Théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle.

1. Théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle. Bruno DELACOTE Type d ’activité : leçon illustrée

2. Conseils et méthode de travail Une feuille s’ouvre sur une série d’exercices ou de questions : A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la solution. Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement Prépare l’exercice ou ta réponse avant de visionner la solution. Vérifie (sans tricher !) Si tu as commis des erreurs, neles corrige pas avant d ’avoir compris pourquoi tu t’es trompé. Pour revoir une page ou naviguer dans la présentation, utilise le clic droit de la souris. Clique précédent autant de fois que nécessaire.

3. Sommaire Théorème direct : Si le point I est situé sur le cercle de diamètre [ AB], alors le triangle ABI est rectangle en I. Réciproque: Si le triangle ABI est rectangle en I, alors le point I est situé sur le cercle de diamètre [ AB] Exercice 1 Exercice 2

4. Théorème direct I Si le point I est situé sur un cercle de diamètre [AB], Alors le triangle ABI est rectangle en I. A O B Cherchons à prouver ce théorème

5. Dessine un demi cercle de diamètre [AB] et un point I sur le demi cercle : Trace le symétrique J de I par rapport au milieu O du segment [ AB]. I A O B Par définition de la symétrie centrale, O est le milieu du segment [ IJ ]. J De plus IJ = 2 OI = 2 OA = AB

6. I Nous avons prouvé que : O est le milieu du segment [ AB]. O est le milieu du segment [ IJ ]. IJ = AB A O B J Or si les diagonales d ’un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont isométriques, alors c ’est un rectangle. Donc l ’angle AÎB est droit.

7. Examinons le théorème réciproque Si le triangle ABI est rectangle en I, I alors le point I est situé sur le cercle de diamètre [ AB]. Prouvons ce théorème ! A O B

8. I Traçons le symétrique J de I par rapport à O A O B Le quadrilatère AIBJ est un parallélogramme car ses diagonales ont même milieu. J Or un parallélogramme qui possède un angle droit est un rectangle. Donc AIBJ est un rectangle. Or les diagonales d ’un rectangle sont isométriques donc IJ = AB. Alors OI = IJ/2 = AB/2 = OA et I est situé sur le cercle de diamètre [AB].

9. 1°) Dessiner un cercle C de diamètre [AB]. Marquer un point M sur ce cercle. Construire le symétrique de A par rapport à M; L'appeler C. Construire le symétrique de B par rapport à M;D'appeler D. 2°)Quelle semble être la nature du quadrilatère ABCD ? Expliquer pourquoi. D C Il semble que ABCD soit un parallélogramme ! et même un….? Saurais-tu le prouver ? M B A

10. D C M M est situé sur le cercle de diamètre [AB], donc d’après le théorème du cercle circonscrit au triangle rectangle, le triangle ABM est rectangle en M. B A Or si les diagonales d ’un quadrilatère se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires alors c ’est un losange. Par définition de la symétrie centrale M est le milieu des segments [AC] et [BD] Or si les diagonales d ’un quadrilatère ont même milieu alors c ’est un parallélogramme. Donc ABCD est un losange.

11. Soient A et B deux points distants de 15 cm fixés. Etudier la position du point G, centre de gravité du triangle AMB rectangle en M lorsque le point M varie. Le centre de gravité est le point de concours des trois médianesd'un triangle. Deux médianes permettent de déterminer sa position. M Remarque : la droite (BG) coupe [AM] en son milieu. J milieu de [MB] G A B I milieu de [AB]

12. Construisons une série de points dans quelques triangles rectangles ayant [AB] pour hypoténuse... B A Les centres de gravité semblent situés sur un cercle....

13. M2 M1 M3 A B I Le centre de gravité G d'un triangle, est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Donc IG = 1/3 IM Or les triangles ABM sont rectangles en M, donc les points M sont situés sur le cercle de diamètre [AB], et les médianes [IM] mesurent la moitié de l'hypoténuse soit 7,5cm. Finalement IG = IM/3 = AB/ 6 = 2,5cm. Les points G sont situés sur le cercle de centre I et de rayon AB/ 6. Tous les points de ce cercles sont-ils centre de gravité d'un triangle d'hypoténuse [AB] ?

14. Ce lien n'est pas encore disponible Fin