مقرر رياضيات منفصلة (1280) المجموعات والعمليات المعرفة عليها الوحدة الثالثة إعداد : د. حازم إسماعيل الشيخ أحمد منطقة

المادة العلمية للوسيط التعليمي مقرر رياضيات منفصلة (1280) المجموعات والعمليات المعرفة عليها الوحدة الثالثة إعداد:د. حازم إسماعيل الشيخ أحمد منطقة خانيونس التعليمية 2010م

الأهداف السلوكية: ان تكون قادرا على وصف المجموعة. ان تحدد العلاقة بين العنصر و المجموعة. ان تكتب عناصر المجموعة بالطرق الرئيسية . ان تصنف انواع المجموعات تبعا لعدد عناصرها. ان تعرف تساوي مجموعتين. ان تعرف مجموعة القوة لمجموعة محدد. ان تعدد العمليات المطبقة على المجموعات.

المجموعات 1.1 مقدمة: كثيرا ما نتعرض لاستخدام كلمة " المجموعة " في مواقف يومية عدة, فعلى شاشات التلفاز نسمع بمجموعة الدول عربية و الاسلامية و في الجامعة نقرأ عن مجموعة المقررات التاسيسية للبرامج الاكاديمية و في المكتبات العامة نبحث عن كتاب الرياضيات المنفصلة ضمن مجموعة كتب الرياضيات

ان هذا المصطلح على سعة انتشاره و استخدامه يلعب دورا اساسيا و مهما في علم الرياضيات , فمعظم البنى الرياضية و النماذج العلمية تعتمد على المجموعة كلبنة اساسية في تكوينها.

1.2اساسيات في نظرية المجموعات سوف نبدأ هذه المادة العلمية بعرض عام للمفاهيم و المصطلحات الاساسية المستخدمة في نظرية المجموعات.

المجموعة : تعد المجموعة مفهوما رئيسيا في نظرية المجموعات الموسومة باسمها حيث لا يوجد لها تعريف محدد , كما أنه ليس لعنصر المجموعة تعريف فالمجموعة هي مفهوم رياضي ينتمي إلى اللامعرفات ( الغير قابل للتعريف( كما هو مفهوم النقطة و المستقيم في الهندسة. لكن يمكن تقديم وصف لخصائص ذلك المفهوم.

1.2.1 وصف المجموعة: المجموعة :هي تجمع من الاشياء المتمايزة و المحددة. مثال 1: مجموعة الطلاب في القاعة الاولى مجموعة الاحرف الهجائية العربية. المجموعة تشتمل على تجمع الاشياء

مثل هذه الاشياء التي تحتويها المجموعات سوف تسمى بالعناصر او باعضاء المجموعة , في غالب الاحيان تعطى مسميات معينة لمثل تلك المجموعات او قد يعبر عنها بالحروف اللاتينية الكبيرة A, B, C, …. وفي المقابل يرمز لعناصر المجموعة بالرموز اللاتينية الصغيرة A, B, C, ….

مثال2 : المجموعة تعني ان المجموعة تتكون من تجمع من العناصر 1 , 2 , 3. مجموعة ايام الاسبوع تتكون من سبعة عناصر حيث كل عنصر هو يوم من ايام الاسبوع. مجموعة مقاعد القاعات الدراسية.

مجموعة طلاب جامعة الازهر بغزة. • مجموعة حروف الكلمة STATISTICS. • مجموعة الاعداد التي مربعاتها تساوي 2.

1.3 العلاقة بين العنصر و المجموعة نستخدم التعبير للدلالة على ان العنصر هو احد عناصر المجموعة . و تقرا تنتمي للمجموعة . في المقابل نستخدم التعبير للدلالة على ان العنصر ليس من عناصر المجموعة . و تقرا لا تنتمي للمجموعة

ملاحظات: • لا يجوز التكرار في عناصر المجموعات حيث • لا نهتم بترتيب عناصر المجموعات حيث

1.4طرق كتابة عناصر المجموعات سرد جميع عناصر المجموعة او جزء منها مع استبدال العناصر المحذوفة بالنقاط الثلاثة ...

