1 / 38

PERMUTASI dan KOMBINASI

PERMUTASI dan KOMBINASI. Betha Nurina Sari,S.Kom. Kaleng 1. Kaleng 2. Kaleng 3. sama. sama. sama. Kelereng. 3 cara. m. h. Kaleng. 1. 2. 3. Ilustrasi.

salma
Download Presentation

PERMUTASI dan KOMBINASI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. PERMUTASI danKOMBINASI Betha Nurina Sari,S.Kom

  2. Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3 sama sama sama Kelereng 3 cara m h Kaleng 1 2 3 Ilustrasi Misalada 2 buahkelereng yang berbedawarna : merah (m) danhijau (h). Kemudiandimasukkankedalam 3 buahkaleng, masing-masingkaleng 1 buahkelereng.

  3. Ilustrasi (Cont.) Jumlahcaramemasukkan kelerengkedalamkaleng

  4. Definisi • Kombinasirelemendarinelemenadalah : • jumlahpemilihan yang tidakterurutrelemen yang diambildarinbuahelemen • Kombinasimerupakanbentukkhususdaripermutasi • Perbedaanpermutasidengankombinasi : • Permutasi : urutankemunculandiperhitungkan • Kombinasi : urutankemunculandiabaikan

  5. Definisi • Jumlahpemilihan yang tidakterurutdarirelemen yang diambildarin elemendisebutdengankombinasi-r: • C(n,r) dibaca “n diambil r”  r objekdiambildari n buahobjek

  6. Interpretasi Kombinasi • Persoalankombinasisamadenganmenghitungbanyaknyahimpunanbagian yang terdiridarirelemen yang dapatdibentukdarihimpunandengann elemen. Duaataulebihelemen-elemen yang samadianggapsebagaihimpunan yang samameskipunurutanelemen-elemennyaberbeda Contoh : Misal A = {1,2,3} Jumlahhimpunanbagiandengan 2 elemen yang dibentukdarihimpunan A : {1,2} = {2,1} {1,3} = {3,1} 3 buah {2,3} = {3,2}

  7. Interpretasi Kombinasi (Cont.) • Persoalankombinasidapatdipandangsebagaicaramemilihrbuahelemendarinbuahelemen yang ada, tetapiurutanelemendidalamsusunanhasilpemilihantidakpenting Contoh :Misalsebuahkelompokmemiliki 20 oranganggota, kemudiandipilih 5 orangsebagaidelegasi, dimanadelegasimerupakankelompok yang tidakterurut (artinyasetiapanggotadidalamdelegasikedudukannyasama). Sehinggabanyaknyacaramemilihanggotadelegasiyang terdiridari 5 anggotadelegasiyang terdiridari 5 oranganggotaadalah :

  8. Contoh 1 • Adaberapacaradapatmemilih 3 dari 4 elemenhimpunan A = {a,b,c,d} ?

  9. Solusi • Merupakanpersoalankombinasikarenaurutankemunculanketigaelementersebuttidakpenting {a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d} Sehingga :

  10. Contoh 2 • Berapacaramenyusun menu nasigoreng 3 kali semingguuntuksarapanpagi ?

  11. Solusi • Diketahui: • Nasigoreng = r = 3 kali • Haridalam 1 minggu = n = 7 hari Maka :

  12. Contoh 3 • Sebuahkarakterdalamsistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0) • Berapabanyakpola bit yang terbentuk ? • Berapabanyakpola bit yang mempunyai 3 bit 1 ? • Berapabanyakpola bit yang mempunyai bit 1 sejumlahgenap ?

  13. Solusi • 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7) • 1 bit terdiridari “1” atau “0” • Maka : • Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1 0 Posisi 0 dapatdiisidengan 2 cara (1 atau 0) Posisi 1 dapatdiisidengan 2 cara (1 atau 0) : Posisi 7 dapatdiisidengan 2 cara (1 atau 0) Semuaposisiharusdiisisehinggajumlahpola bit yang terbentuk : (2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28 b) Banyaknyapola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

  14. c) Banyaknyapola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0) Banyaknyapola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2) Banyaknyapola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4) Banyaknyapola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6) Banyaknyapola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8) Sehinggabanyaknyapola bit yang mempunyai bit 1 sejumlahgenap : C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) = 1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128

  15. Contoh 4 • Sebuahkelompok belajar beranggotakan7 priadan 5 wanita. Berapabanyakcaramemilihdelegasiyang terdiridari 4 orangdenganjumlahprialebihbanyakdaripadajumlahwanita ?

