Chapitre 3

1. Chapitre 3 Les grandeurs locales et leur correspondance avec les grandeurs globales

2. Rappel important sur les modèles  La réalité est inaccessible  Un modèle est une création de l ’esprit qui correspond à notre perception de la réalité et sur laquelle nous pouvons raisonner On peut rêver d ’un modèle idéal rendant compte parfaitement de la réalité… utopique et de toute façon inutilisable.

3. Deux types de modèles Modèles « circuit » : une coordonnée au plus (le temps) utilisation plus rapide et simple (circuits équivalents, cours ELEC2310) pour étudier un dispositif existant (on détermine alors les paramètres expérimentalement), mais impossibilité de tenir compte des dimensions géométriques, donc insuffisants pour étudier un dispositif qui n’est pas encore réalisé. Modèles « champ » : jusqu ’à 4 coordonnées (t, x , y et z ) lents et compliqués, mais incontournables pour la conception car ils utilisent seulement comme données - les dimensions géométriques - les caractéristiques des matériaux Note : parfois utiles même pour des dispositifs existants car ils permettent de se passer de certaines mesures difficiles ou dangereuses.

4. Utilisation simultanée des deux types de modèles On profite des avantages des deux types nécessité de règles de correspondance explicites Le modèle local est essentiellement basé sur l’électromagnétisme de Maxwell  Nous allons revoir cette théorie dans l’optique de sa correspondance avec un modèle circuit. Conseil : quand deux modèles sont utilisés, bien distinguer (y compris dans les documents) les parties de l ’étude utilisant l ’un ou l ’autre des modèles, ainsi que les parties effectuant la mise en correspondance.

5. Mise en correspondance local-global - directement au niveau des paramètres exemple : loi de Pouillet possible seulement dans les cas simples - ou au niveau des grandeurs (plus général) D, H, r , J  i, q, j (j = courant associé au mouvement de charges) V, A , B, E u , y, e (e = force électromotrice au sens des physiciens) Exemple : en électrotechnique (mais pas en électrochimie ni en thermoélectricité….)  La résistivité relie E et J , soit E = rJ  La résistance relie e et j , d’où la loi d’Ohm e = R j On aura u = R i si i = j et u = e , ce qui est le cas si et sont négligeables(composant galvanique)

6. Détermination directe de paramètres « circuit » • Dans le cas de circuits de géométrie simple, on a par exemple • Un lien entre les flux vu du point de vue circuit électrique et du point de vue circuit magnétique : Y = n F • Un lien entre la force magnétomotrice et le courant : J = n i • Dans le cas linéaire, il est facile d’en déduire l’inductance d’une bobine encerclant un circuit magnétique simple (pouvez-vous le faire ?).

7. Il est possible d’améliorer le calcul élémentaire Cas des réluctances (ou résistances) de coin Voir formules dans le syllabus (annexe au chapitre 2) Extension possible au cas d’un angle différent de 90°, mais on ne dispose plus dans ce cas d’une formule explicite. Exemple de circuit fermé

8. Extension possible au cas non linéaire : l’expérience montre que le calcul fait en présence de saturation magnétique en utilisant les mêmes formules pour l’allongement des tronçons • donne d’excellents résultats pour les valeurs du flux. • conduit à une erreur est un peu plus grande sur le calcul des pertes magnétiques.

9. Cas d’une jonction en T Voir formules dans le syllabus (annexe au chapitre 2) Exemple de circuit complet

10. Il existe aussi des formules simples dans le cas de domaines à symétrie cylindrique ou sphérique (voir cours de physique de Bac)

11. Traversée d’un entrefer

12. Les méthodes élémentaires ne donnent de bons résultats que si la notion de « circuit » est bien respectée • problème avec les flux de fuite • problème avec les sources de chaleur • Il y a aussi des problèmes de jonction entre les éléments, mais nous savons maintenant comment les résoudre. • Les méthodes élémentaires sont insuffisantes dans beaucoup de cas, mais on peut souvent les utiliser sur une partie du modèle. • Nécessité d’une méthodologie plus générale, mettant en relation les grandeurs plutôt que les paramètres.

