Основні методи розв ’ язування тригонометричних рівнянь

1. Основні методи розв’язування тригонометричних рівнянь

2. Мультимедійний підручник розкриває поняття тригонометричного рівняння та всі основні способи розв’язання тригонометричних рівнянь. Він допоможе вчителям математики при викладанні теми тригонометричні рівняння і нерівності ” в 10класі , а також учням 10-го класу підготуватися і до ДПА та ЗНО з математики .Данний матеріал повністю відповідає діючій програмі з математики (академічний рівень)

3. Роботу виконали : Панченко Марина та Педан Поліна учениці10 класу ліцею природничо-наукового навчання м. Жовтих Вод. Керівник проекту: Шкаран Ніна Іванівна- вчитель математики вищої категорії

4. Означення тригонометричних рівнянь. Рівняння, які містять змінну під знаком тригонометричної функції, називається тригонометричним. Як правило, розв’язування тригонометричного рівняння зводиться до розв’язування рівняння виду sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a, які називають найпростішими тригонометричними рівняннями.

5. Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

6. I.Рівняння, алгебраїчні відносно однієї з тригонометричних функцій. Приклад 1. Розв’язати рівняння cos2x+3sinx=2 Розв’язання: Враховуючи, що cos2x=1-2sin2 x, дістаємо 1-2sin2x+3sinx-2=0,тобто 2sin2x-3sinx+1=0. Нехай sinx=t, тоді рівняння 2t2 -3t +1=0 маємо розв’язки t=1 та t=|1/2. Отже,sinx=1, або sinx=1/2. Звідси, x=

7. Рівняння,які зводяться до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функції Приклад 2. Розв’язати рівняння Відповідь:

8. Приклад 3. Розв'яжіть рівняння 2sin²x-7sinx+3=0 Розв'язання Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді одержемо: 2t²-7t+3=0 t1=3 – не задовольняє умову |t|≤1; t2=½. Отже, t2=½ маємо sinx=½, то х=(-1)ⁿ arcsin½+Пn, nЄZ; х=(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ. Відповідь:(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ

9. Приклад 4. Розв'язати рівняння cos²x+3sinx=2 Розв'язання: 1- 2sin²x+3sinx-2=0; 2sin²x-3sinx+1=0; Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді 2t²-3t+1=0; t1=1 або t2=½ Отже, sinx=1 або sinx=½. Звідси x=П/2 +2Пn, nЄZабо x=(-1)ⁿ П/6+Пn, nЄZ. Відповідь:П/2 +2Пn, nЄZ; (-1)ⁿ П/6+Пn, nЄZ.

10. Приклад 5. Розв'яжіть рівняння cos2x-5sinx-3=0; Розв'язання 1-2sin²x-5sinx-3=0; 2sin²x+5sinx+2=0; Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді 2t²+5t+2=0; t1=-2 – не задовольняє умову |t|≤1; t2=-½

11. II.Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою формул і розкладанням на множники Приклад 6. Розв'яжіть рівняння 2sinxcos2x-1+2cos2x-sinx=0; Розв'язання: Згрупуємо додатки в лівій частині рівняння: (2sinxcos2x-sinx)+(2cos2x-1)=0; sinx(2co2x-1)+(2cos2x-1)=0; (2cos2x-1)(sinx-1)=0; 2cos2x-1=0; cos2x=½; 2x=±П/3+2Пn, nЄZ; x=±П/6+Пn, nЄZ sinx=-1; x=-П/2+2Пk,kЄZ; x=-П/2+2Пk, kЄZ; x=-П/2+2Пk, kЄZ; Відповідь: ±П/6+Пn, nЄZ; -П/2+2Пk, kЄZ.

12. Приклад 7. Розв'яжіть рівняння 2cosxcos2x=cosx; Розв'язання: cosx(2cos2x-1)=0; cosx=0; x= П/2+Пn, nЄZ; x= П/2+Пn, nЄZ; 2cos2x-1=0; cos2x=½; x=±П/6+Пk, kЄZ. Відповідь: П/2+Пn, nЄZ; ±П/6+Пk, kЄZ.

13. Приклад 8.Розв'яжіть рівняння cos²x+cos²2x+cos²3x+cos²4x=2; Розв'язання: Скористаємося формулами пониження степеня: 4+ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0; (cos2x+cos8x)+(cos4x+cos6x)=0; 2cos5xcos3x+2cos5xcosx=0; 2cos5x(cos3x+cosx)=0; 2cos5x2cos2xcosx=0; cos5x=0, x= П/10+ Пn/5, nЄZ; cos2x=0, x= П/4+ Пk/2, kЄZ; cosx=0 , x= П/2+ Пm, mЄZ; Відповідь: П/10+ Пn/5, nЄZ; П/4+ Пk/2, kЄZ; П/2+ Пm, mЄZ.

