Inteligencja Obliczeniowa Zbiory rozmyte, modelowanie wiedzy.

1. Inteligencja ObliczeniowaZbiory rozmyte, modelowanie wiedzy. Wykład 17 Włodzisław Duch, Google: Duch Uniwersytet Mikołaja Kopernika

2. Samoorganizacja Sieci Kohonena Wizualizacja - MDS Co było

3. Zbiory rozmyte, operacje na zbiorach Liczby i operatory rozmyte Wnioskowanie rozmyte Uczenie się reguł rozmytych Rozmywanie danych wejściowych Rozmyta klasteryzacja Zastosowania Co będzie

4. Podstawowe pojęcia • Problemy złożone trudno jest analizować precyzyjnie • Wiedza eksperta w złożonych przypadkach daje się opisać w rozmyty sposób, np. Jeśli wiatr jest bardzo silny i stół jest bardzo lekki i stół jest przymocowany słabo to stół odfrunie w siną dal. Logika/systemy rozmyte obejmują: Matematykę zbiorów i logiki rozmytej Rozmytą reprezentację i przetwarzanie wiedzy do klasyfikacji, regresji i klasteryzacji. Uczenie funkcji przynależności i reguł logicznych z danych. Metody sterownia rozmytego.

5. Rodzaje niepewności • Niepewność stochastyczna: Np. rzut kostką, wypadek, ryzyko ubezpieczenia - rachunek prawdop. • Niepewność pomiarowa Około 3 cm; 20 punktów - statystyka. • Niepewność informacyjna: Wiarygodny kredytobiorca, spełniający warunki - data mining. • Niepewność lingwistyczna Np. mały, szybki, niska cena - logika rozmyta

6. A=“młody” 1 0 x [lata] Zbiory klasyczne mmłody(x) młody = { xM | wiek(x)  20 } mmłody(x) ={ Funkcja charakterystyczna 1 : wiek(x)  20 0 : wiek(x) > 20

7. Zbiory rozmyte X- uniwersum, zbiór uniwersalny, przestrzeń; xX A- zmienna lingwistyczna, koncepcja, zbiór rozmyty. Funkcja przynależności określa stopień, w jakim x należy do A. Zmienne lingwistyczne: sumy zbiorów rozmytych, koncepcje, predykaty logiczne o ciągłych wartościach. Stopień przynależności to nie prawdopodobieństwo - łysy w 80% to nie łysy 1 na 5 razy. Prawdopodobieństwo jest unormowane do jedynki, funkcja przynależności nie. Rozmyte pojęcia są subiektywne i zależne od kontekstu.

8. A=“młody” 1 0 x [lata] Przykłady Klasyczne i rozmyte pojęcie „młody człowiek” A=“młody” 1 =0.8 0 x [lata] x=20 x=23 „Temperatura wrzenia” ma wartość około 100 stopni (ciśnienie, skład chemiczny).

9. Definicje Support (baza) zbioru rozmytego A: supp(A) = { xX : A(x) > 0 } Core (jądro) zbioru rozmytego A: core(A) = { xX : A(x) =1 } a=0.6 a-cut (a-cięcie) zbioru rozmytego A: Aa = { xX : A(x) > a } Wysokość = maxxA(x)  1 Zbiór rozmyty normalny: sup xXA(x) = 1

10. Terminologia MF 1 .5 a 0 Core X Crossover points a - cut Support

11. Typy Funkcji Przynależności Trapezoid: <a,b,c,d> Gaus/Bell: N(m,s) (x) (x) 1 1 s 0 0 a b c d c x x

12. Trójkątna: <a,b,c> Singleton: (a,1) i (b,0.5) 1 1 0 0 a b c a b x x Funkcje Przynależności (x) (x)

13. (x) zimno ciepło gorąco 1 0 20 40 x [C] Zmienne lingwistyczne W=20 => Wiek=młody. Zmienna lingwistyczna = wartość lingwistyczna. Zmienna lingwistyczna: : temperatura termy (zbiory rozmyte) : { zimno, ciepło, gorąco}

14. Liczby rozmyte Zwykle wypukłe, unimodalne (jedno maksimum). FP często się nakrywają. Liczby: jądro = punkt, x (x)=1 Monotonicznie maleją po obu stronach jądra. Typowy wybór: trójkątne funkcje (a,b,c) lub singletony.

15. Suma i iloczyn zbiorów A, B - zbiory rozmyte. Suma AB to zbiór o funkcji przynależności: max można zastąpić dowolną S-normą S(a,b) która dla obu argumentów jest niemalejąca, przemienna, łączna i S(a,0)=a, S(a,1)=1. Iloczyn AB to zbiór o funkcji przynależności: min można zastąpić dowolną T-normą T(a,b) która dla obu argumentów jest nierosnąca, przemienna, łączna i T(a,0)=0, T(a,1)=a.

