Kapitel 4

1. Kapitel 4 Taktische Planungsprobleme (Konfiguration und Dimensionierung)

2. Zusammenhang der verschiedenen Ebenen strategische Grundsatzentscheidungen Konkretisierung und Umsetzung in der taktischen Planung durch Konfigurierungs- und Dimensionierungs-entscheidungen Bestmögliche Nutzung der konfigurierten Produktionsanlagen in der operativen Ebene Operations Management

3. 4.1 Konfiguration von Werkstattfertigungs-Produktionssystemen starke Unterscheidung der zu bearbeitenden Aufträge (z.B. in der Teileproduktion im Maschinenbau): • Keine Anordnung der Arbeitssysteme nach dem Objektprinzip möglich, da kein einheitlicher Materialfluss existiert • Anordnung nach dem Funktionsprinzip: Hier werden Arbeitssysteme, die gleichartige Funktionen (Operationen, Arbeitsgänge) durchführen können, räumlich in einer Werkstatt (Stanzerei, Dreherei, Galvanik) zusammengefasst. Operations Management

4. Werkstattproduktion • Aufträge müssen regelmäßig auf ihre Bearbeitung an einer Maschine oder auf den Transport zur nächsten Maschine warten • Wartevorgänge führen zu (unerwünschten) Zwischenlagerbeständen von angearbeiteten Erzeugnissen • Leerzeiten, wenn eine Maschine auf einen Auftrag wartet, weil dessen voriger Arbeitsgang in einer anderen Werkstatt noch nicht abgeschlossen ist oder weil er auf ein Transportmittel wartet. • Gänzliche Verhinderung dieser unerwünschten Effekte nicht möglich • Milderung der Effekte durch intelligente Einlastungsstrategien (operativ) und sinnvolle Anordnung der Werkstätten (taktisch) • Typisches Konfigurationsproblem: (quadratisches) Zuordnungsproblem Operations Management

5. 4.1.1 (lineares) Zuordnungsproblem(linear assignment problem, LAP) Das einfachste Optimierungsproblem der innerbetrieblichen Standortplanung ist das (lineare) Zuordnungsproblem. Gegeben: nMaschinen (Aktivitäten, Arbeiter) n mögliche Standorte (Zeitpunkte, Projekte) cij... Kosten des Betriebs von Maschine i an Standort j Jede Maschine ist an einem Standort zu betreiben, wobei an keinem Standort mehr als eine Maschine betrieben werden darf. Die Gesamtkosten sind zu minimieren. Operations Management

6. Beispiel 1 3 Maschinen, 4 Standorte und folgenden Kosten cij Maschine 2 kann auf Standort 2 nicht betrieben werden - daher Kosten  Operations Management

7. Beispiel 1 - Dummy • Falls Anzahl Standorte ≠ Anzahl Maschinen • Hinzufügen von Dummymaschinen (-zeilen) oder Dummystandorten (-spalten) mit Kosten Null (immer möglich) Ein Standort bzw. eine Maschine, dem/der der Dummy zugeordnet wird, bleibt leer bzw. wird nicht aufgestellt. Operations Management

8. LP - Formulierung 1 wenn Maschine i auf Standort j betrieben wird, 0 sonst xij= Kosten: Nebenbedingungen: = 1 für i = 1,...,n ... jede Maschine 1 zuordnen = 1 für j = 1,...,n ... genau 1 Masch. pro Standort = 0 oder 1 für i = 1,...,nund j = 1,...,n Operations Management

9. 4.1.1.1 Formulierung als Transportproblem • Vergleich der LP-Formulierungen von TP und LAP  • Jedes LAP kann als Spezialfall eines Transportproblems angesehen werden, wobei jede Maschine als Anbieter mit "Kapazität" 1 und jeder Standort als Abnehmer mit „Nachfrage" 1 interpretiert wird. • Obwohl das Transportproblem grundsätzlich auch nicht-ganzzahlige xijzulässt, ist sichergestellt, dass die optimale Lösung die Eigenschaft besitzt, dass genau n Variablen den Wert 1 besitzen und alle anderen Null sind. Damit erhält man eine zulässige Zuordnung. Operations Management

