1 / 91

Movimento Elíptico

Movimento Elíptico. R. Boczko IAG-USP. 02 07 06. Órbitas não circulares. Eudoxo (Grego, 408 a.C. – 355 a.C.). As órbitas dos planetas não são perfeitamente circulares. Movimento Kepleriano. Elipse. Kepler Alemão 1571 - 1630. Estudo da elipse.

pearl
Download Presentation

Movimento Elíptico

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Movimento Elíptico R. Boczko IAG-USP 02 07 06

  2. Órbitas não circulares Eudoxo (Grego, 408 a.C. – 355 a.C.) As órbitas dos planetas não são perfeitamente circulares

  3. Movimento Kepleriano Elipse Kepler Alemão 1571 - 1630

  4. Estudo da elipse

  5. Definição de elipse e de seus elementos principais

  6. Traçar uma circunferência Comprimento do barbante = a Chão R=a

  7. Traçar uma elipse Comprimento do barbante = 2.a Chão

  8. Definição de uma elipse Q r’ r F’ F Elipse 2a r + r’  2a

  9. Elementos de uma elipse B O A a f P F e  f/a b f  ae B’ a = semi-eixo maior b = semi-eixo menor f = distância focal e = excentricidade

  10. f  ae Semi-eixo menor b Q = B b r r’ r + r’  2a r = r’ r = a O f f F’ F No DOBF : b2 = r2 - f2 b2 = a2 - f2 b2 = a2 - (ae)2 b2 = a2 - a2 e2 b2 = a2(1 - e2) b = a {1- e2}

  11. y b Equação da circunferência e da elipse y Q Y x a x O Circunferência x2 + Y2 = a2 Elipse x2 / a2 + y2 / b2 = 1

  12. Equação da reta tangente à elipse num ponto M Elipse x2 / a2 + y2 / b2 = 1 y Reta tangente x.xM/ a2 + y.yM/ b2 = 1 M yM x a xM O b

  13. Perímetro aproximado de uma elipse O a b P  3 p( a+b ) / 2 - {a.b}

  14. d a b = a {1- e2} b = 1 {1- 0,016732} b = 0,999.860.043.8 P  3 p( 1+ 0,999.860.043.8 ) / 2 - {1x 0,999.860.043.8} P  8,424.188.413.1 UA  1.263.628.261,962 km v = 1.263.628.261,962 km / 365,25 d v  3.459.625 km/dia  40 km/s Velocidade média de translação da Terra v = P / T P  3 p( a+b ) / 2 - {a.b} T  365,25 dias O a a = 1 UA  150.000.000 km e = 0,01673 b

  15. rmédio = ? Quanto vale o raio orbital médio ao longo de um ciclo? r3 r2 r1 Elipse

  16. Q'1 Q1 r' r' r r Mostrar que a média dos raios orbitais é o semi-eixo maior O A P F' Para todos os pares de pontos simétricos F Para um par de pontos simétricos Q1 e Q'1 r1 = a Q1 r + r' = 2a Q2 e Q'2 r2 = a Q'1 r' + r = 2a ... r + r' + r' + r = 2a + 2a QN e Q'N rN = a r + r' + r' + r = 4a r1 + r2 + ... + rN = N.a (r + r' + r' + r) / 4 = a (r1 + r2 + ... + rN ) / N = a r1 = a r = a

  17. Circunferência achatada = Elipse =

  18. f  ae C {1- e2} b = aC Fator de contração (C) Q = B b r r’ O f f F’ F r + r’  2a r = r’ r = a No DOBF : b2 = r2 - f2 b2 = a2 - f2 b2 = a2 - (ae)2 b2 = a2 - a2 e2 b2 = a2(1 - e2) b = a {1- e2}

  19. Convenção de representação

  20. Y B P O X Quadrante elíptico Y B P X O

  21. = Elipse considerada como uma circunferência contraída

  22. b = aC y = Y (aC/ a) y = YC Elipse = Circunferência contraída y Para a circunferência: X2 + Y2 = a2 Como x = X, então: x2 + Y2 = a2 x2 = a2 - Y2 Circunferência Q’ Y Elipse a Q b y Para a elipse: x2 / a2 + y2 / b2 = 1 (a2 - Y2 ) / a2 + y2 / b2 = 1 1 - Y2 / a2 + y2 / b2 = 1 y2 / b2 = Y2 / a2 y2 = Y2 (b2/ a2) y = Y (b/ a) x o Q” x = X