13. Formalismes Le formalisme est la théorie des théories Il en existe plusieurs ! La correspondance local-global est facilitée si on utilise le même formalisme pour les deux types de modèle Modèle local : théorie = électromagnétisme formalisme de Maxwell-Minkowski-Post Modèle global : théorie = théorie des circuits formalisme similaire vu au cours précédent

14. Structure du formalisme de Maxwell-Minkowski-Post

15. Structure préalable En électromagnétisme, espace-temps (1 dimension temporelle et 3 dimensions spatiales) Note : La théorie est plus simple si on considère un espace de dimension 4 , mais on le feuillette souvent en 1 + 3 dimensions. En théorie des circuits, graphe orienté + temps (1 seule dimension) mouvement de matière  variable(s) de position q

16. Correspondance entre les structures préalables Comment représenter dans le modèle local le « mouvement » associé à une variable de position q du modèle global ? Réponse : par un champ de vecteur u                                         Translation Rotation

17. Qu’est-ce qu’un vecteur ? En mathématiques élémentaires, on distingue • vecteurs liés = couple de points (absurde physiquement, extrémité sans signification) • vecteurs libres (= classe de vecteurs liés) • Ces notions mathématiques correspondent assez mal à l’idée physique que l’on se fait d’un vecteur (vitesse, champ magnétique…). • Il vaut mieux (ce que font les mathématiciens) considérer les vecteurs « ordinaires » comme des opérateurs de dérivation des champs scalaires. • Exemple : considérons une répartition de température T constante (selon t ) à la surface de la terre. Si je voyage à une vitesse v , je ressens une variation de température à cause de ce déplacement (dérivée de Lie par rapport à la vitesse). soit, en coordonnées cartésiennes, L’ensemble des vecteurs en un point forme la structure algébrique nommée « espace vectoriel ».

18. Pour décrire par des nombres (composantes) un vecteur en un point, on a besoin d’un repère (base de l ’ensemble des vecteurs en ce point) en ce point. • Pour décrire un champ de vecteur, on a besoin d ’un référentiel (champ de repères). • Soient e(i) un repère. • Tout vecteur est alors défini par ses coordonnées : • Si l’espace est plat (ce qui est le cas de l’espace physique pour les ingénieurs), on peut obtenir un référentiel en donnant une base des vecteurs en un point (l’origine) et en la déplaçant parallèlement à elle-même. Mais... • Est-ce la meilleure façon de décrire le problème considéré ? • Même les ingénieurs utilisent des espaces non plats (espace des états en automatique, espace des solutions faisables en optimisation….).

19. On a souvent intérêt à utiliser un système de coordonnées curvilignes (cylindrique, parfois sphérique, elliptique…). Or, il existe des référentiels associés à ces coordonnées. Nécessité de pouvoir changer de référentiel. Je suppose que les indices i, j …prennent les valeurs 1,2,3. Soient trois vecteurs formant une base e(i) Soient trois autres vecteurs formant une base e(i’) Attention ! Abus d’écriture commode. On peut exprimer la nouvelle base en fonction de l’ancienne : La transformation inverse utile la matrice Ai’i inverse de Aii’ . On montre facilement que les composantes d’un vecteurs se transforment selon On dit que les vecteurs ordinaires sont contravariants.

20. Problème : à un système de coordonnées x(i) curvilignes on peut associer plusieurs référentiels. • Référentiel naturel • Référentiel orthonormé (plus familier, mais possible seulement avec certains systèmes de coordonnées). • Un référentiel est dit holonome s ’il peut être associé de façon naturelle à un système de coordonnées. • Le problème ne se pose pas avec le système de coordonnées cartésien x, y, z , car son référentiel naturel est égal à son référentiel orthonormé.

21. Dans le cas d’un système de coordonnées curvilignes orthogonales, on doit distinguer • le référentiel naturel e(i) , • le référentiel orthonormé e(î) • La loi de transformation fait intervenir une matrice diagonale. Les composantes de cette matrice sont appelées « coefficients métriques ». On les note souvent hi .

