其特征 第10章 后续课中的矩阵建模
第二部分 线性代数的改革 改革的缘由和目标
线性代数课程改革的缘由 • 现在的线性代数教学大纲存在着重大的缺陷，主要是没有把“需求牵引”和“技术推动”作为动力： • “需求牵引”方面——不能满足工科后续课的需求，按所教的方法后续课无法用来解高阶、复数的矩阵题目；因此它们普遍不用线性代数解题。 • “技术推动”方面——解线性代数方程需要的乘法次数为n3/3，这样繁琐的运算，还在靠手工算题，那就注定了无法解n>3的问题，严重落后于后续课教育现代化的要求。
要使方程配平， 必须满足： 将所有项移到左端，并写成矩阵相乘的形式，就有：
对矩阵A进行行阶梯变换，键入程序ea471： A[3,0,1,0;8,0,0,2;0,2,2,1] U0rref(A) 得到 注意四个列对应于四个变量的系数，有
此处可取 ，则 均有整数解， 。因而配平后的 化学方程为： 对于比较复杂的反应过程，为了便于得到 最小整数的解，在解化学配平的线性方程组时， 应该在MATLAB中先规定取有理分式格式。即先 键入format rat，然后键入ea471，结果为：
把最简行阶梯形矩阵恢复为方程，就很容易看出应令 ，其余变量的整数取值就一目了然了。 这里举的化学反应式左右都只有两种物质，如果是三种物质，方程的阶次就到了6阶。手工怎么解？
一些典型的应用(2) • 静力学中的核心是平衡方程，一个空间物体有6个平衡方程，就是n=6的线性方程组,两个刚体相联，方程数n就加倍； • 电路课中稳态电路核心是基尔霍夫方程，n个节点（或回路）就有n个方程，交流电路更是复数方程，构成n元复数方程组。 • 线性代数教的手工解法解决不了，只好不用，还是用中学的代入法，这就是现状。后续课中要算的n都大于3，现代的科学计算问题n达到几百、几千，不教计算机结果是统统不用矩阵，简单的用中学的方法，复杂的只好不算。
不用“技术推动” • 从“需求牵引”的角度，我们知道，即使是大学后续课程，需要的是高阶、复数、超定的线性方程组。用中学的代入法、消去法是不行的，所以要引进线性代数，其实，它比中学方法更繁，因为它不找窍门，而是死算，但死算有一个好处，因为程序简单了，所以线性代数的好处只有与计算机结合才能显示。 • 线性代数不用计算机解题，不联系应用，不符合课程现代化的要求，落后于美国十多年；
一个比方 • 中学代数中的“代入法”、“消去法”相当于手推独轮车，解决个体户自留地中的运输问题。 • 大学学线性代数是“载重汽车”，解决大生产中大规模、长距离的运输问题。 • 载重汽车很复杂，要讲它的原理和设计方法很费时间，但许多人忘掉了最关键一点，要使载重汽车发挥作用，必须要用发动机，要加油（MATLAB)，其次必须要学会开车（机算）、认路（建模）。如果仍然用手工，那么载重汽车还不如手推车，谁也不会用的。 • 现在的问题就在这里，我们在造“手工载重车”方面下的功夫很大，但在汽油发动机、开车、认路方面一点不教，所以在后续课的广阔天地中没人用载重汽车。要把大多数用汽车的与少数造汽车的区分开来，教会他们开车、认路、解决现代化大生产的需要，这是我们改革的目标。
矩阵在科学计算中的重大意义 • 矩阵是组织海量数据进行运算的最好的数学方法,如果矩阵运算仍然用单个元素运算来完成，那末人们宁愿用代入法或消去法等中学方法。至少它可以省掉一些运算量。 • 要使矩阵运算带来实际的好处，必须要有能进行海量数据运算、处理、绘图的工具，笔算无法显示矩阵优势，只有靠计算机。 • 如果计算机每次只对两个数进行运算，那它的效率和计算器差不多。计算机的优势只有在数据批处理中才能显示。 • 会矩阵不会计算机，是瘸子；会计算机不会矩阵，也是瘸子，要把两者的优势结合起来，才算真正进入了科学计算的殿堂。线性代数能完成这一点，对大学生，对现代化，将是功德无量！
我国教材的三个弱点 1.不注意从几何图形引入线性代数的概念，不用图说明问题。 2.不使用现代化计算工具，使得解题的范围无法扩大。 3.不联系应用实际，不了解科学和工业现代化对线性代数的需求。不能激发学生学习的热情。 国内的线性代数改革，多侧重于课程内部概念的讲法，但缺少两点：一是不注意与应用、与后续课等外部的关系的改革，二是不注意引进新技术，没有用现代化的计算和教学工具。这正是我们常讲的引领科技发展的两个动力：“需求牵引”和“技术推动”。少了这两点，创新的新思想、新课题就没法诞生。