  16. Solusi • Pria = 7 orang • Wanita = 5 orang • delegasi= 4 orang, jumlahprialebihbanyakdaripadajumlahwanita • Maka : • delegasiterdiridari 4 orangpriadan 0 orangwanita  C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35 • delegasiterdiridari 3 orangpriadan 1 orangwanita  C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175 • Sehinggajumlahcarapembentukandelegasiseluruhnya : C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara

  17. Contoh 5 • Sebuahrumahrawat inappasien ada3 buahkamar A, B dan C. Tiapkamardapatmenampung 3 atau 4 orang. Berapajumlahcarapengisiankamaruntuk 10 orang ?

  18. Diketahui : • Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) • Penghuni = n = 10 orang • Misalkan : • Masing-masingkamardihuni 4, 3 dan 3 orang. Jumlahcara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3) • Masing-masingkamardihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlahcara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4) • Masing-masingkamardihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlahcara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3) • Sehingga total jumlahcarapengisiankamar : C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600 atau C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) = 3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600

  19. PermutasidanKombinasiBentukUmum • Misalnbuah bola tidakseluruhnyaberbedawarna(beberapabola yang warnanyasama) n1 bola diantaranyaberwarna 1 n2 bola diantaranyaberwarna 2 … nk bola diantaranyaberwarna k Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebutdimasukkankedalamnbuahkotak, masing-masingkotakberisi paling banyak 1 buah bola. Berapabanyakjumlahcarapengaturannbuah bola kedalamkotak-kotaktersebut ?

  20. Jikanbuah bola dianggapberbedasemua, makajumlahcarapengaturannbuah bola kedalamnbuahkotakadalah : P(n,n) = n ! • Karenatidakseluruh bola berbedamakapengaturannbuah bola : n1! caramemasukkan bola berwarna 1 n2! caramemasukkan bola berwarna 2 … nk! caramemasukkan bola berwarna k • Sehinggapermutasinbuah bola dikenaldenganpermutasibentukumum:

  21. Mula-mulamenempatkan bola-bola berwarna 1 kedalamnbuahkotak  ada C(n,n) cara n1buah bola berwarna 1 • Bola berkurang n1sehinggasisa n - n1kotak  ada C(n-n1, n2) carabuah bola berwarna 2 • Bola berkurang (n1 + n2 )sehinggasisa n - n1- n2 kotak  ada C(n-n1- n2, n3) carabuah bola berwarna 3 • Dan seterusnyasampai bola berwarna k ditempatkandalamkotak • Sehinggajumlahcarapengaturanseluruh bola kedalamkotakdikenaldengankombinasibentukumumadalah :

  22. Jika S adalahhimpunangandadengannbuahobjek yang didalamnyaterdiridarikjenisobjekberbedadantiapobjekmemilikimultiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlahobjekseluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) makajumlahcaramenyusunseluruhobjekadalah :

  23. Contoh 6 • Berapabanyakstring yang dapatdibentukdenganmenggunakanhuruf-hurufdarikataMISSISSIPPI ?

  24. Solusi • S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I} Huruf M = 1 buah Huruf I = 4 buah Huruf S = 4 buah Huruf P = 2 buah Sehinggan = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah jumlahelemenhimpunan S • Ada 2 cara : • Permutasi : Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah • Kombinasi : Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2) = 34650 buah

  25. Contoh 7 • Ada 12 lembarkartonakandiwarnaisehinggaada 3 diantaranyaberwarnamerah, 2 berwarnajingga, 2 berwarnaungudansisanyaberwarnacoklat. Berapajumlahcarapewarnaan ?

  26. Solusi • Diketahui : n1 = 3 n2 = 2 n3 = 2 n4 = 5 • Jumlahcarapewarnaan : n = 12

  27. Kombinasi Pengulangan • Misalkanterdapat r buah bola yang semuawarnanyasamadan n buahkotak • Jikamasing-masingkotakhanyabolehdiisi 1 buah bola makajumlahcaramemasukkan bola kedalamkotakadalah : C(n,r) • Jikamasing-masingkotakbolehlebihdari 1 buah bola, makajumlahcaramemasukkan bola kedalamkotakadalah : C(n+r-1, r) • C(n+r-1, r) adalahmembolehkanadanyapengulanganelemen  n buahobjekakandiambil r buahobjekdenganpengulangandiperbolehkan

  28. Contoh 8 • Ada 20 buahapeldan 15 buahjerukdibagikankepada 5 oranganak, tiapanakbolehmendapatlebihdari 1 buahapelataujeruk, atautidaksamasekali. Berapajumlahcarapembagian yang dapatdilakukan ?

