Tests de comparaison de moyennes

1. Tests de comparaison de moyennes Dr Marc CUGGIA PACES 2013-2014

2. Comparaison d’une moyenne observée à une moyenne théorique (ou donnée) • Soit un échantillon E de taille n, tirée d’une population inconnue P’ de moyenne μp’ sur lequel on a mesuré une variable quantitative de moyenne m et de variance s2e • Soit une population P de référence, dans laquelle la moyenne pour cette variable quantitative est connue (μP) • Problème posé : L’échantillon E provient il de la population P ? • Y a t il une différence significative entre la moyenne m mesurée sur l’échantillon (tirée de P’) et μP ?

3. Comparaison d’une moyenne observée à un moyenne théorique (ou donnée) • 2 hypothèses : • Ho : (hypothèse nulle) • l’échantillon provient de la population P • les deux populations étudiées P et celle inconnue sont les mêmes • μP’=μP • H1 : (hypothèse alternative) • L’échantillon provient d’une population P’ différente de P • les deux populations P’ et P sont différentes • μP’≠μP

4. Comparaison d’une moyenne observée à un moyenne théorique (ou donnée) • Le choix entre les 2 hypothèses se résout par un test statistique. Le test s’effectue en plusieurs étapes : • On définie Ho et H1 • On calcule un certain indicateur U, exprimant l’écart des moyennes, et dont on connaît la distribution sous Ho • On choisit un seuil de probabilité (ou un risque) pour le test statistique : en général α=5% ou α=1% • α est le risque de rejeter Ho à tord (cad que Ho est en fait vrai)

5. 4. On cherche dans la table de la distribution du paramètre choisi la valeur pour le risque α. ex : Uα=1,96 si α=5% veut dire que du seul fait du hasard, IUI a moins de 5 chances sur 100 d’être > à 1,96

6. 5. On compare l’indicateur calculé à l’indicateur donné (par ex la moyenne) par la table adéquate : 2 situations Si I indicateurcalculéI ≥ indicateurtabulé  on rejette Ho, et on accepte H1 car on sait que du seul fait du hasard, l’indicateur calculé a une probabilité < α d’atteindre l’indicateur tabulé On rejette Ho au risque α choisi (Ho est fausse au risque α) Si I indicateurcalculéI < indicateurtabulé  on accepte Ho On ne dit jamais que Ho est vraie On dit « on ne peut pas rejetter Ho », ou on ne met pas en évidence de différence significative entre μP et μP’

7. comparaison de moyennesCas des grands échantillons (n≥30) • On utilise en premier lieu le test de Z • on sait sous Ho, • on fixe α • α=5%  Zα=1,96 • α=1%  Zα=2,57 • Si IZoI≥1,96 • On rejette Ho au risque α choisi • On conclut qu’il existe une différence significative entre μP et μP’ • IZoI<1,96 • on ne met pas en évidence de différence significative entre μP et μP’ Z~N(0;1)

8. Petits échantillons (n<30) et P est normale • Dans ce cas, compte tenu du faible effectif de l’échantillon, les conditions d’applications ne sont pas respectées. • Il est alors nécessaire de supposer que la distribution de la variable étudiée suit une loi normale • et que la variance inconnue (σP’) soit égale à σP(on dit qu’il existe une égalité des variances ou une homoscedasticité entres les 2 populations)

9. Petits échantillons (n<30) et P est normale • Si ces 2 conditions sont réunies, sous Ho, l’indicateur calculé est t suit une loi de Student à (n-1) ddl • on calcule to • On cherche dans la table de student le ttabuléà (n-1) ddl pour le risque α chosi • On compare to à ttabulé • si ItoI≥ttabulé on rejette Ho  il n’existe pas de difference significative au seuil α entre • si ItoI < ttabulé on ne peut pas rejeter Ho. • On ne met pas en évidence de différence significative entre μP et μP’ au seuil α choisi

10. Petits échantillons (n<30) et P est normale : exercice • Le temps de réaction moyen d’un animal à un certain stimulus est μ=23,7s • On mesure les temps de réaction chez 100 souris par un traitement médicamenteux X • On trouve : m=22,9s, et s2=13,98s2 • La drogue X modifie-t-elle le temps de réaction ? • Même question si l’effectif est de 16 souris • on calcule zo sous Ho les hypothèses sont : Ho = L’échantillon des 100 souris provient d’une population P’ identique à la population P (la drogue ne semble donc pas modifier les temps de réactions) H1= L’échantillon est tirée d’une population P’ différente de la population P. Le fait de donner le traitement X semble modifier les temps de réactions

11. Le test Z est choisi car comparaison de moyenne à une moyenne théorique et grand échantillon (n=100) • Ztabulé=Zα=5%=1,96 • Zo>Ztabulé on rejette Ho au risque 5% « au seuil 5%, le traitement X modifie es temps de réaction au stimulus »

