Download
1 / 38
380 likes | 700 Views
היום נדבר אל נושא אחד בתורת הגרפים. ובהמשך נשתמש בכלים אלו לפתרון כמה בעיות גאומטריות ובפרט להוכחת Szemeredi Trotter theorem. תזכורת. יהי G=(V,E) גרף. הגדרה 1 – שיכון של G במישור: הוא "ציור" של גרף אל המישור.
E N D
היום נדבר אל נושא אחד בתורת הגרפים. ובהמשך נשתמש בכלים אלו לפתרון כמה בעיות גאומטריות ובפרט להוכחת Szemeredi Trotter theorem
תזכורת יהי G=(V,E) גרף. הגדרה 1 –שיכון של G במישור: הוא "ציור" של גרף אל המישור. כך שהקדקדים מסומנים כנקודות וקשתות כקשתות ז'ורדן (עקומים) המחברות בין הנקודות המתאימות לקדקדים (בהתאם) הערה- קשת ז'ורדן Jordan arc – תמונה רציפה של קטע [0,1] בעצם לצורכינו, עקום רציף כלשהו במישור.
שיכון מישורי לא שיכון מישורי תזכורת הגדרה 2 -שיכון מישורי הוא שיכון של גרף בו אף זוג צלעות אינו נחתך אלה אם כן לזוג צלעות אלה יש קצה משותף (קדקד) ואז הן נחתכות רק בנקודה המתאימה לקצה זה.
תזכורת הגדרה 3 – גרף G=(V,E) נקרא גרף מישורי אם ל G קיים שיכון מישורי גרף מישורי 5K- לא גרף מישורי (הוכחה בהמשך)
תזכורת הגדרה 4 – פאה של גרף במישור (בשיכון) היא רכיב קשירות של מה שמתקבל מהמישור ע"י סילוק כל הנקודות שמייצגות את הגרף. (בשיכון מישורי, בעצם פאות הן המעגלים ה"מינימליים" ברכיבי קשירות של הגרף. פאה יכולה להיות חסומה (ע"י קשתות) ולא חסומה. פאה חסומה פאה לא חסומה
תזכורת הגדרה 5- דרגה של פאה f המסומנת ב d(f) הוא מספר הקשתות של הגרף הנוגעות בפאה.(קשת שנוגעת רק בפעה אחת נספרת פעמיים לדרגת אותה פאה). d(f1)=4 d(f2)=6 טענה- יהי G=(V,E) גרף מישורי כאשר בשיכון המישורי שלו F היא קבוצת הפאות אזי
למה 1- נוסחת אוילר בגרף G=(V,E) מישורי פשוט אם קבוצת פאות F (בכל רכיב קשירות של גרף זה) ,מתקיים: הוכחה בכיתה.
למה 2- תוצאה של נוסחת אוילר בגרף G=(V,E) מישורי פשוט מתקיים: הוכחה בכיתה.
הגדרות הגדרה 6- יהי G=(V,E) גרף, מספר החיתוכים של שיכון הגרף במישור הוא מספר החיתוכים בין צלעות הגרף בשיכון זה (לא כולל את הקצוות המשותפות)! כאשר נקודת חיתוך של K צלעות נספרת פעמים מספר החיתוכים = 0 מספר החיתוכים = 5
הגדרות הגדרה 6- יהי G=(V,E) גרף, Crossing number of G או בעברית אינדקס החיתוך של G המסומן Cr(G). הוא המספר המינימלי בין כל מספרי החיתוכים של שיכוני G במישור. בפרט אם G הוא מישורי אז Cr(G) = 0 . נוכיח לדוגמא שאינדקס החיתוך של K5 – גרף שלם על 5 קדקדים הוא 1 K5
Cr(K5) = 1 "=>" – נראה ש : ב K5 מספר הקדקדים |V|=5 , מספר הקשתות |E|=(5-1)*5/2=10 לכן |E|>3|V| - 6 = 9 לכן לפי למה 2 גרף זה אינו מישורי לכן הטענה נובעת. "=>" – נראה ש :
למה 3- חסם פשוט על אינדקס החיתוך בגרף G=(V,E) פשוט מתקיים: הוכחה בכיתה, בעזרת למה 2
משפט 1- The crossing lemma יהי G=(V,E) כך ש E>=4V גרף פשוט ו C קבוע מוגדר מתקיים: הוכחה בכיתה, בשיטה הסתברותית ו בעזרת למה 3 הערה : בעצם נוכיח עבור C=1/64 אך קיימות תוצאות אם קבוע יותר גדול
שאלה ומה אם גרפים שהם אינם פשוטים? מה הבעייתיות בגרפים אלה? האם גם ל multigraphs אפשר לתת חסם תחתון לאינדקס החיתוך בהסתמך רק על כמות הקשתות וכמות הקדקדים?