14. Приклад 9. Розв'язати рівняння cos7x+sin5x=0; Розв'язання Замінимо дане рівняння рівносильним cos7x+cos(П/2-5x)=0 ірозкладемо ліву частину на множники: 2cos(П/4+x)cos(П/4-6x)=0; Рівняння cos(П/4+x)=0 або cos(П/4-6x)=0 мають розв'язки x= П/4+Пn і x= П/8+ Пk/6, n, k Є Z, множини яких не перетинаються. Відповідь: П/4+Пn іП/8+ Пk/6, n, k Є Z

15. Приклад 10. Розв'яжіть рівняння tgx+=3 Розв'язання Оскільки =1+tg²x, то дане рівняння можна записати так: tgx+(1+tg²x)=3; Звідси tg²x+tgx-2=0. Нехай tgx=t, тоді t²+t-2=0;(t+2)(t-1)=0;t=-2 або t=1. Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь tgx=1 => x= П/4+Пn, nЄZ tgx=-2 => x= -arctg2+ Пn, nЄZ Відповідь: П/4+Пn; -arctg2+ Пn, nЄZ

16. III.Рівняння, однорідні відносно sinx та cosx

17. Приклад 11. Розв'яжіть рівняння 7sin²x-8sinxcosx-15cos²x=0; Розв'язання: При cosx=0 рівняння не має коренів, тому розділимо обидві його частини на cos²x≠0. Одержимо 7tg²x-8tgx-15=0; tgx=-1; => x=-П/4+Пn, nЄZ tgx=15/7; => x=-arctg15/7+ Пn, nЄZ Відповідь:-П/4+Пn; -arctg15/7+ Пn, nЄZ

18. Приклад 12. Розв'яжіть рівняння 3sin²x+sin2x=2; Розв'язання: Це рівняння не є однорідним. Проте його можна легко звести до однорідного: 3sin²x+2sinxcosx=2(sin²x+cos²x); sin²x+2sinxcosx-2cos²x=0; tg²+2tgx-2=0; tgx=(-1±√3). Відповідь: x= arctg(-1±√3)+ Пn, nЄZ.

19. Приклад 13. Розв'яжіть рівняння: 2sinx-3cosx=2; Розв'язання : Скористаємося формулами подвійного аргументу та основною тригонометричною тотожністю: 4sinx/2cosx/2 – 3(cos²x/2 - sin²x/2)= 2(cos²x/2+sin²x/2); sin²x/2+4sinx/2cosx/2-5cos2x/2=0. Поділимо обидві частини останнього рівняння на cos²x/2 і зробимо заміну tgx/2=t. Отримуємо: t²+4t-5=0; t1=1; => x=П/2+ 2Пn; t2=-5; => x=-2arctg5+2Пn, nЄZ. Відповідь: П/2+ 2Пn; -2arctg5+2Пn, nЄZ.

20. Рівняння виду asinx+bcosx=c (ab≠0)

22. Приклад 14.Розв’зати рівняння: І спосіб: Введемо допоможний кут: ІІ спосіб: Застосуємо універсальну підстановку( b≠-c,втрати розв’язків не буде ) Відповідь:

23. V.Рівняння,що розв’язуються за допомогою заміни sinx cosx=t Приклад15. Розв’язати рівняння: Розв’язання: отже,це рівняння не має розв’язків. Відповідь:

24. Прикалад 16. Розв’яжіть рівняння: Розв’язання: Відповідь:

25. VI.Розв’язування рівнянь із врахуванням обмеження функцій sinx i cosx Приклад 17. Розв’язати рівняння: Розв’язання:

27. Приклад 18. Розв’язати рівняння Розв’язання:

28. Приклад 19.Розв’язання рівняння: Розв'язання:Зведемо рівняння до вигляду Проте sin π х≤1, а (х-1/2)²+1≥1,тому рівність можлива лише за умови: sinπx=1, π х= х= Відповідь:

29. VII. Тригонометричні рівняння з параметрами Приклад 20. Розв’язати рівняння: Розв’язання: Відповідь:

30. Приклад 21. Розв’язати рівняння: Розв’язання:Нехай sinx=t,|t|≤1, t²+2(a-1)t-4a=0, D/4=(a-1)²+4a= = a ²-2a+1+4a = (a+1)²≥0; t=-a+1+a+1=2 – не задовільняє умову |t|≤1 t=-a+1-a-1 = -2a; |-2a| ≤1; 2|a| ≤1; |a| ≤1/2sinx=-2a; Відповідь: при ає[-½;½],