10. Beispiel 1 – LAP als TP -10 -13 -5 reduzierteKostenmatrix: Es ist immer möglich zunächst in jeder Zeile bzw. Spalte von jedem Kostenkoeffizienten den kleinsten Kostenkoeffizientendieser Zeile bzw. Spalteabzuziehen (dabei bleibt die optimale Lösung unverändert - nicht aber die Kosten) Operations Management

11. Reduzierte Kostenmatrix 3 2 0 1 2 7  0 1 2 0 5 0 0 0 0 Spaltenminimummethode liefert hier optimale Lösung (reduzierten) Kosten = Null Die Maschinen 1, 2 und 3 werden auf Standort 2, 3 und 1 betrieben; Standort 4 bleibt frei (da ihm die Dummy-Maschine 4 zugeordnet wurde). Bei größeren Problemen muss man zumeist noch einige Schritte des MODI- verfahrens anschließen, um zur optimalen Lösung zu gelangen. Operations Management

12. 4.1.1.2 Ungarische Methode • Kuhn´s algorithm • exaktes Verfahren • besteht aus mehreren Schritten: • Schritt I: Erzeugung von Nullen (Reduktion der Kosten) • Schritt II: Suche nach einer optimalen Lösung • Schritt III: Bestimmung einer minimalen Anordnung von Zeilen und Spalten, die alle Nullen enthält • Schritt IV: Generierung zusätzlicher Nullen – Kostenreduktion • Schritt V: Abbruch oder Wiederholung des Iterationsschrittes Operations Management

13. 4.1.1.2.1 Schritt I Erzeugung von Nullen (Reduktion der Kosten) • Von jedem Element einer Spalte wird das kleinste Element dieser Spalte abgezogen; • Von jedem Element einer Zeile wird das kleinste Element dieser Zeile abgezogen; • Wenn schon ein Element 0 ist, kann nichts abgezogen werden! • Man erhält so eine Matrix, die in jeder Zeile und in jeder Spalte mindestens eine Null aufweist. Operations Management

14. Beispiel 2 13 7 0,5 0,5 6,5 -0,5 11,5 8,5 2 0 5  7,5 7,5 6 6 0 0 0 5,5 12,5 7,5 8,5 1,5 0 7 12 -4,5 -8 -8,5 -5 -5,5 12,5 6,5 0 0 6 11,5 8,5 2 0 5  7,5 7,5 6 6 0 4,5 + 8 + 8,5 + 5 + 5,5 + 0,5 K = 0 0 5,5 12,5 7,5 = 32 8,5 1,5 0 7 12 Operations Management

15. Schritt II Suche nach einer optimalen Lösung • Man sucht eine Lösung, für die die Kostensumme den Wert Null annimmt, wo also genau eine Null in jeder Zeile und jeder Spalte auftritt (umrahmte bzw. schattierte Nullen, s.u.). • Falls das zutrifft, haben wir eine optimale Lösung gefunden. Operations Management

16. Beispiel 1 – nach Reduktion • Suche eine Zeile oder Spalte mit möglichst wenig Nullen (möglichst genau eine Null) und umrahme (schattiere) eine Null dieser Zeile oder Spalte! – hier ist vorläufig eine Zuordnung erfolgt. • Durchkreuze alle Nullen in dieser Zeile oder Spalte (sodass in jeder Zeile oder Spalte mit einer umrahmten Null alle anderen Nullen durchkreuzt sind). In dieser Zeile bzw. Spalte kann ja keine Zuordnung mehr erfolgen. • Danach sucht man wieder eine Zeile oder Spalte mit möglichst wenig nicht-markierten Nullen, usw., bis keine Null mehr umrahmt werden kann. Optimale Lösung gefunden! Operations Management

17. Beispiel 2 – nach Reduktion 2. Null 1. Null 3. Null 4. Null Noch keine optimale Lösung gefunden!(bzw. Optimalität nicht bewiesen) Operations Management

18. 4.1.1.2.3 Schritt III • Bestimmung einer minimalen Anordnung von Zeilen und Spalten, die alle Nullen enthält • Kennzeichne (z.B. durch ein Kreuz X) alle Zeilen, die keine umrahmten Nullen enthalten. • Kennzeichne alle Spalten, die mindestens eine durchgekreuzte Null auf einer gekennzeichneten Zeile enthalten. • Kennzeichne alle Zeilen, die eine umrahmte Null in einer gekennzeichneten Spalte enthalten. • Wiederhole b) und c) bis keine Spalte oder Zeile mehr gekennzeichnet werden kann. • Markiere mit einer durchgehenden Linie jede nicht gekennzeichnete Zeile und jede gekennzeichnete Spalte. (schattiert). Alle (umrahmten und durchgekreuzten) Nullen sind dann mit mindestens einer Linie markiert. Operations Management

