第二章、应力分析与应变分析

1. 第二章、应力分析与应变分析 • §2.1 应力与点的应力状态 • §2.1.1 应力 外力(Load)与内力(Internal force) • 外力P：指施加在变形体上的外部载荷。可以分成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力 ，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的力， 如重力、磁力、惯性力等等。 • 内力Q：内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。

2. 应力（Stress）：应力是单位面积上的内力 （见右图）。其定义式为：Sn=dQ/dA • 应力S 是内力的集度 • 内力和应力均为矢量 • 应力的单位：1Pa=1N/m2 • 应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。 • 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。

3. 应力可以进行分解Sn n 、n （n—法向） 某截面（外法线方向为n）上的应力： 或者 截面应力分解

4. §2.1.1 一点的应力状态及应力张量 • 一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面上的应力的大小、方向等情况。 • 一点的应力状态的描述 取点，选坐标系，如直角坐标系，圆柱坐标系或球坐标系，用九个分量来表示一点的应力状态。 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出    张量表达： (i,j=x,y,z)

5. 应力分量图示

6. 点的应力分量表示及正负符号的规定 • ij xx、xy、xz、yx、yy、yz、zx、zy、 zz • i——应力作用面的外法线方向 • j——应力分量本身作用的方向 • 当 i=j 时为正应力 • i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力） • 当 i≠j 时为剪应力 • i、j同号为正，异号为负

7. 四面体当无限缩小其边长，则该四面体与o点重合。四面体当无限缩小其边长，则该四面体与o点重合。 设l、m、n分别表示斜面法线对ox、oy、oz轴的方向余弦。 斜面沿ox、oy、oz方向的分量分别为Snx、Sny、Snz 由静力平衡条件∑Fx＝0 得： 同理可得： 三直角坐标轴某点任意斜平面上的应力

8. 全应力： • 把力向斜面的法线方向分解得正应力 • 斜面上的切应力：

9. 应力的坐标变换 例: 已知直角坐标下某点的应力分量，试求其圆柱坐标系下的应力分量表达式。 解：应力转轴公式

10. 应力张量的概念 • 对于一般的空间来讲，点的应力状态由九个应力分量来表示，且在固定的受力情况下，其大小与坐标轴的方向有关，对于新的坐标系的应力分量可由一定的关系确定，这样属于一个坐标系的九个分量能被转换到另一个坐标系时，就是二阶张量。九个应力分量的总体称为应力张量。 • 应力张量以σij表示 • 应力张量是对称张量。

11. §2.2 点的应力状态分析 1、主应力及应力张量不变量 主应力（Principal stress）：指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向 设主应力为σ，当为主方向时，有 ， ， ，代入整理，有： 该面叫做主平面，法线方向为主方向 求解lx、ly、lz的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得 ：

13. 式中 得到应力特征方程，式中I1、I2、I3称作应力张量的第一、二、三不变量。

15. 举例 • 一点的应力张量为 试求主应力 • 解：第一不变量： 第二不变量： 第二不变量： 则：特征方程为： 解得主应力为：

16. 主应力的图示

17. 结论： 1. 在应力空间，主应力平面是存在的； 2. 三个主平面是相互正交的； 3. 三个主应力均为实根，不可能为虚根； 4. 应力特征方程的解是唯一的； 5. 对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性; 6. 应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程 度，与塑性变形无关；I3也与塑性变形无关；I2与塑性变形有关。 7. 应力不变量不随坐标而改变，是点的确定性的判据。

18. t = t t t max{ , , } max 12 23 31 s - s s - s s - s t = ± t = ± t = ± 1 2 2 3 3 1 , , 12 23 31 2 2 2 t + t + t = 0 12 23 31 2、 主切应力和最大剪切应力 • 主切应力(Principal shear stress)：切应力有极值，（不为零）的平面叫做主切应力平面，其面上作用的切应力为主切应力。 • 最大剪应力(Maximun shear stress)： 主应力空间的｛110｝面族 通常规定： 则有最大剪应力： 或者： 其中： 且有：

19. 主切应力的推导 • 假定坐标轴与主方向重合，则任意斜切平面上的切应力由方程给出： 结合对l、m、n微分 可得以下六组解。 将方向余弦代入 得到主切应力

20. 举例 • 一向受拉、一向受压，其应力 求主切应力大小及方向。

21. 3、八面体应力与等效应力 八面体应力 在主应力空间中，每一象限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个象限共有八组，构成正八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。 正应力 切应力 全应力 八面体上的正应力与塑性变形无关，但对塑性大小有很大影响；八面体上的切应力决定了材料是否能进行塑性变形。

22. 关键 • 八面体应力的求解思路：

23. 等效应力 为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力σe（Effective stress ），也称相当应力。 应变能相同的条件下 公式： 或