机算和手算解题范围的对比 • 可以用下图表示数学软件对线性代数的作用。白色部分为手工能解的区，黑色区是手工不能解的区域，灰色区是计算太繁的区域，用了数学软件后全部都能解。不难看出，数学软件可以使线性代数较好地满足后续课和未来工程计算的需要。
大纲改革后的解题指标 1.解6元以上的实数线性代数方程组（力学）； 2.解3元以上的复数线性代数方程组（电路）； 3.会进行3阶以上的信号流图传递函数计算，即学会做文字变量的求逆运算；（信号与系统） 4.进行6阶3元以上超定方程组的求解； • 这是指教材中控制的例题和习题的深度，我们觉得，线性代数达到这个水平，与后续课就可以实现无缝衔接了。 • 实际上，只要学会使用计算机编程以后，阶数是没有上限的。
补丁书《线性代数实践…》 • 补充的内容为： • 1.后续课和工程中的应用实例； • 2.线性代数中所有概念的几何形象,甚至动画； • 3.解各种线性代数问题的MATLAB程序； • 4.适合计算机算的习题。另外就是MATLAB语言入门。它的宗旨是实现下面三句口号： • 线性代数抽象吗？看了本书后，你会知道它的概念都基于空间形象。 • 线性代数冗繁吗？学了本书后，你会懂得它的计算全藉助简明程序。 • 线性代数枯燥吗？读了本书后，你会发现它的应用极其广泛又精彩。
美国的做法 • 1990年开始，先组成了线性代数课程研究组(Linear Algebra Curriculum Study Group-LACSG)。8月，他们和工程界的代表，共同提出了几条建议，简称为LACSG Recommendations：要点是：(i)，线性代数课程要面向应用，满足广大的非数学专业学生的需要；(ii)，它应该是面向矩阵的; (iii)，它应该是根据学生的水平和需要来组织的；(iv)，它应该利用最新的计算技术;(v)，对数学专业要另设课程提高其抽象性。 • 1992年NSF又资助了一个ATLAST计划，ATLAST是 Augment the Teaching of Linear Algebra using Software Tools (用软件工具增强线性代数教学)的缩写。该计划在1992 到 1997 六个暑期组织了许多学习班。使大批教师接受了科学计算语言的培训。从而在全国推动了线性代数与计算机的结合。
我校的改革过程（2005~2008） • 2005年5月～8月写出了《线性代数实践与MATLAB入门》， • 2005年9月在学校的支持下办了40余人的线性代数教师培训班，以稿为教材，讲8节课。并举行座谈，听取反馈意见。 • 2006年3月~2007年底，边试点，边编教材，2007.7出版新型教材《工程线性代数(MATLAB版)》。 • 2008 年5月项目通过教指委的鉴定，得到很高评价。
教指委鉴定小组的评价 • 本项目从工程技术应用的视角，审视了线性代数课程教学内容和教学方法，将工程背景、应用实例和现代科学计算软件融入了线性代数教学，符合国内外教学改革的方向和国际潮流，有助于实现“提高教育现代化水平”的目标，在国内线性代数课程教学中属于首创。 • 课题组编写的《线性代数实践及MATLAB入门》及《工程线性代数（MATLAB版）》两本教材，较好的体现了经典理论与现代计算手段相结合，将抽象概念形象化，使一些复杂的计算问题得以实现，激发了学生学习的兴趣，培养了解决问题的能力，提高了教学质量。为后续相关课程中应用线性代数知识打下了很好的基础。 • 本课题组的改革思想和取得的改革经验具有示范意义，… • …一致认为：该项目改革理念先进，特色鲜明，具有创新性，是一项高水平的教学改革成果，具有很好的推广价值。
配套的教学资料（4） • 《工程线性代数(MATLAB)版》 1。线性方程组与矩阵 2。矩阵运算及其应用 3。行列式 4。平面和空间中的向量 5。向量组的线性相关性 6。线性变换及特征值 7。在后续课中的应用举例