22. Exemples fréquents Coordonnées cylindriques r, j , z Coordonnées sphériques r, q, j

23. Correspondance entre les structures préalables Comment représenter dans le modèle local le « circuit » associé à une branche a du graphe dans le modèle global ? Réponse : par une densité vectorielle N = densité de circuit (on dit parfois densité de lignes de courant) Convient même si on veut représenter chaque conducteur séparément : alors N = 1/S Convient même pour du fil divisé en définissant S convenablement

24. Exercice : encoche rectangulaire • de profondeur a = 15 mm, • de largeur b = 7 mm, • comportant n = 10 conducteurs • formés de trois fils ronds en parallèle, • avec un coefficient de remplissage global de 0.4 • Quel est le diamètre du fil ? • Que vaut N (en unités SI ) • * dans le cas d’un modèle « mesoscopique » ? • * dans le cas d’un modèle « macroscopique » ?

25. Attention ! N n’est pas un vecteur ordinaire, mais une densité vectorielle. Sa loi de transformation est où |Aii’| désigne le déterminant de la matrice Aii’ . On défini aussi des densités scalaires. Un scalaire r est une densité si, lors d’un changement de référentiel r’ = |Aii’| r

26. Le circuit ne peut pas se terminer n ’importe où. On suppose donc que, en introduisant un indice a pour numéroter les branches de circuit, Sauf aux bornes (c ’est-à-dire aux endroits où la branche considérée est connectée à d ’autres branches) Borne d ’entrée de la branche (borne positive ) Borne de sortie de la branche (borne négative ) Contraintes sur les div Na pour assurer un bon raccordement

27. On peut définir les nœuds origine et extrémité d’une branche par deux densités positives telles que Les branches seront définies de façon à avoir des nœuds communs.

28. Note : en réalité, quand on prend une divergence, c’est toujours d’une densité vectorielle. On ne s’en rend pas compte en référentiel cartésien. En référentiel holonome, la divergence est toujours fournie par la formule élémentaire Le résultat de la divergence n’est pas un scalaire ordinaire, mais une densité scalaire. Pour effectuer div N en référentiel orthonormé, on va donc chercher les composantes de N en référentiel naturel, appliquer la formule élémentaire de la divergence. On obtient ainsi une densité scalaire qu’il faut encore ramener au référentiel orthonormé.

29. Comment évolue Na sous l ’effet d ’un champ de vitesse va ? Supposons que toute la variation de Na vienne du déplacement. d Na / dt + £vaNa = 0 où £ désigne la dérivée de Lie soit, dans le langage des composantes où i et j vont de 1 à 3, avec sommation sur les indices doublés. Comment lier le champ de vitesse va à une variable de position du circuit ra ? On notera l’analogie avec

30. Premier volet d ’équations d ’évolution En électromagnétisme : équations inhomogènes de Maxwell div D = r rot H -  D /  t = J d ’où l ’on déduit  suite exacte

31. D et J sont des densités vectorielles (comme N) r est une densité scalaire. H n’est pas un vecteur au sens ordinaire, mais un covecteur (vecteur covariant). On peut marquer ce fait en plaçant ses indices en bas. La loi de transformation est En référentiel holonome, le rotationnel est donné par la formule élémentaire. La contraction d’un vecteur contravariant et d’un vecteur covariant s’écrit de la même façon dans tous les référentiels :

32. Ces champs ne sont pas les mêmes pour tous les observateurs Comment passer d ’un observateur «  » à un observateur «  ’ » se déplaçant à la vitesse v par rapport au premier ? Transformation de Galilée : t = t ’ (le temps est absolu) D = D ’ H = H ’ + v x D r = r ’ J = J ’ + vr

33. On peut utiliser la transformation de Galilée sans faire de complexes Avant Einstein : uniquement les observateurs Galiléens Einstein en 1905 : relativité restreinte  uniquement les observateurs Lorentziens Einstein en 1915 : relativité générale  tous les observateurs sont acceptables, donc aussi les observateurs galiléens

34. Note Le premier volet respecte aussi l’invariance conforme : Lors d’une dilation simultanée de l’espace et du temps par le même facteur, les champs continuent à vérifier les mêmes équations (mais avec des densités de charge et de courant corrigées par ce même facteur).

