Program operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013

1. Projekt „AS KOMPETENCJI’’ Jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013 Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja dystrybuowana bezpłatnie

2. Elementy geometrii trójkąta

3. Spis treści Strona Asa Kompetencji Strona tytułowa Spis treści Dane informacyjne Cele prezentacji Trójkąt – wielokąt o trzech bokach Nierówność trójkąta Ważne elementy Punkty wewnętrzne trójkąta Proste Okrąg dziewięciu punktów Wykonawcy

4. Dane informacyjne Nazwa szkoły: Zespół Szkół Morskich ID grupy:97_80_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno – fizyczna Temat projektowy: Elementy geometrii trójkąta Semestr V, rok szkolny 2011-2012

5. Cele prezentacji Doskonalenie umiejętności wyszukiwania i opracowywania wybranych informacji Doskonalenie umiejętności pracy w grupie

6. ASASASADASDASDASASDASDASDASD Trójkąt – wielokąt o trzech bokach Trójkąt to najmniejsza figura wwypukła i domknięta, zawierająca pewne trzy ustalone i nie współliniowe punkty płaszczyzny. Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne sąsiednich boków nazywamy wierzchołkami trójkąta. Każdy trójkąt jest jednoznacznie wyznaczony przez swoje wierzchołki.

7. nazywamy bokami trójkąta, punkty wspólne W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych między bokami wynosi 180°, zaś długości boków muszą spełniać pewne zależności

8. Nierówność trójkąta W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą a, b i c zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta: a<b + c I analogicznie: a< c+a c< b+a Trójkąt o bokach, których długości wynoszą a,b i c istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są te trzy nierówności. Można je zapisać w równoważnej postaci: |b-c|<a<b+c W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą          ,           i           zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta: W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą          ,           i           zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta: W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą          ,           i           zachodzi następująca nierówność, zwana nierównością trójkąta: W każdym trójkącie o bokach, których długości wynoszą

10. Ważne elementy Wysokość trójkąta to prosta zawierająca jego wierzchołek i prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok. Słowem "wysokość" często też nazywany jest odcinek wysokości, łączący wierzchołek z punktem na prostej zawierającej przeciwległy bok; długość tego odcinka też nazywa się wysokością. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum tego trójkąta. Wysokość i ortocentrum

11. Środkowa trójkąta to prosta zawierająca wierzchołek trójkąta i środek przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe, które przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem ciężkości (środkiem masy, barycentrum) trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na dwie części, przy czym odcinek łączący barycentrum z wierzchołkiem jest dwa razy dłuższy od odcinka łączącego barycentrum ze środkiem boku. Środkowe i barycentrum

12. Symetralna boku trójkąta to prosta prostopadła do tego boku i przechodząca przez jego środek. Każdy trójkąt ma trzy symetralne boków, przecinające się w punkcie będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Symetralne i okrąg opisany

13. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Dwusieczne i okrąg wpisany

14. PUNKTY WEWNĘTRZNE TRÓJKĄTA Środek okręgu wpisanego Środek okręgu opisanego

15. Punkt Nagela - punkt w którym przecinają się proste łączące wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków z odpowiednimi okręgami dopisanymi.

16. Punkt Gergonne'a - punkt przecięcia prostych łączących wierzchołki z punktami styczności przeciwległych boków do okręgu wpisanego w trójkąt.

17. Punkty Brocarda - w trójkącie ABC o bokach a, b, c znajduje się dokładnie jeden taki punkt P, że proste AP, BP, CP z bokami odpowiednio c, a, b tworzą równe kąty.

18. Proste Prosta Eulera – w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie prosta, która przechodzi przez ortocentrum danego trójkąta (wyznaczone na rysunku przez odcinki niebieskie), środek okręgu opisanego (linie zielone), środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia jego środkowych – linie pomarańczowe) oraz środek okręgu dziewięciu punktów.

19. Prosta Cevy (czewiana) - prosta przechodząca przez wierzchołek trójkąta i przecinająca przeciwległą do tego wierzchołka prostą zawierającą bok trójkąta. Czewianami lub cevianami bywają nazywane także odpowiednie półproste i odcinki np. czewianą jest środkowa trójkąta (odcinek), lub dwusieczna kąta wewnętrznego (półprosta). Przykładami prostych Cevy są środkowe, dwusieczne, symediany, wysokości. Symediana to prosta Cevy będąca odbiciem symetrycznym środkowej trójkąta w dwusiecznej wychodzącej z tego samego wierzchołka. Symediany przecinają się w jednym punkcie, jak wiele innych charakterystycznych prostych Cevy.

20. OKRĄG DZIEWIĘCIU PUNKTÓW Aby narysować okrąg dziewięciu punktów należy:- zaznaczyć dowolne 3 punkty (A,B,C), które łączymy ze sobą rysując trójkąt ABC- na każdym boku zaznaczamy punkty środkowe K, L, M.- z wierzchołka C wyznaczamy wysokość na bok AB. Punkt rzutu prostokątnego z wierzchołka C na prostą zawierającą przeciwległy bok oznaczamy literą D.

21. - czworokąt KDLM jest trapezem równoramiennym, a jak wiemy na każdym trapezie równoramiennym da się opisać okrąg, więc punkty K,D,L, M, leżą na tym samym okręgu.- z wierzchołka A wyznaczamy wysokość na bok BC (punkt rzutu prostokątnego z wierzchołka A na prostą zawierającą przeciwległy bok oznaczamy literąE) i z wierzchołka B wyznaczamy wysokość na bok AC (punkt rzutu prostokątnego z wierzchołka B na prostą zawierającą przeciwległy bok oznaczamy literą F), ich rzuty będą również leżały na tym samym okręgu.

22. - zaznaczamy środek odcinka łączącego ortocentrum H z wierzchołkiem A i oznaczamy jako X, środek odcinka łączącego ortocentrum H z wierzchołkiem B i oznaczamy jako Y, środek odcinka łączącego ortocentrum H z wierzchołkiem C i oznaczamy jako Z.

23. Prezentacje wykonali Tomasz Pełnikowski i Jędrzej Szerszeń + konsultacje z resztą grupy.

24. Źródło: wikipedia.org