  23. Áreas envolvidas com a elipse

  24. Y B a y dA dy A = 4  dA u = 0  /2 u P A = 4  a.b. cos2 u . du u = 0  /2 x O cos u = {(1+cos 2u)/2} C {1- e2} cos2 u = (1+cos 2u)/2 y = (a.sen u) C A = 4.a.b  [(1+cos 2u)/2] . du b = a.C y = b.sen u A = 4.a.b {  (1/2) du +  (cos 2u)/2) du} dy = b.d{sen u} A = 4.a.b { [u/2] + [(sen 2u)/4)]} dy = b.cos u . du dA = x . dy A = 4.a.b {(/2-0)/2 + [(sen )/4 - 0]} dA = (a.cos u) . (b.cos u . du) A = .a.b dA = a.b.cos2 u . du Área da elipse x = a.cos u

  25. Área de um setor circular Medida em radianos Medida em graus c A 3600 r2   A 2  r2   A  O r A =  r2. 0 / 3600 A = r2.  / 2

  26. Setor elíptico c A  a x O b A = ( a.b / 2 ) . [ arccos ( x / a ) ] rad

  27. Setor ' kepleriano' c A O  a F b

  28. Q' Q' Q Y Y Yi y ASE  O P x Q" Q" x x Q' A2 =  yi. x A1 = x y /2 A1 = x (Y.C) /2 A2 =  Yi.C. x Q A1 = C (x Y / 2) Y A2 = AS . C A1 = AT .C AT yi AS y A1 A2 x Q" Q" x ASE = A1 + A2 ASE = AT .C + AS . C ASE = (AT + AS ) C AS =  Yi. x ASE = ASC . C Área de um setor de elipse r ASC  O P y = Y.C ASC = AT + AS AT = x Y / 2

  29. Kepler e os movimentos elípticos

  30. Primeira Lei de Kepler( 1571 - 1630 ) Semi eixo menor Semi-eixo maior Foco Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele numa órbita elíptica, sendo que um deles ocupa o foco da elipse.

  31. Afélioe Periélio O a f A P Foco b q’ q Afélio: q’ = a + f q’ = a +ae q’ = a ( 1+e ) Periélio: q = a - f q = a - ae q = a ( 1- e )

  32. Anomalias M u v

  33. Movimento Médio T = Período orbital do astro: tempo para dar uma volta completa em torno do Sol n = Movimento médio: velocidade angular do astro n  3600 / T 0/dia r2 n r1 Elipse n  2p / T rad/dia

  34. Anomalia Média M tP Elipse tp = instante da passagem periélica t = instante no qual se deseja a posição do astro M = Anomalia Média: ângulo que seria percorrido pelo astro, no intervalo de tempo (t - tp), se ele tivesse movimento circular uniforme M  n (t - tp) n  3600 / T

  35. Q’ Y a r y v u Q” Anomalias verdadeira e excêntrica y Circunferência Q = Astro F = Sol r = raio vetor do astro v = anomalia verdadeira u = anomalia excêntrica Elipse Q x O P F

  36. Q1 r' r Raio orbital r em função da anomalia verdadeira v r + r' = 2a r' = 2a - r v 180-V O f f A P F' f = ae f = ae F r'2 = r2 + (2f)2 - 2. r.(2f).cos(180-V) (2a - r )2 = r2 + 4f2+ 4. r.f.cos V 4a2 - 4ar + r2 = r2 + 4(ae)2 + 4. r.(ae).cos V 4a2 - 4ar + # = # + 4a2.e2 + 4. r.a.e.cos V 4a2 - 4a2.e2 = 4ar + 4. r.a.e.cos V 4a2 (1-e2) = 4ar ( 1 + e.cos V) C {1-e2} r = a (1-e2) / ( 1 + e.cos V) r = a C2 / ( 1 + e.cos V)

  37. Obtenção daEquação de Kepler

  38. Passo intermediário: v = g { u } Conseguimos: u = h { t } Objetivo de trabalho y Circunferência Desejamos: v = f { t } Q’ Elipse t a r u v P x o tP F Q”

  39. b = aC y = b . senu Relacionar u e v y Circunferência No DOQ’Q”: x = a . cos u Y = a . sen u y = Y . C y = (a . sen u) C Q’ Elipse a Y a Q b r y u v P NoDOQQ”: x = a . cos u y = b . senu x o F Q” f x’ x No DFQQ”: x’ = r . cos v y = r . sen v x’ = x - f

