racionalne funkcije, korijeni, eksponencijalne, logaritamske i hiperbolne funkcije

1. Matematika 1 racionalne funkcije, korijeni, eksponencijalne, logaritamske i hiperbolne funkcije

2. Kako glasi jednadžba idealnog plina? pV = nRT Koje veličine u njoj su varijabilne? Pretpostavimo da su množina i temperatura konstantne, recimo tako da nRT iznosi 100. Da, u pravu ste: nRT = 100 J. Jesu li tlak i volumen proporcionalni? Je li ovisnost tlaka o volumenu afina? Može li se interpretirati kao linearna? Ako ju ostavimo u izvornom obliku, kako će izgledati graf ovisnosti p o V u Kks-u? Skicirajte nekoliko točaka grafa. Problem prvi

3. Komentari, pitanja, ... ? horizontalna asimptota vertikalna asimptota

4. x2 i x−2 x3 i x−3 x4 i x−4 ... što prikazuju dijagrami desno? Usporedite...

5. Kada kažemo da su dvije veličine obrnuto proporcionalne? Kako izgleda (u Kks-u, naravno) graf proporcionalne ovisnosti? A obrnuto proporcionalne? Navedite neke primjere obrnuto proporcionalnih veličina. problem 2

6. Skicirajte primjer krivulje u Kks-u koja je graf neke funkcije i ima 3 vertikalne asimptote Što joj je domena? Možete li osmisliti formulu funkcije kojoj bi to bio graf?* Možete li dati primjere s različitim brojevima promjena rast/pad? Može li funkcija s vertikalnom asimptotom imati cijeli skup Rkao domenu? Može li funkcija imati beskonačno mnogo vertikalnih asimptota? problem 3

7. ... su kvocijenti dvaju polinoma. Što im je prirodna domena? Mora li graf racionalne funkcije imati vertikalnu asimptotu? Primjer? A horizontalnu? Može li prirodna domena rac. funkcije biti cijeli skup R? Dajte primjer kojim potkrepljujete vašu tvrdnju! Može li funkcija s prirodnom domenom [−2, 3] imati horizontalnu asimptotu? Vertikalnu? A ako je domena [−2, 3? Racionalne funkcije i asimptote

8. Skicirajte primjer krivulje u Kks-u koja je graf neke funkcije i ima dvije različite horizontalne asimptote. Može li to biti racionalna funkcija? Možete li naći primjer funkcije s tri horizontalne asimptote? Ima li smisla ispitivati ima li funkcija s domenom 0, desnu HA? Lijevu? VA? problem 4

9. Znate li koji praktični primjer potrebe za računanjem korijena? Skicirajte ovisnost stranice kvadrata o njegovoj površini. Skicirajte ovisnost polumjera kugle o njezinom volumenu. Koji broj kubiran daje 8? −1/27? 0? Može li se za svaki realan broj naći broj koji kubiran daje polazni broj? A ako zamijenimo riječ “kubiran” s “kvadriran”? problem 5

10. n-ti korijen realnog broja y je realni broj x ako xn = y za nenegativne y uvijek postoji za neparne n je uvijek jedinstveno određen Je li vađenje 2. (4., 6., ...) korijena funkcija? Koja je prirodna domena parnih korijena? A neparnih? Surjektivnost funkcije KOrijeni

11. Kohlrauschov zakon (elektrokemija; molarna provodnost vs. koncentracija) Kako će izgledati graf? problem 7 http://www.hpmuseum.org/cgi-sys/cgiwrap/hpmuseum/archv016.cgi?read=106532

12. ako je c = 0,10 mol/L? c + 2 c − 0,02 mol/L 2c c/5 c2 c3/(c − 0,02 mol/L) 3c1/2 Što od ovog ima smisla? • 2c • algebarske funkcije: • polinomi • racionalne funkcije • korijeni • i njihove kompozicije • kompozicije?!

13. Kako objasniti studentu kako doći iz A2 u ured FMB? Otopina ima poznatu množinsku koncentraciju c i poznati volumen V. Kako odrediti masu otopljene tvari poznatog sastava? kompozicije x f f(x) g g(f(x))

14. AB znači: prvo napravi B, pa onda napravi A A-1 znači: vrati u polazno stanje u odnosu na A Što radi S-1? R? T? I? Je li ST = TS? A SR = RS? problem 7 S RS-1 TR RI

15. Što radi kompozicija funkcije kvadriranja i funkcije prepolavljanja? Je li pri komponiranju bitan redoslijed? Što je kompozicija drugog korijena i afine funkcije koja varijablu udvostruči te smanji za 5? A u obrnutom redoslijedu? Ima li ograničenja na varijable pri komponiranju? Što je kompozicija kvadriranja sa samim sobom? Nađite primjer funkcije koja se komponirana sa samom sobom ne mijenja! Koji je efekt komponiranja kubiranja s trećim korijenom? problemi 8

