1 / 57

Econometria

Econometria. Heterocedasticidade Consequências da violação Testes para detectar heterocedasticidade O que fazer ? Erro padrão robusto e MQG. Econometria. Heterocedasticidade. Heterocedasticidade.

parry
Download Presentation

Econometria

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Econometria Heterocedasticidade Consequênciasdaviolação Testes paradetectarheterocedasticidade O quefazer? Erropadrãorobusto e MQG Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  2. Econometria Heterocedasticidade Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  3. Heterocedasticidade • Hipótese do modelo linear: erros são esféricos, ou seja, possuem variância uniforme e não estão correlacionados entre si. • Matriz variância-covariância (N colunas e N linhas): termos diagonais são iguais e fora da diagonal são nulos – homocedasticidadee inexistência de auto-correlação.

  4. Violação das hipóteses • Quando há heterocedasticidade, o termo de erro é concebido como sendo retirado de uma distribuição diferente para cada observação. • Se todos os termos fora da diagonal são zero, os erros são não correlacionados, ou seja, em amostras repetidas, não existe a tendência de que o erro associado a uma observação esteja relacionado ao erro associado a qualquer outra observação. Quando isto não acontece, há auto-correlação entre os erros.

  5. Exemplo: f(y|x) y . . E(y|x) = b0 + b1x . x1 x2 x3 x

  6. Mostrar a matriz de variância-covariância no quadro. • Neste caso, o modelo de regressão linear é conhecido como Modelo de Regressão Linear Generalizado. (RLG)

  7. Econometria 2. Consequências Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  8. Consequências • Exemplo: consumo é uma função do nível de renda. • Em níveis mais altos de renda, os consumidores podem ter comportamentos mais diferenciados da média. • Erros associados a medição do consumo também podem ser maiores para níveis de renda mais altos. • FAZER GRÁFICO • Valores absolutos mais altos dos resíduos à direita indicam um relacionamento positivo entre a variância do erro e a variável dependente. • EMQO não é viesado porque os erros positivos grandes são compensados por erros negativos grandes – na amostragem repetida, os casos incomuns se cancelariam. • Contudo, a variação da linha de regressão em torno da média será maior.

  9. Consequências • Estimadores de MQO ainda não são viesados. • Inferência: • O estimador da variância do EMQ é viesado e não consistente. Estimativa de intervalo e o teste de hipótese estarão errados. • Usualmente, o viès da variância é para baixo. • Formas de correção: estimação robusta da variância (estimadores da matriz variância-covariância “consistentes com a heterocedasticidade” – elimina o viés assintótico). • Atenção: o viés permanece para amostras pequenas!

  10. Consequências • Eficiência: • Apesar do EMQ ser não viesado, não é mais o estimador com variância mínima dentre todos estimadores lineares não viesados. • O EMQG é o melhor estimador linear não viesado (BLUE). Este estimador é mais eficiente. • Reconhece explicitamente que os erros não são esféricos. • MQG: minimização de uma soma ponderada dos resíduos ao quadrado (erros com variâncias elevadas recebem peso menor e vice-versa).

  11. Consequências • Máxima verossimilhança: • O EMQ não é o EMV no modelo de RLG com hipótese de normalidade dos termos de erro. • O EMQG é que é o EMV neste contexto. • No contexto de RLG, o EMQG deve ser usado, contudo, o problema é a matriz de variância-covariância ser conhecida. • Alternativa: EMQGF – estimador de minimos quadrados generalizados factível.

  12. Consequências • Como estimar a matriz variância-covariância usando os dados? • N2 elementos, sendo que N(N+1)/2 elementos diferentes. • Existem apenas N observações: impossível estimar esta matriz na forma geral. • Usualmente, devemos supor uma forma específica para esta matriz.

  13. Econometria 3. Testes paradetectarheterocedasticidade Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  14. Testes gráficos • Quadrado dos resíduos /Resíduos são plotados junto com variáveis independentes. • Identificar se há uma relação funcional entre a variável independente e os resíduos.

  15. Testes gráficos

  16. Testes gráficos

  17. Testes que usam os resíduos • EMQO é consistente mesmo na presença de heterocedasticidade. • Os resíduos gerados do MQO se aproximam, de forma imperfeita, da heterocedasticidade presente na distribuição verdadeira dos termos de erro. • Testes de diagnóstico serão aplicados, quase sempre, nos resíduos MQO.