16. Przykłady Suma Iloczyn AB(x)=max{A(x),B(x)} AB(x)=min{A(x),B(x)} A(x) B(x) A(x) B(x) 1 1 0 0 x x AB(x)=min{1,A(x)+B(x)} AB(x)=A(x)  B(x) A(x) B(x) A(x) B(x) 1 1 0 0 x x

17. T-normy i S-normy Typowe normy (konormy - T względem S): T(a,b): AND(a,b), MIN(a,b), a•b, MAX(0,a+b-1) .... S(a,b): OR(a,b), MAX(a,b), a+b-a•b, MIN(1, a+b) .... S(a,b) = 1–T(1-a,1-b) Prawa De Morgana T(a,b) = 1–S(1-a,1-b) max(a,b) = 1–min(1-a,1-b) a•b = 1-(1-a)-(1-b) + (1-a)•(1-b) max(0, a+b-1) = 1-min(1,1-a+1-b)

18. Przykłady MIN(a,b), a•b MAX(a,b), a+b

19. Normy (S1)Drastic sum: (S2)Hamacher sum: (S3)Dubois-Prade class: (S4)Yagera:

20. Dopełnienie i podzbiór Dopełnienie A’ zbioru Ato zbiór o funkcji przynależności: Zbiór rozmytych zbiorów, 2-elementowy: zbiory klasyczne są w rogach; w środku jest zbiór najbardziej rozmyty:

21. Operacje na liczbach rozmytych Dodawanie: A+B(x) = max{A(y), B(z) | x=y+z} (x) A(y) B(z) A+B(x) 1 0 x Iloczyn: AB(x) = min{A(y), B(z) | x=yz} (x) A(y) B(z) AB(x) 1 0 x

22. Operacje na zm. lingwistycznych Koncentracja:Con(A) = A2 Spłaszczenie: Dil(A) = A0.5 Intensyfikacja kontrastu:

23. y f f(A)(y) A(x) x y f f(A)(y) A(x) max x Rozmyte funkcje Mamy zbiór rozmyty A i funkcję f: Jak wygląda f(A)? Dla dowolnej funkcji f: f(A)(y) = max{A(x) | y=f(x)}

24. y y b b y = f(x) y = f(x) a x x a Funkcja Jeśli y=f(x), i x=a to y=b. Dla punktów - krzywa dla interwałów - pasmo.

25. Iloczyn Kartezjański Jeśli zbiór A z uniwersum X1i FP mA i zbiór Bwzględem uniwersum X2i FP mB to AxB jest iloczynem kartezjańskim A i B w uniwersum X1x X2 iff (x1,x2) X1x X2 : mAxB(x1,x2) = T(mA (x1), mB (x2))

26. Rozmyte relacje • Relacje klasyczne R  X Ydef: mR(x,y) = 1 iff (x,y)  R 0 iff (x,y)  R { • Relacje rozmyte R  X Ydef:mR(x,y) [0,1] mR(x,y) opisuje stopień powiązaniaxi y Inna interpretacja: stopień prawdziwości zdania x R y

27. Rozszerzenie/projekcje • Dodanie nowego wymiaru (cylindryczne rozszerzenie).

28. Przykłady rozmytych relacji Bliskie: X Y; X zależy od Y; X podobne do Y ... X = { deszczowo, pochmurnie, słonecznie } Y = { opalanie, wrotki, kamping, lektura } X/Y opalanie wrotki kamping lektura deszczowo pochmurnie słonecznie 0.0 0.2 0.0 1.0 0.0 0.8 0.3 0.3 1.0 0.2 0.7 0.0 Stopień? Tu bardziej prawdopodobieństwo lub korelacje.

29. Reguły rozmyte Wiedzę potoczną można często zapisać w naturalny sposób za pomocą reguł rozmytych. Jeśli zm. lingw-1 = term-1 i zm. lingw-2 = term-2 to zm. lingw-3 = term-3 Jeśli Temperatura = zimno i cena ogrzewania = niska to grzanie = mocno Co oznacza reguła rozmyta:Jeśli x jest A to y jest B ?

30. y y B B x x A A Interpretacja Jeśli x jest A to y jest B: korelacja lub implikacja. A=>B  not A or B

31. Rozmyta implikacja Jeśli korelacja to wystarczy T-norma T(A,B). A=>B ma wiele realizacji

32. Koniec wykładu 17 Dobranoc !