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Méthodes de Monte Carlo et Croissance Cristalline

Méthodes de Monte Carlo et Croissance Cristalline. Philippe Peyla LPM2C - LSP Université Joseph Fourier. Epitaxie par jets moléculaires. Flux F d’atomes. D. Substrat (T). Epitaxie par jets moléculaires. Substrat (T). Epitaxie par jets moléculaires. Substrat (T).

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Méthodes de Monte Carlo et Croissance Cristalline

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Presentation Transcript

  1. Méthodes de Monte Carloet Croissance Cristalline Philippe Peyla LPM2C - LSP Université Joseph Fourier

  2. Epitaxie par jets moléculaires Flux F d’atomes D Substrat (T)

  3. Epitaxie par jets moléculaires Substrat (T)

  4. Epitaxie par jets moléculaires Substrat (T)

  5. Epitaxie par jets moléculaires Substrat (T)

  6. Epitaxie par jets moléculaires

  7. Epitaxie par jets moléculaires

  8. Epitaxie par jets moléculaires Flux F d’atomes D Substrat (T)

  9. Phénomène à l’équilibre Si le flux F d’atomes incidents est très faible (F/D<<1): Le système a le temps d’atteindre l’équilibre thermodynamique

  10. Phénomène hors équilibre Si le flux F d’atomes incidents est très grand (F/D>>1): Le système n’a pas le temps d’atteindre l’équilibre thermodynamique

  11. Phénomène à l’équilibre Si le flux F d’atomes incidents est très faible (F/D<<1): Tension de ligne minimum (i.e. nbre de liaisons chimiques non-satisfaites) Haute Température Un seul îlot circulaire

  12. Phénomène à l’équilibre Si le flux F d’atomes incidents est très faible (F/D<<1): D=D0 exp(-ED(Nv)/kBT) ED(Nv>1) >> kBT Diffusion limitée par agrégation

  13. Diffusion limitée par agrégation Avec 108 atomes

  14. Phénomène à l’équilibre Si le flux F d’atomes incidents est très faible (F/D<<1): Tension de ligne minimum (i.e. nbre de liaisons chimiques non-satisfaites) Réseau carré Un seul îlot carré

  15. Phénomène hors équilibre Le flux d’atomes incidents est suffisamment important pour créer plusieurs îlots (F/D>1): Plusieurs îlots de formes quelconques N=[F/D]a

  16. Situation d’équilibreBilan détaillé Wr,s Configuration (métat) r pr=(1/Z) exp(-Er/kBT) Configuration (métat) s ps=(1/Z) exp(-Es/kBT) Ws,r Variation d’entropie : dS/dt=kBSrSs [pr Wr,s –ps Ws,r] log Pr

  17. Bilan détaillé Wr,s Configuration (métat) r pr=(1/Z) exp(-Er/kBT) Configuration (métat) s ps=(1/Z) exp(-Es/kBT) Ws,r Variation d’entropie : dS/dt=kBSrSs [pr Wr,s –ps Ws,r] log Pr=0 A l’équilibre thermodynamique

  18. Bilan détaillé pr Wr,s –ps Ws,r=0

  19. Bilan détaillé pr Wr,s –ps Ws,r=0 Wr,s/Ws,r=ps/pr=exp[-(Es-Er)/kBT]

  20. Systèmes dont on recherche l’équilibre : Méthode Monte Carlo de Metropolis[J. of the Am. Stat. Assoc., 44, 335 (1949)] OK avec proba Wr,s=exp[-DE/T) E2 DE E1 E2 OK! Wr,s=1 Configuration r Configuration s

  21. Système hors de l’équilibre Energie Pot. Thermo. t EB Es Au temps t1 (N atomes) Er r configuration s Temps d’échappement d’Eyring- Kramers t-1=w0 exp[-EB/kBT]

  22. Système hors de l’équilibre Energie Pot. Thermo. t’ E’B Au temps t2 (N+1 atomes) E’r E’s r configuration s Temps d’échappement d’Eyring- Kramers t’-1=w0 exp[-E’B/kBT]

  23. Monte-Carlo cinétique Méthode Bortz-Kalos-LebowitzJ. of comp. Phys. 17, 10 (1975) Evénement : • arrivée d’atome, • un pas de diffusion, • ... Probabilité pour qu’il y ait événement entre 0 et t : p(t) Probabilité pour qu’il n’y ait pas événement entre 0 et t : q(t)

  24. Monte-Carlo cinétiqueMéthode Bortz-Kalos-Lebowitz(J. of comp. Phys. 17, 10 (1975) Pour un seul type d’événement de fréquence f. Indépendance statistique : q(t+dt)=q(t) q(dt)

  25. Monte-Carlo cinétiqueMéthode Bortz-Kalos-Lebowitz(J. of comp. Phys. 17, 10 (1975) Pour un seul type d’événement de fréquence f. Indépendance statistique : q(t+dt)=q(t) q(dt) dq/dt=[q(t+dt)-q(t)]/dt=q(t) [q(dt)-1]/dt

  26. Monte-Carlo cinétiqueMéthode Bortz-Kalos-Lebowitz(J. of comp. Phys. 17, 10 (1975) Pour un seul type d’événement de fréquence f. Indépendance statistique : q(t+dt)=q(t) q(dt) dq/dt=[q(t+dt)-q(t)]/dt=q(t) [q(dt)-1]/dt Si f est la fréquence de l’événement p(dt)=f dt dq/dt=q(t) (-f)

  27. Monte-Carlo cinétiqueMéthode Bortz-Kalos-Lebowitz(J. of comp. Phys. 17, 10 (1975) Pour un seul type d’événement de fréquence f. Indépendance statistique : q(t+dt)=q(t) q(dt) dq/dt=[q(t+dt)-q(t)]/dt=q(t) [q(dt)-1]/dt Si f est la fréquence de l’événement p(dt)=f dt dq/dt=q(t) (-f) q(t)=exp(-f t) [q(t=0)=1]

  28. Monte-Carlo cinétiqueMéthode BKL Pour plusieurs type d’événements de fréquence f1, f2,…, fM F= f1+ f2+…+ fM Evénements statistiquement indépendant : q(t)=exp(-F t) [q(t=0)=1]

  29. Monte-Carlo cinétiqueMéthode BKL F Un atome arrive sur le site i fD fa Un atome diffuse de i en j On choisit au hasard un nombre entre 0 et 1: c’est q(t) => t=-ln[q]/F temps où un événement va se produire

  30. Monte-Carlo cinétiqueMéthode BKL F fD fa On choisit au hasard un nombre entre 0 et 1: c’est q(t) => t=-ln[q]/F temps ou un événement va se produire On choisit au hasard un nombre entre 0 et F : C’est l’événement qui se produit

  31. Monte-Carlo cinétiqueMéthode BKL

  32. Monte-Carlo cinétiqueMéthode BKL

  33. Monte-Carlo cinétiqueRHEED Simulé Dmitri Vvedensky et al Phys. Rev. B 46, 6815 (1992)

  34. Monte-Carlo cinétiqueMéthode BKL • On peut utiliser la méthode BKL à l’équilibre thermodynamique • Avantage : On choisit quand l’événement se produit • Inconvénient : Il faut faire un catalogue de tous les événements • Possibles à chaque nouveau temps. • (Difficile dans le cas des intéractions longues portées)

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