Distribuciones de Probabilidad

1. Distribuciones de Probabilidad Binomiales Poisson Hipergeométrica Uniformes Exponenciales Media aritmética de la distribución Binomiales acumuladas Ocurrencia de un suceso Papel de restitución Papel del tiempo Muestreo de lotes Aproximación a la binomal Utilización en procesos jurídicos Forma de la <<curva>> Conceptos relacionados Valor esperado Problemas de colas

2. La siguiente tabla ayuda a determinar las circunstancias en que se requieren distribuciones específicas.

3. En una distribución binomial, cada intento da lugar a la aparición de uno de dos resultados mutuamente excluyentes. Uno de los cuales se señala como éxito y el otro como fracaso. La probabilidad de cada resultado permanece constante en dos intentos sucesivos. p = probabilidad de que ocurra un suceso en un solo intento (llamada probabilidad de éxito) y q = 1 – p es la es la probabilidad de que no ocurra en un solo intento (llamada probabilidad de fracaso), entonces la probabilidad de que el suceso ocurra exactamente x veces en n intentos (o sea, x éxitos y n -1 fracasos) BINOMIALES

4. La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 tiradas de una moneda es: n = 6 x = 2 p = q = 1/2 Ejemplo:

5. La distribución binomial acumulada mide la probabilidad de un suceso en intervalo de valores. Binomiales acumuladas

6. Una aplicación corriente de la distribución binomial es la relacionada con la decisión de aceptar una expedición (lote) de mercancías procedentes de un fabricante. Esta decisión se basa en el número de unidades defectuosas que pueda haber en el envío. Las empresas devuelven por lo general toda la expedición si existen pruebas de que son defectuosas más de un determinado número de las mercancías recibidas. Muestreo de lotes

7. Ideada por el matemático francés Simeon Poisson (1781-1840), la distribución de Poisson mide la probabilidad de un suceso aleatorio a lo largo de un intervalo temporal o espacial. donde e = 2.71828 base del sistema de logaritmos naturales.  = num medio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio. x =num de veces que ocurre el suceso. POISSON

8. Ejemplo: Un profesor recibe por término medio 4,2 llamadas telefónicas de los estudiantes el día antes del examen final. Si las llamadas siguen una distribución de Poisson, cuál es la probabilidad de que reciba al menos 3 llamadas ese día? Datos:  = 4,2 e = 2,71828 Es la ocurrencia de un suceso.

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10. En la distribución binomial, si n es grande y la probabilidad p de ocurrencia de un suceso es muy pequeña, de modo que q = 1 – p es casi 1, el suceso se llama un suceso raro. En la práctica un seceso se considera raro si el número de ensayos es al menos 50(N50) mientras Np es menor que 5. En tal caso la distribución binomial queda aproximada muy estrechamente pro la distribución de Poisson con  = Np. Aproximación a la binomial

11. Si se elige una muestra sin restitución de una población finita y la muestra contiene una proporción relativa en la grande de la población de tal manera que la probabilidad de un éxito experimenta una alteración mensurable de una elección a la siguiente, se deberá utilizar distribución hipergeométrica. HIPERGEOMÉTRICA

12. Supongamos que se elige una muestra de n objetos de un grupo de N objetos, de los cuales S son éxitos. La distribución del número de éxitos, X, en la muestra se llama distribución hipergeométrica. Donde x puede tomar valores enteros que van desde el mayor de 0 y n - (N – S) hasta el menor de n y S. Se aplica en: Utilización de sucesos jurídicos Papel de restitución

13. Hay que formar un comité de ocho miembros de un grupo de ocho hombres y ocho mujeres. Si los miembros del comité se eligen aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad sean mujeres? Datos: x = 4 n = 8 N = 16 S = 8 Ejemplo:

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15. En una distribución uniforme, las probabilidades de todos los resultados posibles son las mismas. Es una distribución continua en la que cualquier resultado posible tiene igual oportunidad de ocurrir . Uniforme

16. La media de la distribución uniforme está a medio camino entre los dos puntos extremos. Es decir: Media aritmética de la distribución

17. El área total bajo la curva, como ocurre siempre en todas las distribuciones de probabilidades continuas, ha de ser igual a 1, o sea el 100%. Como el área es el producto de la altura por la anchura, la altura será: Forma de la curva

18. y por tanto: donde b – a es la anchura o recorrido de la distribución. Distribución uniforme

19. Ejemplo: Distribución uniforme de productos envasados

20. Supongamos que el contenido de los envases de fruta de 16 onzas producidos por Del Monte se sitúa en cualquier peso desde 14,5 onzas hasta 17,5 onzas y sigue una distribución uniforme. La media aritmética es: y la altura es:

21. La distribución exponencial es una distribución continua que mide el paso del tiempo entre sucesos y es útil cuando se abordan problemas relacionados con el transcurso del tiempo. Sea µ el número medio de llegadas en un período determinado y µ* el tiempo medio transcurrido entre llegadas Exponenciales

22. Papel del tiempo Función de probabilidad exponencial

23. Si por término medio llegan cuatro camiones por hora al muelle de carga (µ=4), entonces la media de llegadas será de un camión cada 0.25 horas. Es decir: Ejemplo:

24. Ó Esperanza matemática de una variable aleatoria discreta es la media aritmética ponderada de todos los resultados posibles, en la cual los pesos son probabilidades respectivas de dichos resultados. Valor esperado

25. Calcular la esperanza matemática de los puntos mostrados cuando se lanza un dado. Ejemplo

26. La distribución exponencial encuentra una aplicación muy corriente y útil en las empresas: la evaluación de filas de espera o colas. Muchas operaciones de las empresas se realizan en cola. Problemas de colas

27. Denisse García Johanna Llerena Cuarto “U”