  18. Teste Godfeld-Quandt • As observações são ordenadas cfe. a magnitude da variável independente relacionada com o erro. • Divisão dos dados em dois grupos: • Valores baixos da VI com baixa variância. • Valores altos da VI com alta variância. • Se a variância do erro for associada a esta variável, a variância média deve ser diferente entre esses dois grupos. • Regressões separadas – razão de suas variâncias de erros (F) – se for 1, os erros são homocedásticos.

  19. O teste de Breusch-Pagan • Não observamos o erros, mas podemos utilizar suas estimativas: os resíduos da regressão por MQO. • HIPÓTESE NULA: modelo é homocedástico. • Após fazer a regressão dos quadrados dos resíduos em todos os x’s, podemos utilizar o R2para obter um testeF ouLM. • A estatística Fé simplesmente a estatística Fda significância da regressão: • F = [R2/k]/[(1 –R2)/(n – k – 1)], que tem distribuiçãoFk, n – k – 1. • A estatística LMéLM = nR2, que tem distribuiçãoc2k

  20. Exemplo • Verificar a heterocedasticidade em uma equação simples de preços de imóveis. • Após fazer a regressão original, geramos os resíduos e o quadrado destes resíduos em todos os x’s (GravarResíduosQuadrados – criauma nova variável no banco de dados chamadausq1).

  21. Exemplo P-valor baixo, forte evidência contra a hipótese nula LM = 88.(0,1601)=14,09 P-valor =~0,0028

  22. O teste de White • O teste deBreusch-Pagan irá detectar formas de heterocedasticidade lineares. • O teste de White permite não-linearidades por utilizar quadrados e produtos cruzados de todos osx’s. • Basta computar a estatística FouLMpara testar se todos os xj, xj2exjxhsão conjuntamente significativos. • Problema: se muitos regressores, usa muitos graus de liberdade e o teste pode ter rejeitado a hipótese nula pela existência de erro de especificação (omissão de variável).

  23. Forma alternativa do teste de White • Suponha que o valores ajustado por MQO, ŷ, é função de todos osx’s. • Logo, ŷ2será função dos quadrados e produtos cruzados e, portanto,ŷeŷ2serão proxies para todos os xj, xj2exjxh; então: • Faça a regressão dos resíduos ao quadrado emŷeŷ2e use oR2para obter a estatísticaFouLM. • Agora o teste é para apenas 2 restrições.

  24. Exemplo

  25. Exemplo

  26. Exemplo LM=88.(0,0392) P-valor 0,178

  27. hettestidade Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: idade chi2(1) = 45365.98 Prob > chi2 = 0.0000

  28. Testes de heterocedasticidade hettest, rhsmtest(noadjust) Breusch-Pagan / Cook-Weisbergtest for heteroskedasticity Ho: Constant variance --------------------------------------- Variable | chi2 df p -------------+------------------------- esc | 45.98 1 0.0000 # idade | 45365.98 1 0.0000 # sexo | 5771.44 1 0.0000 # brancamarela | 783.90 1 0.0000 # urbana | 133.84 1 0.0000 # regiao | 2849.51 1 0.0000 # -------------+------------------------- simultaneous | 54118.83 6 0.0000 --------------------------------------- # unadjustedp-values

  29. Econometria 4. O quefazer? Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  30. Usar erro padrão robusto

  31. Usar erro padrão robusto Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  32. Erros-padrão robustos • Agora que temos uma estimativa consistente da variância, sua raiz quadrada será uma estimativa do erro-padrão. • Tais erros-padrão são chamados de erros-padrão robustos. • Às vezes a variância estimada é corrigida pelos graus de liberdade, pela multiplicação por n/(n – k – 1). • Quandon → ∞, essa correção faz pouca diferença. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  33. Erros-padrão robustos (cont.) • É importante lembrar que esses erros-padrão robustos têm justificativa apenas assintótica – com amostras pequenas, as estatísticas t´sobtidas com os erros-padrão robustos não terão distribuição próxima dat, e as inferências não serão corretas. • No Gretl há a opção de se calcular tais erros-padrão robustos. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  34. Mínimos quadrados ponderados • Embora seja possível estimar os erros-padrão robustos para os estimadores de MQO,se soubermos alguma coisa sobre a forma específica da heterocedasticidade, poderemos obter estimadores mais eficientes que os de MQO. • Como devemosespecificar a naturezadaheterocedasticidade, o processo de estimação é maistrabalhoso. • A idéia básica é transformar o modelo em outro cujos erros sejam homocedásticos.