35. Correspondance avec le premier volet des circuits Introduction de Jtot On voudrait que la grandeur correspondant à i ait une divergence nulle. Or, ce n ’est pas le cas de J . On peut cependant introduire le champ qui présente une divergence nulle. Alors, Jtot = N i (cas d ’un seul circuit) Jtot = SNa ia en général Les contraintes que l ’on a annoncé ci-dessus sur les div Na doivent faire en sorte que div Jtot = 0 lorsque les courants satisfont à la loi des nœuds de Kirchhoff.

36. Autres grandeurs du premier volet Outre Jtot = SNa ia on impose aussi (du moins dans le cas des circuits immobiles… théorie pas faite pour les autres!) D = SNa qa et J = SNa ja ce qui permet d ’obtenir ia = dqa /dt + ja

37. Second volet d ’équations d ’évolution En électromagnétisme : équations homogènes de Maxwell div B = 0 rot E +  B /  t = 0 équivalentes à l ’existence de V et A tels que rot A = B - grad V -  A /  t = E On a donc la suite exacte suivante A 4 dimensions, B et E forment une seule grandeur. De même, A et V. Les équations sont plus simples.

38. B est une densité vectorielle. E et A ne sont pas des vecteurs ordinaires, mais des vecteurs covariants. On peut marquer ce fait en plaçant leurs indices en bas. Leur loi de transformation est En référentiel holonome, le rotationnel est donné par la formule élémentaire. La contraction d’un vecteur contravariant et d’un vecteur covariant s’écrit de la même façon dans tous les référentiels :

39. Ces champs ne sont pas les mêmes pour tous les observateurs Comment passer d ’un observateur «  » à un observateur «  ’ » se déplaçant à la vitesse v par rapport au premier ? Transformation de Galilée : t = t ’ (le temps est absolu) v = vitesse de l ’observateur «  ’ » par rapport à l ’autre B = B ’ E = E ’ - v x B V = V ’ + v.A ’ A = A ’ (A 4 dimensions, c’est un cas particulier de changement de référentiel.)

40. Note Le second volet respecte aussi l’invariance conforme : Lors d’une dilation simultanée de l’espace et du temps par le même facteur, les champs continuent à vérifier les mêmes équations.

41. Correspondance avec le second volet des circuits y =   B . dS seulement pour ligne fermée sans dimension transversale y =  A . dl plus général car applicable à un circuit non fermé, mais seulement si sans dimension transversale y =  N . A dV correspond bien à ce que l ’on veut Les logiciels commerciaux ignorent cette équation, mais nous verrons plus loin qu ’il est possible de les utiliser pour la calculer.

42. On adopte aussi u =  (div N) .( V - va . A) dV e =  N . (E + va x B) dV En utilisant ces équations, on retrouve en effet u = d y / dt + e et la loi de mailles de Kirchhoff.

43. Retour sur une équation du premier volet Les logiciels commerciaux ignorent l ’équation y =  N . A dV , mais peuvent calculer le flux en divisant par le courant i le double de l ’ « énergie » calculée par 1/2  J . A dV or J = N i dans les cas simples, donc, cela revient au même, mais uniquement si le dispositif ne comporte qu ’une branche de circuit !

44. Transposition aux champs du théorème de Tellegen En théorie des circuits, les équations d ’évolution suffisent pour démontrer que S ua ia = 0 Peut-on obtenir un théorème similaire en utilisant uniquement les équations d ’évolution (équations de Maxwell) ? On a de fait Sya ia =  A . Jtot dV et, sous l ’hypothèse qu ’il n ’y a pas de rayonnement,  A . Jtot dV =  B . H dV

45. Flux de puissance E . J est la densité de puissance échangée (chaleur….) S = E x H vecteur de Poynting Sp = Jtot V variante du vecteur de Slepian Définissant une énergie apparente On obtient Pas moyen de faire mieux … avant d’avoir introduit les relations constitutives

46. Force et impulsion On définit G = D x B : densité d ’impulsion J x B + rE : force exercée sur les « sources » Alors Nous verrons plus loin que T’ji = [ Bj Hi + DjEi - Wappdji ] est, à la trace près, égal à un tenseur nommé «  tenseur de Maxwell » et qui est analogue à un tenseur de contrainte. Mais pour cela, il faut attendre d’avoir introduit les relations constitutives.

47. On peut former le tenseur de dimension 4 qui est la partie sans trace d’un tenseur connu sous le nom de tenseur énergie-moment électromagnétique.