  29. Solusi • Diketahui : n = 5 oranganak r1 = 20 buah apel r1 = 15 buah jeruk • 20 buahapeldibagikankepada 5 oranganak  C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20) • 15 buahjerukdibagikankepada 5 oranganak  C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15) • Jikasetiapanakbolehmendapatapeldanjerukmakajumlahcarapembagiankeduabuahtersebutadalah : C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3 = 41.186.376 cara

  30. Contoh 9 • Tokoroti “Lezat” menjual 8 macamroti. Berapajumlahcaramengambil 1 lusinroti ? (1 lusin = 12 buah)

  31. Solusi • Diketahui : n = 8 macamroti r = 1 lusin = 12 buahroti • Misalkanmacam-macamrotidianalogikansebagaikotak. Setiapkotakmungkinberisilebihdari 1 buahroti. • Sehinggajumlahcaramemilih 1 lusinroti (samadenganjumlahcaramemasukkan 1 lusinrotikedalam 8 macamroti) yaitu : C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)

  32. Contoh 10 • Ada 3 buahdadudilemparsecarabersama-sama. Berapabanyaknyahasilberbeda yang mungkinterjadi ?

  33. Solusi • Diketahui : n = 6  6 buahmatadadu r = 3  3 dadudilemparkanbersamaan • Sehinggabanyaknyahasilberbeda yang mungkinterjadiadalah : C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3) = C(8,3) = 56 cara

  34. Latihan • Ada 6 orangmahasiswajurusanTeknikInformatikadan 8 orangmahasiswajurusanTeknikElektro. Berapabanyakcaramembentukdelegasiyang terdiridari 4 orangjika : • Tidakadabatasanjurusan • SemuaanggotadelegasiharusdarijurusanTeknikInformatika • SemuaanggotadelegasiharusdarijurusanTeknikElektro • Semuaanggotapanitaharusdarijurusan yang sama • 2 orangmahasiswa per jurusanharusmewakili

  35. LATIHAN • Berapabanyakcaramembagikan 7 buahkarturemi yang diambildaritumpukankartukemasing-masingdari 4 orang ? (tumpukankartu = 52 buah) • Di ruangbacaTeknikInformatikaterdapat 4 buahjenisbukuyaitubuku Basis Data, bukuMatematikaDiskritdanbukuPemogramandengan Visual Basic. Ruangbacamemiliki paling sedikit 6 buahbukuuntukmasing-masingjenis. Berapabanyakcaramemilih 6 buahbuku ?

  36. Latihan (cont.) • Carilahjumlahhimpunanbagiandari A = {a,b,c,d,e} biladiletakkankehimpunan B dengan 2 elemen ? • Di dalamsebuahkelasterdapat 100 mahasiswa, 40 orangdiantaranyapria. • Berapabanyakcaradapatdibentuksebuahdelegasi10 orang ? • Ulangipertanyaan (a) jikabanyaknyapriaharussamadenganbanyaknyawanita • Ulangipertanyaan (a) jikadelegasiharusterdiridari 6 priadan 4 wanitaatau 4 priadan 6 wanita • Berapakahjumlahhimpunanbagiandarihimpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyaianggota paling sedikit 6?

  37. Latihan (Cont.) • Sebuahklubmobilantikbranggotakan 6 orangpriadan 5 orangwanita. Merekaakanmembentukdelegasiyang terdiridari 5 orang. Berapabanyakjumlahdelegasiyang dapatdibentukjikadelegasinyaterdiridari paling sedikit 1 priadan 1 wanita? • Sebuahkelompokterdiridari 7 orangwaitadan 4 orangpria. Berapabanyakdelegasi4 orang yang dapatdibentukdarikelompokitujika paling sedikitharusada 2 orangwanitadidalamnya?

  38. Latihan (Cont.) • Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapajumlahpengurutan 4 hurufjika : • Tidakadahurufpengulangan • Bolehadahurufpengulangan • Tidakbolehadahuruf yang diulangtetapihuruf d harusada • Bolehadahuruf yang berulang, huruf d harusada • Berapabanyak string yang dapatdibentukdarihuruf-hurufkata “WEAKNESS” sedemikiansehingga 2 buahhuruf “S” tidakterletakberdampingan ?

More Related