الوصف اللفظي لعناصر المجموعة • - مجموعة ايام الاسبوع • - مجموعة الاعداد الزوجية التي تقل عن 10 • - مجموعة الاعداد الطبيعية التي تقل عن العدد 8

صياغة المجموعة بالاعتماد على الصفة المميزة لعناصر المجموعة. x }عدد زوجي موجب يقل عن العدد A = { x: 8. B = { x : x2 – 1 = 0 }.

تعريف 1.1: • - المجموعة الخالية: هي تلك المجموعة التي تخلو من العناصر, و يرمز لها بالرموز : . • - المجموعة المنتهية: هي تلك المجموعة التي تحتوي على عدد منته من العناصر. • - المجموعة غير المنتهية: هي تلك المجموعة التي تحتوي على عدد غير منته من العناصر.

مثال 3: مجموعة الأشهر التي تزيد اعداد ايامها عن 35 يوما, تعتبر المجموعة السابقة مجموعة خالية لانه لا يوجد أي شهر بهذا العدد من الايام. , تعتبر المجموعة A منتهية لانها تحتوي على 9 عناصر و هو عدد منته من العناصر.

, المجموعة B هي مثال لمجموعة غير منتهية لانها تمتد بعناصرها الى مالا نهايه.

يتبادر إلى الذهن في بعض الحالات السؤال عن إمكانية أن تحتوي المجموعات على مجموعات اخرى كعناصر (انظر الى المثال 4 التالي).

مثال 4: المجموعة تحتوي على عنصرين فقط هما : و . المجموعة تحتوي على اربعة عناصر وهي : و و و .

المجموعة: تحتوي على ثلاثة عناصر و هي : و و . المجموعة: تحتوي على عنصر واحد فقط و هو المجموعة الخالية , و يمكن كتابتها على الصورة

المجموعة : تحتوي على عنصرين فقط احداهما المجموعة الخالية والاخر المجموعة . مع ملاحظة انه يمكن كتابة هذه المجموعة على الصورة .

توضيح : يمكن النظر الى المجموعة على انها صندوق يحتوي على عنصرين احدهما العنصر و العنصر الاخر هو صندوق ثاني يحتوي على العنصر .

تدريب 1: اذا كانت : S1 = { A,B }, S2 = {{ A,B}}, S3 = {{{ A,B}}} بين: علاقة العنصر A بالمجموعات الثلاثة علاقة المجموعات الثلاث بعضها ببعض

1.5 : تساوي مجموعتين تتساوى المجموعتين اذا و فقط اذا احتويتا على نفس العناصر. يعبر عن ذلك بالصورة التالية :

مثال 5: • المجموعتان التاليتان متساويتان: • P = مجموعة الاعداد الزوجية الموجبة التي تقل عن او تساوي العدد 10. • المجموعتان متساويتان لان عناصر كل منهما هي • 2 , 4 , 6 , 8 , 10 .

1.6 المجموعات الجزئية: المجموعة A مجموعة جزئية من المجموعة B اذا و فقط اذا كل عنصر من المجموعة A هو ايضا عنصر من عناصر المجموعة B . يمكن تمثيل هذه العلاقة على الصورة :

مثال 6: المجموعة هي مجموعة جزئية من المجموعة و لكنها ليست مجموعة جزئية من المجموعة. اذا كانت , فان : و كذلك .

ملاحظة: من التعريف السابق يلاحظ ان : لاي مجموعه فان : . مع التعريف السابق للمجموعات الجزئية يمكن اعادة صياغة تعريف تساوي المجموعات على الصورة التالية: تتساوى المجموعتين اذا و فقط اذا كانت : .

