第 2 章 投影理论基础

1. 第2章 投影理论基础 内容提要：本章主要介绍投影法的基本知识，并将投影法直接应用于基本几何体的投影及形成立体表面的基本要素——点、直线、平面的投影分析，从而为组合体的投影表达、读图分析提供必要的理论基础及方法。 投 影 法 2.1 三面投影的形成及投影规律 2.2 基本平面立体的投影 2.3 立体表面构成要素的投影分析 2.4 基本曲面立体的投影及其表面上的点与线 2.5

2. 2.1 投影法 2.1.1 投影法的形成及分类 2.1.2 投影图形成的三要素 2.1.3 正投影法的基本性质 2.1.4 投影法的应用

3. 承影面 投影面 光线 投射线 S 投射中心 光源 投影(图) 物体 影子 形体 2.1.1 投影法的形成及分类 图2.1产生影子的自然现象 图2.2投影的构成要素（中心投影法）

4. 投射线 投射线 投射方向 投 投影(图) 射 投影(图) 方 向 中心投影法 斜投影法 平行投影法 投影法 平行投影法 正投影法 投影面 投影面 形体 形体 a)斜投影法 b)正投影法 图2.3平行投影法

5. 2.1.2 投影图形成的三要素 投影图形成的三要素：形体、投影方向（或投射中心）、投影面 2.1.3 正投影法的基本性质 表2.1正投影的基本性质

6. 表2.1(续)

7. 1. 中心投影法的应用—透视图 2. 斜投影法的应用---斜轴测图 王成刚制作 2.1.4 投影法的应用 图2.4 透视图 图2.5 斜轴测图

8. 3. 正投影法的应用---正投影图、正轴测图、标高投影图 模型动画 图2.6正投影图

9. 正投影法用于正轴测图 图2.7正轴测图

10. 正投影法用于标高投影图 图2.8标高投影图

11. 2.2 三面投影的形成及投影规律 2.2.1 三面投影面体系的建立 2.2.2 立体三面投影的形成及投影规律

12. 2.2.1 三面投影面体系的建立 图2.9单面正投影 图2.10三维坐标系

13. 两两垂直的三个坐标轴分别构成了XOY、XOZ、YOZ三个互相垂直的平面。由这三个互相垂直的平面组成的投影面体系称为三面投影体系两两垂直的三个坐标轴分别构成了XOY、XOZ、YOZ三个互相垂直的平面。由这三个互相垂直的平面组成的投影面体系称为三面投影体系 XOZ：称正立投影面，也称V面； XOY：称水平投影面，也称H面； YOZ：称侧立投影面，也称W面。 图2.11 三面投影体系

14. 2.2.2 立体三面投影的形成及投影规律 立体三面投影的形成

15. 2.2.2 立体三面投影的形成及投影规律 立体三面投影的形成

16. 图2.12 立体三面投影的形成 a) 立体图 b) 三面投影的展开图 c)三面投影 V面投影：即从前往后投射，在V面上所得的投影，反映长和高(x、z)； H面投影：即从上往下投射，在H面上所得的投影，反映长和宽(x、y)； W面投影：即从左往右投射，在W面上所得的投影，反映高和宽(y、z)。

17. y 后 前 x 左 右 上 上 z z 下 下 后 y x 左 右 前 图2.12 立体三面投影的投影规律 高平齐 长对正 宽相等 b) 方位及对应关系 a) 坐标及方位关系 c) 投影规律 V面投影与H面投影共同反映立体的长，其投影在长度方向互相对正，简称长对正； V面投影与W面投影共同反映立体的高，其投影在高度方向互相平齐，简称高平齐； H面投影与W面投影共同反映立体的宽，其投影在宽度方向一一对应，且保持相等，简称宽相等。

18. 作立体的三面投影图： b) 三面投影图 a) 立体图 图2.13 立体的三面投影图

19. 三面投影图的投影轴的恢复： 图2.14三面投影图的投影轴

20. 2.3 基本平面立体的投影 • 2.3.1 立体的分类 • 2.3.2 基本平面立体的三面投影图

21. 棱柱 平面立体 棱锥 立体 回转体 曲面立体 非回转体 2.3.1 立体的分类 平面立体：所有表面均为平面的立体 曲面立体：部分或全部表面为曲面的立体 基本立体：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和圆球等几何体

22. 2.3.2 基本平面立体的三面投影图 1.棱柱（正六棱柱）

23. 2. 棱锥（四棱锥）

24. 3. 棱台（四棱台）

25. 题意分析：从立体的轴测图可见，该立体由一个四棱台和一个空心的四棱柱构成。因此，只要作出四棱台和四棱柱的三面投影图就作出了整个立体的三面投影图。题意分析：从立体的轴测图可见，该立体由一个四棱台和一个空心的四棱柱构成。因此，只要作出四棱台和四棱柱的三面投影图就作出了整个立体的三面投影图。 [例2.1]如图a所示，根据平面立体的轴测图，作其三面投影图。 a)