19. Beispiel 2 Operations Management

20. Schritt IV Generierung zusätzlicher Nullen - Kostenreduktion • Wähle unter allen nicht überdeckten Elementen das kleinste. • Dieses Element a wird von allen nicht überdeckten Elementen subtrahiert und zu allen doppelt überdeckten Elementen addiert • Es ist sichergestellt, dass durch diese Transformation die optimale Lösung nicht verändert wird • Allerdings werden die Gesamtkosten um a reduziert (Erhöhung der Reduktionskonstante) Operations Management

21. Beispiel 2 11 5 4,5 3,5 10 7  7,5 7,5 7 14 7 0 10,5 Eine zusätzliche Null bei Zuordnung 5  2  erhöhte Chance, Zuordnung mit Kosten 0 zu finden a = 1,5 Operations Management

22. Schritt V Abbruch oder Wiederholung des Iterationsschrittes • Wie in Schritt II wird versucht, eine optimale Zuordnung zu finden. • Gelingt dies nicht, müssen wir die Iteration ab Schritt II wiederholen. Operations Management

23. Beispiel 2 – Iteration 2 Maschine 1 auf Standort 3 Maschine 2 auf Standort 4 Maschine 3 auf Standort 5 Maschine 4 auf Standort 1 Maschine 5 auf Standort 2 Optimale Zuordnung gefunden! Gesamtkosten: Addition aller Reduktionskonstanten aus Schritten I und IX: K= (4,5 + 8 + 8,5 + 5 + 5,5 + 0,5) + (1,5) = 33,5 Operations Management

24. 4.1.1.3 Übungsbeispiele – Beispiel 1 Löse das folgende Zuordnungsproblem: Operations Management

25. Beispiel 2 Sechs Ingenieuren sollen auf 6 Strandorte aufgeteilt werden. Die folgende Tabelle gibt den Nutzen für die Firma bei den entsprechenden Zuordnungen an: A: Morlaix B: Bayonne C: Strasbourg D: Annecy E: Aix en Provence F: Dunkerque Maximiere den Gesamtnutzen! [Hinweis: Transformation z.B. „Kosten“ = 20 - Nutzen] Operations Management

26. Beispiel 3 Schwimm-Mannschaft für 200m-Lagen-Staffel; einer muss zuschauen. Die bisherigen Saisonergebnisse bzw. daraus prognostizieren Zeiten sind: Es soll die optimale Zusammenstellung der Staffel ermittelt werden! Operations Management

27. 4.1.2 Layoutplanung – quadratisches Zuordnungsproblem (QAP) • quadratische Zuordnungsproblem (QZOP, quadratic assignment problem, QAP): ist das typische mathematische Modell zur Beschreibung innerbetrieblicher Standortprobleme • vgl. dazu Kapitel 6 von Domschke, W.; Drexl, A.: Logistik: Standorte (Bd. 3), 3. Aufl., Oldenbourg, München, 1990: Operations Management

28. 4.1.2.1 Formulierung Zur Beschreibung benötigen wir die Distanzen zwischen den Standorten, undden Materialfluss zwischen den Organisationseinheiten: • n Organisationseinheiten (OE)alle OE sind gleich groß  paarweise vertauschbar • n Standorte, jeder kann jede OE aufnehmen (genau eine) • thi ... Transportintensität, Stärke des Materialflusses von OE h nach OE i • djk ... Distanz zwischen Standort jund Standort k Entfernungen nicht notwendigerweise symmetrisch • Transportkosten proportional zur transportierten Menge und zur zurückgelegten Entfernung Operations Management

29. thi. OE i h ... ... ... djk. Standorte k j ... ... ... Formulierung II • Wenn nun OE h auf Standort jangeordnet wird und OE i auf Standort k, • dann sind die Transportkosten pro Einheit von OE h zu OE i gegeben durch djk. • Dies ist zu multiplizieren mit dem Materialfluss thi. von OE h zu OE i  Kosten = thidjk Operations Management