  40. f ae x’ = x - f b = aC sen v = aC . senu / r C {1- e2} sen v = a {1- e2} . senu / r NoDOQQ”: x = a . cos u y = b . senu No DFQQ”: x’ = r . cos v y = r . sen v Raio vetor (r) r . sen v = b . senu sen v = b . senu / r r . cos v = a . cos u - ae cos v = a ( cos u - e) / r sen2v + cos2 v = 1 a2(1- e2) . sen2u / r2 + a2 ( cos u - e)2 / r2 = 1 a2[ sen2u - e2. sen2u + (cos2 u - 2 e cos u + e2) ] = r2 a2[ sen2u + cos2 u + e2 - e2. sen2u - 2 e cos u ] = r2 a2[ 1 + e2 (1 - sen2u) - 2 e cos u ] = r2 a2[ 1 + e2cos2u - 2 e cos u ] = r2 a2[ 1 - ecosu ]2 = r2 r = a ( 1 - ecosu )

  41. C {1- e2} sen v = {1- e2} . senu / [1 - ecosu ] Relacionar u e v sen v = aC . senu / r cos v = a ( cos u - e) / r r = a ( 1 - ecosu ) sen v = aC . senu / [a ( 1 - ecosu )] cos v = a ( cos u - e) / [a ( 1 - ecosu )] cos v = ( cos u - e) / [1 - ecosu ] 0 v 1800 Se sen v  0 então v = v Se sen v < 0 então v = 360 - v

  42. Usando: cos v = ( cos u - e) / [1 - ecosu ] tan (v/2) = { (1+e) / (1-e) } .tan (u/2) q tan (v/2) v = 2 arctan (q) -900v +900 Outro jeito de relacionar u e v Fórmula da tangente do arco metade: tan (v/2) = { (1-cos v) / (1+cos v) } sen v = {1- e2} . senu / [1 - ecosu ] Se v  0 Se senv  0  v = v Se senv < 0  v = v + 1800 Se v < 0 Se senv  0  v = v + 1800 Se senv < 0  v = v + 3600

  43. Segunda Lei de Kepler( 1571 - 1630 ) A A Dt Dt Foco Um corpo ligado a outro gravitacionalmente gira em torno dele, com seu raio vetor varrendo áreas iguais em tempos iguais.

  44. A Aelipse = pab T = Período orbital (VA) = pab / T Velocidade areolar (VA) b A Dt Dt Foco (VA) = DA / Dt

  45. M r (r/ r’ )3 = (T/ T’ )2 m T r’ r3 = k T2 m’ T’ Expressão correta: r 3 = [G/(4p2)] ( M + m ) T 2 (r / r’ )3 = { (M + m) / (M + m’) }x (T/ T’ )2 Terceira Lei de Kepler

  46. Relacionar u e t

  47. f  ae AFOQ = (ae).(b . senu)/2 y = b . senu Equação de Kepler (APFQ )Segunda lei de Kepler = (APFQ)Geometria Kepler: pab  T APFQ  (t-tP) Geometria: APFQ = APOQ - AFOQ APFQ = (pab/T) (t-tP) AFOQ = f.y/2 y Circunferência AFOQ = (a.b.e senu) / 2 Q’ APOQ = APOQ’ . C APOQ = [(u.a) . a /2] . C APOQ = [u.a. b /2] Elipse a Y a Q b APFQ = [u.a. b /2] - (a.b.e senu) / 2 r y u v P f x APFQ = (ab/2)[u - e senu] o F Q”

  48. Equação de Kepler (APFQ )Segunda lei de Kepler = (APFQ)Geometria APFQ = (pab/T) (t-tP) APFQ = (ab/2)[u - e senu] (pab/T) (t-tP) = (ab/2)[u - e senu] (2p / T) (t-tP) = [u - e senu] n 2p / T (n) (t-tP) = [u - e senu] M  n (t - tp) M = u - e senu (em radianos) M = u - (1800 / p ) e . senu (em graus) u = M + (1800 / p ) e . senu (em graus)

  49. Soluções aproximadas da Equação de Kepler

  50. e sen u 45o u M e sen u u u = M + e.senu Solução gráfica da equação de Kepler y = e sen u +e M  n (t - tp) urad e sen u M -e

More Related