12. exemple • Cas où n=16 • Petit échantillon  test t de student • Ho et H1 idem • tα=5%;ddl=15=2,13 • ItoI<ttabulé au risque 5% on ne met pas en évidence de modification du temps de réaction par X • remarque quand n diminue, la puissance (1-β) diminue, et donc il est plus difficile de montrer une différence significative

13. Zone de non rejet d’Ho Zone de rejet d’Ho

14. Comparaison de moyennes observées sur deux échantillons indépendants P1 μ1? σ1? P2 μ2? σ2? • On dispose de deux échantillons E1 et E2 tirés de deux populations (P1 et P2) de moyennes et de variances inconnues (μ1;σ1) et (μ2;σ2) • Le pb posé est de savoir si les deux échantillons proviennent de deux population similaires ou différentes? • Y-a-t il une différence significative entre les moyennes des deux populations ? m2 s2 n2 m1 s1 n1 E1 E2

15. Comparaison des moyennes observées sur deux échantillons indépendants : Grands échantillons (n1 et n2 >=30) • Ho : • Les deux échantillons proviennent de la même population • P1 et P2 sont identiques • Il n’y pas de différence significative entre les moyennes des deux populations P1 et P2 • H1 : Les deux échantillons proviennent de deux populations différentes

16. Comparaison des moyennes observées sur deux échantillons indépendants : Grands échantillons (n1 et n2 >=30) • Choix du test Z de comparaison de moyennes sur deux échantillons indépendants • Ztabulé=Zα=5%=1,96 • Comparer IzoI à Ztabulé • Si IZoI≥1,96 • On rejette Ho au risque α choisi • On conclut qu’il existe une différence significative entre μP1 et μP2 • IZoI<1,96 • on ne met pas en évidence de différence significative entre μP1 et μP2

17. Comparaison des moyennes observées sur deux échantillons indépendants : Grands échantillons (n1 et n2 >=30) - Exercice • Poids des nouveau nés mesurés dans une maternité • Comparaison entre les moyennes des poids des NN filles et garçons • Question : à partir de deux échantillons, peut on déduire une différence significative en général des poids des NN selon le sexe ?

18. Garcons: n1=41 m1=3,4kgs1=0,385 kg Filles: n2=65 m2=3,36kg s2=0,363 kg Peut on déduire une différence de poids significative entre ces 2 populations ? Ho: pas de différence H1: il existe une différence zo=0,54 Ztabulé=Zα=5%=1,96 Zo<Zα=5%  on ne rejette pas Ho Donc au seuil 5%, on ne montre pas de différence significative entre les poids des NN selon le sexe

19. Comparaison des moyennes observées sur deux échantillons indépendants : petits échantillons (n1 oun2 < 30) • Les tests utilisés sont fonction de deux conditions d’applications • La normalité de la distribution de la variable étudiée dans la population d’origine • l’égalité des variances des populations (homocedasticité) Normalité ? test Kolmogorov Smirnoff oui non égalité des variances Test F de Snedecor Test de mannwhitney non oui test de Cochran test T de Student

20. Comparaison des variances • Les variances σ21 et σ22 des deux populations étudiées sont inconnues • On les estime à partir des échantillons en calculant s21 et s22 • On les compare avec un test de F de snedecor • L’indicateur calculé est • Ho : égalité des variances • H1 : inégalité des variances • Sous Ho, F suit une loi de distribution qui est tabulée en fonction de α,ν1 et ν2 • ν1 degrés de liberté de la variance du numérateur= taille de l’échantillon le plus grand -1 • ν2 degrés de liberté de la variance au dénominateur= taille de l’échantillon le plus petit -1

21. Comparaison des variances • Par construction, on lit la valeur seuil en bilateral sur une table de F au risque de 2,5% • Si Fc<Fα=2,5%; ν1ν2 • On accepte Ho : il y a égalité des variances • Si Fc≥Fα=2,5%; ν1ν2 • On rejette Ho, on accepte H1 • Les variances sont différentes au seuil α • Dans ce cas on effectue un test de cochran (hors programme)

22. Test t de student • Pour effectuer le test t, on estime la variance commune s2 de la population par : • Sous Ho, les 2 échantillons de moyennes m1 et m2 proviennent d’une même population de moyenne μ • ou il n’existe pas de différence significative entre les moyennes des 2 populations • Sous H1, les 2 échantillons proviennent de 2 populations différentes

23. to suit une loi de student à n1+n2-2 ddl

24. pour un risque α donné on va chercher la valeur de tα à n1+n2-2 ddl • on compare to avec tα • si ItoI>tα, on rejette Ho et l’on conclut qu’il existe une différence significative au seuil α entre les 2 moyennes • si ItoI<tα , on ne rejette pas Ho  il n’y a pas de différence significative au seuil α entre les 2 moyennes

25. Normalité ? test Kolmogorov Smirnoff oui non égalité des variances Test F de Snedecor Test de mannwhitney non oui test de Cochran test T de Student

26. test de Mann et Whitney • Utilisé lors que la distribution n’est pas normale ou inconnue • Test non paramétrique • La comparaison ne s’effectue pas sur la variable elle-même • Mais sur les rangs des valeurs • Après avoir classé les valeurs prises par la variable par ordre croissant ou décroissant