  35. Exemplo de mínimos quadrados ponderados • Suponha que a heterocedasticidade seja dada porVar(u|x) = s2h(x). • h(x) é umafunção das variáveisexplicativas e determina a forma daheterocedasticidade, ouseja, como a variânciadependerá de x. • h(x) > 0 , pois a variância é positiva e h(x) é conhecida. • O parâmetropopulacionals2 não é conhecido, maspode ser estimadoatravés do uso dos dados.

  36. Exemplo de mínimos quadrados ponderados • Nestecaso, a variância do erro é proporcionalaonível de renda. • Quantomaior o nível de renda, maior a variância do termo de erro, ouseja, maior a variabilidadedapoupança. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  37. Exemplo de mínimos quadrados ponderados • Como usamos a informação sobre o formato da heterocedasticidade para estimar os parâmetros do modelo e fazer inferência? • Modelo original heterocedástico: • Temos que transformar esta equação de forma que os erros virem homocedásticos. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  38. Exemplo de mínimos quadrados ponderados • E(ui/√hi|x) = 0, pois hié apenas uma função de x, e Var(ui/√hi|x) = s2. • Logo, se dividirmos toda a equação por √hi, teremos um modelo com erros homocedásticos. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  39. Exemplo de mínimos quadrados ponderados • Podemosobterosestimadores de tal forma que as propriedades de eficiênciadestesestimadores MQO sejammelhores do que no modelo anterior com presença de heterocedasticidade. • No exemplodapoupança: O novo modelosatisfaz as hipóteses do modelo linear clássico. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  40. Mínimos quadrados generalizados • A estimação da equação transformada por MQO é um exemplo de mínimos quadrados generalizados, MQG. • MQGserá BLUE neste caso. • MQGé igual aos mínimos quadrados ponderados, MQP (ou WLS, em inglês) onde cada resíduo ao quadrado é ponderado pelo inverso da Var(ui|xi). Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  41. Mínimos quadrados ponderados (cont.) • A idéia é minimizar a soma dos quadrados ponderados por 1/hi. • Dá-se menos peso para as observações com maior variância. • MQO é ótimo se conhecermos Var(ui|xi). • Mas, em geral, não a conhecemos. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  42. MQG Factível • Quando não conhecemos a forma da heterocedasticidade, precisamos estimar h(xi). • Em geral, iniciamos com uma hipótese flexível, tal como: • Var(u|x) = s2exp(d0 + d1x1 + …+ dkxk) • Precisamos, então, estimar os d´s. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  43. MQGF (cont.) • Nossa hipótese implica que u2 = s2exp(d0 + d1x1 + …+ dkxk)v, • onde E(v|x) = 1; então se E(v) = 1: • ln(u2) = a0+ d1x1 + …+ dkxk + e, • onde E(e) = 1 eeé independente dosx´s. • Agora, podemos substituir u por û, e estimar a equação por MQO. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  44. MQGF (cont.) • A estimativa de hé obtida porĥ = exp(ĝ); o peso será o inverso dessa estimativa. • Resumindo: • Faça a regressão por MQO da equação original, salve os resíduos, û, eleve-os ao quadrado e tire o log. • Faça a regressão de ln(û2) em todas as variáveis independenteso obtenha o valor ajustado ĝ. • Faça a regressão por MQP utilizando 1/exp(ĝ) como ponderador.

  45. Observações sobre MQP • Lembre-se que utiliza-se MQP apenas por eficiência, pois MQO continua não tendencioso e consistente. • As estimativas serão diferentes devido a erros amostrais, mas se forem muito diferentes, então alguma outra hipótese de Gauss-Markov também deve estar sendo violada. Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria 2/2010

  46. MQG (ponderado – MQP) – Casoheterocedástico

  47. Exemplo • Banco de dados: food.gdt • Relacionar gastos em alimentos com a renda mensal • Definir a variável peso: 1/x (inverso da renda). • Cada variável, inclusive a constante, é multiplicada pela raiz quadrada do peso. • Modelo: outros modelos lineares\mínimos quadrados ponderados

  48. Exemplo

More Related