1.7 المجموعات الجزئية الفعلية: يقال ان المجموعة A مجموعة جزئية فعلية من المجموعة B اذا و فقط اذا كل عنصر من المجموعة A هو ايضا عنصر من عناصر المجموعة B , وكان هناك عنصر واحد على الاقل من عناصر المجموعة B لا ينتمي الى المجموعة A. سوف تمثل هذه العلاقة على الصورة: .

مثال 7: إذا كانت: X}عدد زوجي : A = { X و X} عدد صحيح : B = { X فان : المجموعة A مجموعة جزئية فعلية من المجموعة B و ذلك لان كل عدد زوجي هو عدد صحيح, والعدد 5 ينتمي للمجموعة B و لا ينتمي للمجموعة A.

1.8 مجموعات خاصة: كثيرا ما نستخدم بعض المجموعات المعروفة والخاصة في الرياضيات, سوف نذكر منها: مجموعة الاعداد الطبيعية N حيث: مجموعة الأعداد الصحيحة Z حيث:

1.8 مجموعات خاصة: مجموعة الأعداد النسبية Q حيث: مجموعة الأعداد غير النسبية : و هي مجموعة الأعداد التي لا يمكن صياغتها على صورة الأعداد النسبية.

مثال : مجموعة الأعداد الحقيقية R. مجموعة الأعداد الحقيقية تساوي مجموعة الأعداد النسبية و غير النسبية. مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة R+ حيث :

ملاحظة : مثال 8 : اكتب عناصر كل من المجموعات التالية:

الحل: حيث قمنا بحل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام و من ثم انتقاء الجذر الموجب منها.

تدريب 3 • إذا كانت , فأي من العبارات التالية صحيح .

مثال 9: إذا كانت اوجد كل المجموعات الجزئية من المجموعة A. اوجد كل المجموعات الجزئية الفعلية من المجموعة A.

الحل : المجموعات الجزئية من المجموعة A : المجموعات الجزئية الفعلية من المجموعة A :

ملاحظة : • تسمى المجموعة التي تحتوي على عنصر واحد فقط بالمجموعة الأحادية. • المثال السابق يحتوي على 3 مجموعات أحادية و هي .

تعريف 1.2 : مجموعة القوة لمجموعة ما مجموعة القوة للمجموعة X هي مجموعة كل المجموعات الجزئية من المجموعة X . يرمز لمجموعة القوة الخاصة بالمجموعة X على الصورة :X ) )P .

ملاحظة : يمكن التعبير عن تلك المجموعة بالصورة التالية : مثال 10: اوجد مجموعة القوة للمجموعة الحل :

ملاحظة : إذا كان عدد عناصر المجموعة A يساوي N من العناصر فان عدد المجموعات الجزئية الممكن الحصول عليها يساوي 2N. مثال 11 : اثبت صحة العبارة التالية :

الحل : أولا: اثبت أن و بالتالي يتحقق المطلوب.

مثال 12 : اثبت ان الحل: اذن لاي عنصر X تكون العبارة صحيحة منطقيا.

و حيث ان العبارة عبارة خاطئة تكون عبارة خاطئة منطقيا و ذلك لكي نحافظ على صحة الجملة الشرطية السابقة . عبارة صحيحة و بالتالي يكون

تدريب 3 حدد صحة او عدم صحة العبارات التالية:

2 - جبر المجموعات جبر المجموعات بعد الانتهاء من التعريفات الاساسية المتعلقة بالمجموعة, نصل الى موضوع جبر المجموعات لندرس من خلاله كيفية تعريف العمليات الاساسية على المجموعات كالاتحاد و التقاطع و فرق المجموعات وصولا الى مكملة المجموعة.

2.1 اتحاد مجموعتين اتحاد مجموعتين A , B هي المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر التي تنتمي الى المجموعة A او المجموعة B ( او كليهما معا ). يرمز للاتحاد بين المجموعتين A , B على الصورة.

مقرر رياضيات منفصلة (1280) المجموعات والعمليات المعرفة عليها الوحدة الثالثة إعداد : د. حازم إسماعيل الشيخ أحمد منطقة