27. test « tout terrain » utilisable quelque soit la nature de la distribution • test non paramétrique car ne fait appel à aucun des paramètres de la distribution (ex m ou σ2)

28. exemple • On souhaite comparer les notes obtenues à un test psychomoteurs par des patients atteints de la maladie A et B • On classe l’ensemble des notes par valeurs croissants

29. Ici il y des rangs ex-equo • On effectue les calculs intermédiaires suivants • TA=ΣRang A=3,5+7+7+9+10+11+12=59,5 • TB=Σrang B=1+2+3,5+5+7=18,5 • Puis les statistiques UA et UB

30. exemple • On souhaite comparer les notes obtenues à un test psychomoteurs par des patients atteints de la maladie A et B • On classe l’ensemble des notes par valeurs croissants

31. exemple • On souhaite comparer les notes obtenues à un test psychomoteurs par des patients atteints de la maladie A et B • On classe l’ensemble des notes par valeurs croissants

32. on détermine la statistique U de mann & Whitney • Situation 1 : si nA ou nB< 10 • Uo=min (UA,UB) que l’on compare aux valeurs de la table • Sous Ho, les 2 échantillons proviennent d’une même population • la table donne les valeurs de U tel que • Proba(Uo≤Utable)=α (attention !!!)

34. pour lire Utable il faut déterminer m et n tels que • m=max(na,nb) • n=min(na,nb) • on lit Utable à l’intersection de m-n et n • si min(UA,UB)<Utable rejet de Ho au risque α • si min(UA,UB)>Utable on accepte Ho attention ici m n’est pas une moyenne !!!

35. Ici UA=3,5 m=7 n=5 m-n=2 α=5% Utable=5 UA<Utable on rejette Ho au seuil α il existe une différence significative entre les maladies A et les maladie B

36. Situation 2 : nA et nB ≥10 • UA et UB suivent une distribution normale de • On compare Uo à la valeur de la table de la loi normale au risque α • Uo<Utabulé on accepte Ho • Uo>Utabulé  on rejette Ho et on accepte H1

37. Mann & WhitneyCas sans ex-aequo • En cas de non ex-aequo on peut calculer directement UA et UB (plus rapide) • On détermine • UAB le nombre nombre de fois où une valeur de rang du groupe B précède une valeur du groupe A • UBA le nombre nombre de fois où une valeur de rang du groupe A précède une valeur du groupe B

38. Seulement si pas d’ex aequo UAB = 0 + 0 + 1 + 2 + 2 + 3 = 8 UBA = 2 + 3 + 5 + 6 + 6 = 22 Equivalent à

39. Comparaison de moyennes de séries appariées • Situation ou l’on veut comparer des données de 2 échantillons qui sont « liés » • Essai thérapeutique ou le patient est son propre témoin : • on mesure une variable (ex glycémie) avant et après traitement • Les données recueillies avant et après sont dites appariées

40. Comparaison de moyennes de séries appariées : tests paramétriques • ex: on mesure la TAs avant et après 1 mois de traitement par le médicament X, sur N patients • Y-a-t il une différence significative entre les TAs avant et après traitement

41. Pour faire le test, on calcule les différences d1,d2,d3 On calcule

42. Sous Ho, il n’existe pas de différence significative entre la TA avant et après traitement • Dans ce cas la moyenne des d dans la population est nulle • H1 : il existe une différence des valeurs avant et après. Le traitement semble avoir un effet sur la TA

43. on calcule : • On choisit α et on lit dans la table tα à (n-1) dll. • On compare to et tα • Si to>tα on rejette Ho au risque α, on accepte H1 • si to<tα, on accepte Ho : il n’y a pas de difference significative entre la TAs avant et après traitement Qui suit une loi de Studentà (n-1) ddl Cela est vrai pour toute distribution des d si n>=30 Cela est vrai si la distribution des d suit une loi normale si n<30

44. Comparaison de moyennes appariées : test non paramétrique de Wilcoxon • Ne suppose aucune condition sur la distribution des di • Utilisé pour les petits échantillons, lorsqu’on ne peut pas vérifier ou qu’on ne connaît pas la distribution des di • Classement des di par ordre croissant • Détermination des rang des di • Si il existe des di de même valeur absolue, on leur affecte un rang moyen. • On enlève les d nulles, s’il en existe (il reste N’ di) • On calcule : R+ : somme des rangs des di positifs R- : Somme des rangs des di négatifs

45. si N’d≠0>25 • on montre que R+ et R- suivent une loi normale • on calcule Uo : • Puis on se reporte à la table de la loi normale

46. Si N’d≠0 ≤ 25 • On prend R=min(R+ et R-) • et on compare R à la table de Wilcoxon pour un α choisi. • Si R<Rtable on rejette Ho au risque α • Il existe une différence significative entre les valeurs • Si R>Rtableon accepte Ho, donc on ne met pas en évidence de différence significative entre les valeurs