24. 讨论 • 1. 等效的实质？ • 是（弹性）应变能等效（相当于）。 • 2. 什么与什么等效？ • 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维）等效。 • 3. 如何等效？ • 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 • 4. 等效的意义？ • 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。

25. §2.3 应力张量的分解与几何表示 塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把σij（Stress tensor ）分解成与体积变化有关的量和形状变化有关的量。前者称为应力球张量(Spherical stress tensor) ，后者称为应力偏张量(Deviatoric stress tensor) 。设σm为平均应力，则有 按照应力叠加原理，σij具有可分解性。因此有 式中，当i＝j时，δij＝1；当i≠j时，δij＝0

26. 即: 上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同；第二项为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同。 值得一提的是，σmδij只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。

27. 应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为 ， ， 。 表明应力偏张量已不含平均应力成分； 与屈服准则有关 反映了变形的类型： ﹥0表示广义拉伸变形， ＝0表示广义剪切变形，﹤0表示广义压缩变形。

28. 讨论： • 分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。 • 为引出形状改变的偏应力张量，为引出体积改变的球张量（静水压力）。

29. §2.4 应力平衡微分方程 应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻两点间σij关系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达式。 直角坐标下的应力平衡微分方程* 简记作

30. 推导原理：假设物体为连续介质。无限邻近二点的应力状态分别为 假设 连续可导则有 静力平衡条件： 静力矩平衡条件：

31. 圆柱坐标下的应力平衡微分方程 • 球坐标下的应力平衡微分方程？

32. §2.5 应变与位移关系方程 1 几何方程 如果物体变了形，则内部各质点都在运动，质点在不同时刻所走的距离称作位移(Displacement) 。设开始时点的坐标为x、y、z,而在变形的瞬时的坐标为x′、y′、z′，则： 代表着位移在坐标轴的投影，即该点位移分量。 变形则是指两点间距的变化。这种变化有绝对变形与相对变形之分。应变(Strain)属相对变形，它是由位移引起的。 研究变形通常从小变形着手。小变形是指数量级不超过10-3～10-2的弹塑性变形。大变形可以划分成若干小变形，由小变形叠加而来。

33. 取出一单元正六面体，当其变形时，六面体不仅改变了位置，也改变了自己的形状，在一般情况下，不仅正六面体的棱边改变了长度，角度也不再为直角了。因此变形有两类：取出一单元正六面体，当其变形时，六面体不仅改变了位置，也改变了自己的形状，在一般情况下，不仅正六面体的棱边改变了长度，角度也不再为直角了。因此变形有两类： 线应变（正应变）：线尺寸的伸长和缩短 切应变（切变形）：定义工程应变 应变分量有六个：

34. 直角坐标系下几何方程：

35. 柱坐标系下几何方程：

36. 球坐标系下几何方程：

37. 讨论 1.物理意义：表示位移与应变之间的关系； 2.位移包含变形体内质点相对位移产生的应变和变形体的刚性位移(平动和转动）； 3.工程剪应变: 理论剪应变：

38. e n 4.应变符号规定： • 正应变或线应变 ( ); 伸长为正，缩短为负； • 剪应变或切应变（ ）; 夹角减小为正，增大为负； 5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。

39. §2.6 点的应变状态 点的应变状态：指过某一点任意方向上的正应变与切应变的有无情况。可用该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角的变化来表示。 表示成张量形式： ( i, j = x, y, z )

40. 应变张量与特征值 • 1、应变张量可分解成球张量与偏张量： • 2、可求出任意方向的应变。 • 3、主应变、应变张量不变量 由应变特征方程可求出主应变： 式中J1、J2、J3分别为第一、第二、第三应变张量不变量

42. 4、主切应变和最大切应变 5、八面体应变、等效应变

43. §2.7 应变增量 全量应变与增量应变的概念 前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程终了时的变形大小，称作全量应变。而增量应变则是指变形过程中某一极短阶段的无限小应变，其度量基准不是原始尺寸，而是变形过程中某一瞬间的尺寸。 增量应变张量

44. §2.8 应变速度张量 设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量dUi,则应有dUi=Vidt,其中Vi为相应位移速度。代入增量应变张量，有： 令 即为应变速率张量

45. §2.9 主应变图与变形程度表示 主变形图是定性判断塑性变形类型的图示方法。主变形图只可能有三种形式：

46. 变形力学图 变形体内一点的主应力图与主应变图结合构成变形力学图。它形象地反映了该点主应力、主应变有无和方向。主应力图有9种可能，塑性变形主应变有3种可能，二者组合，则有27种可能的变形力学图。但单拉、单压应力状态只可能分别对应一种变形图，所以实际变形力学图应该只有23种组合方式。