30. thi. OE i h  Kosten = thidjk ... ... ... djk. Standorte k j ... ... ... Formulierung III Definition wie beim LAP: binäre Entscheidungsvariable Wenn nun OE h Standort j (xhj = 1) und OE i Standort k(xik = 1)  Transportkosten pro Einheit von OE hzu OE i :  Gesamte Transportkosten: xik = 1 xhj = 1 Operations Management

31. Zielfunktion und Nebenbedingungen ZF: Minimiere die gesamten Transportkosten zwischen allen OE Quadratische Zielfunktion  QAP Nebenbedingungen ident mit dem LAP!!! für h = 1, ... , n ... jede OE h an genau einem Standort j für j = 1, ... , n ... jeder Standort jbekommt genau eine OE h = 0 oder 1 ... binäre Entscheidungsvariable Operations Management

32. A B C Beispiel Ermittlung der Kosten bei 3 OE (1 ,2 ,3) und 3 Standorten (A, B, C) Transport-intensitäten thi Distanzen zwischen den Standorten djk mögliche Lösung: 1  A, 2  B, 3  C, also x1A = 1, x2B = 1, x3C = 1, alle anderen xij = 0 Die Nebenbedingungen sind erfüllt. Gesamten Transportkosten: 0*0 + 1*1 + 2*1 + 1*2 + 0*0 + 1*2 + 3*3 + 1*1 + 0*0 = 17 Operations Management

33. 2  A 3  B 1  C Beispiel Diese Lösung ist nicht optimal, da gerade die OE 1 und 3, zwischen denen ein starker Materialfluss herrscht, auf die entferntesten Standorte A und C gelegt wurden. Besser wäre z.B.: 1  C, 2  A und 3  B, also x1C= 1, x2A= 1, x3B= 1. mit den gesamten Transportkosten: 0*0 + 3*1 + 1*1 + 2*2 + 0*0 + 2*1 + 1*3 + 1*1 + 0*0 = 14 Transportintensitäten Distanzen Operations Management

34. Beispiel (Fortsetzung) dazu wurde die Matrix so umsortiert, dass die Zeilen und Spalten in der Reihenfolge 1  C, 2  A und 3  B, also C, A, B auftreten:(dabei sollte man die Umsortierung in 2 Schritten machen, zuerst Zeilen, dann Spalten, oder umgekehrt) Operations Management

35. 4.1.2.2 Eröffnungsverfahren Eröffnungsverfahren: • Entstehung durch Kombination von jeweils einer der folgenden Möglichkeiten zur Wahl einer OE und zur Wahl eines Standortes. • Die schon angeordneten OE bilden den so genannten Kern • Injeder Iteration wird eine weitere OE angeordnet, wobei folgende Prioritätsregeln zur Auswahl stehen Operations Management

36. 1) Wahl einer (noch nicht angeordneten) OE A1 jene, die zu sämtlichen (anderen) OE die größte Summe der Transportintensitäten besitzt A2 a) jene, die zur zuletzt angeordneten OE die größte Transportintensität besitztb) jene, die die größte Transportintensität zu einer angeordneten OE besitzt A3 jene, die zu allen angeordneten OE (Kern) die größte Summe der Transportintensitäten besitzt A4 zufällige Auswahl der OE Operations Management

37. 2) Wahl eines (noch nicht besetzten) Standortes B1 jener, der die geringste Summe der Entfernungen zu sämtlichen Standorten besitzt B2 einer, der dem zuletzt belegten Standorten benachbart ist B3 a) einer, sodass die Summe der Transportkosten zum Kern minimal istb) wie a) wobei noch versucht wird, den Platz mit benachbarten OE zu vertauschenc) ein Platz (frei oder besetzt) sodass die Summe der Transportkosten innerhalb des neuen Kernes minimal wird B4 zufällige Auswahl des Standortes Operations Management

38. Beispiel Kombination der einfachsten Regeln A1 und B1: • OE nach fallender Summe der Transportintensitäten sortieren • Standorte nach steigender Summe der Entfernungen zu sämtlichen Standorten sortieren • Manhatten-Distanz zwischen den Standorten. (da symmetrisch, muss nur die obere Dreiecksmatrix betrachtet werden) Operations Management