26. 解题步骤： (1) 作四棱台的三面投影图. 如图b 、c、d所示 b) c)

27. 作四棱台的三面投影图， • 如图b 、c、d所示 (2) 作四棱柱的三面投影图 d) e)

28. (3) 擦去图过程线，将可见轮廓线画为粗实线，完成作图。 f)

29. 2.4 立体的表面构成要素的投影分析 • 2.4.1 立体表面上点的投影 • 2.4.2 立体表面上直线的投影 • 2.4.3 立体表面上平面的投影

30. 2.4.1 立体表面上点的投影 1．立体表面上点的投影及投影规律 [例2.2] 已知如图2.16a所示。求作顶点S的W面投影,并完 成三棱锥的W面投影。 • 题意分析：仔细分析图a，可以想象出整个三棱锥的空间模型，进而想出两种该题的解法。 a)

31. 空间模型

32. 方法一：根据三社图的投影规律高平齐、宽相等直接作图，如图2.16b 、c所示。 解题过程： b) c) 图2.16 求作点的投影

33. 方法二：恢复投影轴，再作图，如图2.16d、e、f。方法二：恢复投影轴，再作图，如图2.16d、e、f。 d) e) f) 图2.16 求作点的投影

34. 点的投影的连线垂直于投影轴 点的投影规律: 图2.17 点的投影规律 点的投影到投影轴的距离=空间点到相应投影面的距离

35. 2．点与点的相对位置 如图所示： 点S在点A之右、之上、之前； 点B与点A到H面的距离相等，且点B在点A之右、之前； 点C在点A的正右方。 由于C点与A点在W面上的投影重合，因此，称点C与点A为W面的重影点。 因点A在左、点C在右，于是在W面上点A的投影可见、点C的投影不可见，用（c″）表示。 图2.18 点与点的相对位置

36. [例2.3]根据所给已知条件作点的三面投影，并连线构成立体。[例2.3]根据所给已知条件作点的三面投影，并连线构成立体。 已知点A的二面投影如图；点B的坐标为(26,8,4)；点C在H面上，且到V面、W面的距离均为4；点D在点A之下9、点D在点B之右13、点D在点C之前17。 • 题意分析：点A已知两个投影a和a’，可以根据高平齐、宽相等作出点A的W面投影。点B坐标已知，点C的坐标为（4，4，0），可根据点的三面投影的基本规律，作B、C的投影。点D的相对位置已知，可根据A、B、C的投影作出点D的投影。

37. (4) 在a′之下9处画一与X轴平行的直线，在b′之右13处画一与Z轴平行的直线，两线之交点即为d′，在点C的水平投影c之前17处作一与X轴平行的直线，得点D的水平投影d，据d、d′作d″； 13 4 26 8 17 9 (1)根据高平齐、宽相等作点A的W面投影a″ 解题过程： (2)取Obx=26，过bx作X轴的垂线，取b′bx=4、bbx=8，再根据b、b′作b″； (5)在三个投影面上分别连线，则得三棱锥ABCD的三面投影。 (3)点C的坐标为(4,4,0)，作法同点B； 图2.19 求作点的三面投影

38. [例2.4]如图2.20所示，求直线AB的W面投影。 2.4.2 立体表面上的直线的投影 a）题图 b) 解题过程 图2.20 求直线AB的W面投影

39. 立体图

40. 1.直线的投影 图2.21 直线的投影

41. 2. 直线与投影体系的关系 （1） 直线的分类及倾角 一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线(简称一般线) 直线投影面平行线：仅平行于一个投影面的直线 特殊位置直线(∥V：正平线；∥H：水平线；∥W：侧平线) 投影面垂直线：垂直于一个投影面的直线 (⊥V：正垂线；⊥H：铅垂线；⊥W：侧垂线) 倾角：直线与投影面的真实夹角，也就是空间直线与其在投影面上的 投影的夹角。 直线与H、V、W面的倾角分别用、、表示。

42. 表2.3 投影面平行线的投影 （2）投影面平行线的投影

43. 空间模型

44. 表2.4 投影面垂直线的投影 （3）投影面垂直线的投影

45. 空间模型

46. Y X Z Za-Zb Z= Z 一般位置直线的投影 c) a) b) 图2.22 一般位置直线的投影

47. 3 直线上的点的投影 a) 立体图

48. Z Yw X YH c)直线的投影图 b)立体的三面投影图 图2.23 直线上的点的投影

49. [例 2.5] 如图a，分别求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC一的点D、E、F的另二面投影。 • 空间分析： a)

50. 解题过程 c) 运用定比分点求E点的投影 b) 作点D、E、F的投影 图2.26 求作直线上的点投影