Introduzione alla Regressione Lineare e alla Correlazione

1. Introduzione alla Regressione Lineare e alla Correlazione

2. esempio 1 Supponiamo di avere misurato la statura di 10 bambini di età compresa tra 6 e 12 anni e di riportare i dati su una tabella:

3. diagrammi di dispersione • un diagramma di dispersioneè una rappresentazione grafica in cui si rappresentano i valori di due variabili • i valori della variabile indipen-dente (X) vengono rappresentati sull’asse orizzontale (asse delle ascisse) • i valori della variabile dipendente (Y) vengono rappresentati sull’asse verticale (asse delle ordinate) • ciascuna coppia di valori (X,Y) viene rappresentata sul grafico con un punto

4. esempio 1(2) Riportando i valori su un diagramma di dispersione otterremo il seguente grafico:

5. esempio 1(3) Si evidenzia una netta tendenza, tale per cui al crescere dell’età, si registra un aumento dell’altezza:

6. esempio 2 Fonte: www.venganza.org

7. tipi di relazioni

8. coefficiente di correlazione • il coefficiente di correlazione (li-neare) misura l’intensità della rela-zione (lineare) tra due variabili X e Y; • i valori che esso assume sono compresi tra –1 e +1; • quando vale +1 significa perfetta correlazione positiva: i valori della Y si dispongono esattamente su una retta con pendenza positiva; • quando vale –1 significa perfetta correlazione negativa: i valori della Y si dispongono esattamente su una retta con pendenza negativa

9. coefficiente di correlazione da un punto di vista matematico, il coefficiente di correlazione (Bravais-Pearson) è definito come in cui: è la covarianza tra X e Y; è la deviazione standard di X è la deviazione standard di Y

10. covarianza • la covarianza esprime l’intensità con cui due variabili “variano insieme” • matematicamente si esprime con in cui: è la media di X; è la media di Y; è la numerosità del campione

11. covarianza • la covarianza si può calcolare più comodamente con la formula semplificata: in cui: è la somma dei prodotti XY; è la somma dei valori di X; è la somma dei valori di Y

12. esempio 1(3) Dalla tabella dell’esempio 1 ricaviamo i seguenti valori: Con questi possiamo calcolare la covarianza:

13. esempio 1(4) Ora calcoliamo le deviazioni standard:

14. esempio 1(5) A questo punto possiamo calcolare il coefficiente di correlazione: abbiamo ottenuto un’alta correlazione positiva.

15. esempio 2 10 soggetti di età superiore ai 60 anni sono stati sottoposti ad un test di abilità motorie con i seguenti risultati:

16. esempio 2 Si calcoli la correlazione tra età e punteggio di abilità motorie.

17. esempio 2 prima calcoliamo le somme: poi, da questi valori possiamo ricavare le deviazioni standard e la covarianza: infine otteniamo la correlazione:

18. esempio 2 Riportando i valori su un diagramma di dispersione otteniamo:

19. esercizio Si calcoli il coefficiente di correlazione tra le due variabili riportate in tabella.

20. esercizio prima calcoliamo le somme: poi, le deviazioni standard e la covarianza: infine otteniamo la correlazione:

21. ATTENZIONE Il coefficiente r misura l’intensità della relazione lineare; se r è basso (vicino a zero) vuol dire che non c’è relazione lineare ma potrebbe esserci una relazione di altro genere.

22. esempio 3 In questo caso, anche se r = -0,2, risulta evidente che esista una relazione tra le due variabili.