39. Summe des Materialflusses 15 und 51 Beispiel - Transportintensitäten 3 10 3 20 5 15 4 7 4 4 Reihung der OE: 3, 5, 2, 7, 4, 6, 8, 9, 1 Operations Management

40. Beispiel - Entfernungen 18 15 18 15 12 E 15 18 15 18 Reihung der Standorte: E, B, D, F, H, A, C, G, I Operations Management

41. Zuordnung • Reihung der OE: 3, 5, 2, 7, 4, 6, 8, 9, 1 • Reihung der Standorte: E, B, D, F, H, A, C, G, I • Zuordnung: Operations Management

42. Ermittlung der Kosten Auf 1 und 5 stehen I und B mit Transportintensität 3  3 (Distanz 1-5) * 3 (Intensität I-B) Gesamtkosten = 61 Operations Management

43. 4.1.2.3 Verbesserungsverfahren • Vertauschungen von OE-Paaren vornehmen (wie eingangs im Beispiel) • Man probiert, ob sich die Kosten verringern wenn 2 OE die Standorte tauschen. • Wenn es die Rechenzeit erlaubt, kann man auch versuchen, OE-Tripeln zu vertauschen • Bei paarweisen Vertauschungen gibt es verschiedene Möglichkeiten: Operations Management

44. paarweise Vertauschungen • Auswahl der Paare, deren Vertauschung überprüft wird: C1alle n(n - 1)/2 Paare C2 eine bestimmte Teilmenge aller Paare C3 zufällige Auswahl • Auswahl der Paare, die vertauscht werden: D1 jenes gemäß C überprüfte Paar, bei dem sich die größte Kostensenkung ergibt (bestes Paar) D2 das erste gemäß C überprüfte Paar, bei dem sich eine Kostensenkung ergibt (erstes Paar) Operations Management

45. Qualität der Lösungen I • Kombination C1 mit D1: • Rechenaufwand höher als bei den anderen Varianten • Lösungsgüte besser als bei den anderen Varianten Oft wird zu Beginn C2 gewählt und später C1. (Kombination C1 und D2 wäre 2-opt beim TSP.) • CRAFT : • sehr bekanntes (heuristisches) Lösungsverfahren • entspricht Kombination C1 und D1 (für OE mit gleichem Platzbedarf) Operations Management

46. Qualität der Lösungen II • zufällige Auswahl (C3 und D2): • recht gute Resultate • beste Vertauschung aus der Menge der überprüften Lösungen ergibt manchmal eine Verschlechterung  jedoch kein Nachteil (Gefahr des Hängenbleibens in lokalen Optima verringert sich) „Metaheuristiken“ in Modul Transportmanagement • Literatur: sämtliche Kombination der Grundideen bzw. Varianten unter A, B, C und D Operations Management

47. 4.1.2.4 Umlaufmethode • Heuristik • Kombination der Ideen von Eröffnungs- und Verbesserungsverfahren • Bestandteilen: • Initialisierung (i = 1):Ordne die OE mit der größten Summe der Transportintensitäten [A1] in der Mitte des Standortträgers an (d.h. wo die Summe der Distanzen zu allen anderen Standorten minimal ist [B1]). • Iteration i (i = 2, ... , n): ordne die i-te OE zu Operations Management

48. Teil 1 Auswahl einer OE und eines freien Platzes: • wähle jene OE, die zu allen im Kern angeordneten OE die größte Summe der Transportintensitäten besitzt [A3] • ordne sie auf einen freien Standort zu, so dass die Summe der Transportkosten zum Kern (bzw. innerhalb des neuen Kernes) minimal ist [B3a] Operations Management

49. Teil 2 Verbesserungsschritt ab Iteration i = 4: • versuche paarweise Vertauschungen der eben angeordneten OE mit allen anderen im Kern angeordneten OE [C2] • wenn eine Verbesserung gefunden ist, führe diese Änderung durch und beginne wieder mit Teil 2 [D2] Das Verfahren endet mit Abschluss von Iteration i = n, nachdem alle OE angeordnet sind. Operations Management

50. Beispiel – Teil 1 Initialisierung (i = 1): E = Zentrum Dort wird zunächst OE 3 angeordnet. Operations Management