16. Identiteta (na proizvoljnoj domeni D = K) – funkcija koja “ne radi ništa”... f(x) = x Ima li kvadriranje inverznu funkciju? Koja je inverzna funkcija identitete (na R)? Zašto je za inverzibilnost bitna injektivnost? A surjektivnost? Kakva je veza grafova bijekcije i njoj inverzne funkcije? Zašto? Možete li naći primjer funkcije koja je sama sebi inverzna (osim identitete)? Može li inverz rastuće funkcije biti padajuća funkcija? inverzi

17. Populacija neke životinjske vrte u određenom nacionalnom parku prije 5 godina bila je 325 jedinki, a danas je 450. Ako se zna da se ta vrsta razmnožava jednom godišnje, kolika je godišnja stopa rasta te vrste? Prema istraživanjima park ima dovoljno resursa za 750 jedinki . Za koliko godina će ih biti toliko ako nastave s istom stopom rasta? problem 9

18. Otopina početne množinske koncentracije c0uzastopno se deseterostruko razrjeđuje vodom. Kolika je koncentracija nakon k razrjeđenja? Kad će koncentracija pasti na manje od 10−6 mol/L? problem 10 c/c0

19. f : R  R, f(x) = ax, koje su smislene baze? često: a = e  2,718281828459 jesu li eksponencijalne funkcije rastuće/pa-dajuće/injekcije/surjekcije/parne/neparne? sijeku li im grafovi os apscisa? os ordinata? zašto? ako da, gdje? imaju li asimptota? argumentirajte! kako izgledaju grafovi funkcija f,g : [0,  R, f(x) = 3−x, g(x) = 30,25x? eksponencijalne funkcije

20. Pregledniji prikaz dobijemo ako su razmaci na osi ordinata između svakih dviju uzastopnih koncentra-cija pri 10-erostrukom razrjeđivanju jednaki Dodatno, obrnut ćemo redoslijed navođenja ordinata i uzeti da sjecište koordinatnih osi predstavlja točku (0, 1), tj. početnu situaciju ako je polazna koncentracija 1 mol/L. problem 10, nastavak

21. Ordinata koja odgovara koncentraciji 1 mol/L iznosi 0. Ako je 1 oznaka za visinu ordinate koja odgovara koncentraciji od 0,1 mol/L, onda svako 10-erostruko razrjeđivanje povećava visinu ordinate za 1. Kad zbrojimo udaljenosti dviju ordinata do sjecišta osi dobijemo udaljenost koja odgovara produktu tih ordinata, a kad ih duzmemo dobijemo poziciju kvocijenta tih ordinata. što vidimo?

22. Po dogovoru je pri [H+] = 1 mol/L p[H] = 0: log 1 = 0. Nema smisla računati p[H] za otopine s nepozitivnim koncentracijama vodikovih iona: prirodna domena funkcije log je 0,. 10-erostrukim razrjeđivanjem smanjimo p[H] za 1: log(x/10) = log(x) − 1, y = x/10  log(10y) = log(y) + 1. Zbroj/razlika visina ordinata odgovara njihovu produktu/kvocijentu: log(xy) = log(x) + log(y), log(x/y) = log(x) − log(y). I još ...

23. Ordinata od 10−k je na visini k (jedinica): log(10−k) = k. Da smo istu stvar napravili s dvostrukim razrjeđivanjem, dobili bismo logaritam s bazom 2. Općenito: logaay = y, alogax = x. Uz koje uvjete na x i y? Što to govori o vezi eksponencijalnih s logaritmskim funkcijama? O grafovima logaritamskih funkcija? I još malo...

26. Bez kalkulatora što točnije izračunajte: log(1/1000), log(0,1), log(2,5), log(324), log(83011739) Koliki je x ako je log x jednak −0,5? Između 3 i 4? Između koja dva cijela broja je ln 25? Ako znate da je ln 2  0,7, koliko je ln 8? problem 11

27. p[H] = −log ([H+]/(mol/L)) “p = −log” Ako se [H+] smanji 100 puta, kako će se promijeniti p[H]? Ako se [H+] prepolovi? Kakav je odnos[H+] u dvije otopine s p[H] 2,5 odnosno 3? Kw = [H+][OH−] pKw = p[H] + p[OH] pri 50°C: pKw = 14 − log 5,48  13,3 ergo, p[OH] neutralne otopine pri 30°C je približno 6,3 problem 12

29. Kako će izgledati graf funkcije zadane s f(x) = 14 + log ((a − bx)/(c + x)), za pozitivne konstante a, b, c? Što bi mogle predstavljati ta funkcija i njena varijabla ako je a množina (čega?), b koncentracija (čega?), a c je volumen (čega?) problem 13

30. izračunajte x1/x za x = 0,1; 1; 10; 100 naslućujete li izgled grafa? zapišite x1/x kao potenciju s bazom e što je prirodna domena od x1/x? od u(x)v(x)? opća potencija

31. hiperbolne funkcije