תשובה עקרונית התשובה לשאלות 1 ו 3 – לא! הבעייתיות היא בכך שבגרף מישורי אפשר להעביר מספר גדול כרצוננו של קשתות מקבילות. לדוגמה: בין שתי נקודות נתונות במישור אפשר להעביר מספר גדול כרצוננו של מעגלים שונים, כפונקציית רדיוס. ו כידוע מעגלים נחתכים רק ב שתי נקודות.
שאלה ומה עם ידוע לנו חסם על מספר הקשתות המקבילות? האם אפשר לעשות רדוקצייה מהבעיה אם גרף בעל מספר חסום של קשתות מקבילות בין כל זוג קדקדים, לבין בעיה על גרף פשוט? נוכיח משפט שיענה לנו אל שאלות אלה, למשפט זה נצתרך למה.
למה 4 (ללא הוכחה) - אי שוויון ינסן (Jensen inequality) הערה- בעצם גרסתו עבור כל פונקצייה קמורה f ו E סימון לתוחלת מתקיים. תזכורת – פונקצייה f היא קמורה אם עבור כל a ו b ו עבור כל l בין 0 ל- 1 מתקיים:
משפט 2- crossing lemma for graphs with bounded edge multiplicity יהי G=(V,E) גרף ו k חסם על מספר הקשתות המקבילות המקסימלי בין שני קדקדים ב G. מתקיים: הוכחה בכיתה, בשיטה הסתברותיתבעזרת משפט 1 ו למה 4
משפט 3- Szemeredi Trotter theorem תהי P קבוצה של m נקודות ב מישור ו L קבוצה של n ישרים במישור עבור I(P,L) כמות מקסימלית של זוגות (p,l) כך ש p נקודה מ P ו l ישר מ L ו p חל (נמצא) על l מתקיים: שאלה- איך נבצע רדוקצייה מבעיה זו לבעיות על גרפים שהוכחנו כעת? הוכחה בכיתה
נקודות ו ישרים במישור ישרים נקודות הגרף המתקבל קשתות קדקדים
דיון על הוכחה ושיטה את משפט Szemeredi-Trotter ניתן להוכיח בעוד כמה דרכים, חלקם אף נראה אם אשאר זמן. כעת נראה עוד כמה בעיות שניתן להוכיח בשיטת crossing numbers (אינדקסי החיתוך)
משפט 4- חילה של נקודות ומעגלי יחידה תהי P קבוצה של m נקודות ב מישור ו C קבוצה של n מעגלי יחידה במישור עבור I(P,C) ,כמות מקסימלית של זוגות (p,c) כך ש p נקודה מ P ו c מעגל מ C ו p חל (נמצא) על c מתקיים: הוכחה בכיתה – בצורה כמעט זהה לחלוטין להוכחת Szemeredi-Trotter רק בהתחשבות לקשתות מקבילות, ו מספר <= 2 של נקודות החלות על מעגל
קשתות מקבילות נקודות ומעגלים במישור מעגלים נקודות הגרף המתקבל קשתות קדקדים
הערה דרך שתי נקודות במישור ניתן להעביר 2 מעגלי יחידה (אם מרכז שונה) לכל היותר. לכן מספר קשתות מקבילות הוא לכל היותר 2! הסבר: תהי p1,p2 2 נקודות במישור ו o מרכז מעגל יחידה העובר דרך שתי נקודות אלו. יש רק 2 פתרונות למשוואה זו , ולכן רק 2 מעגלים. הערה: תכונה זו מתקיימת לקבוצה רחבה של צורות במישור , ולכן אפשר להשתמש בשיטה זו עבור מתן חסם עליון (אולי לא הדוק) על חילות נקודה על צורה עבור משפחה רחבה של צורות.
הערה,המשך בעצם טכניקה זו מראה לנו שאם אנו יודעים חסם קבוע כלשהו על כמות הקשתות המקבילות בגרף המתקבל מהבניה (כמות הצורות המקסימלית שאפשר להעביר דרך שתי נקודות). וידועה לנו גם חסם עליון על כמות כוללת של חיתוכים בין הצורות (כפונקציית מספר הצורות) – נסמנו ב X. אז מספר החילות של קבוצה P של n נקודות על קבוצה S של m צורות כאלו, נסמנו ב I(P,S) הוא חסום על ידי:
k שאלה )נחזור למשפט (Szemeredi Trotter נניח בקבוצת ישרים שלנו יש תת קבוצה של ישרים שאל כל אחד מהם חלים הרבה-מאוד נקודות, האם יכול להיות יותר מדי ישרים כאלה? כמה ישרים כאלה יכול להיות אם ידוע ש אל כל אחד מהם יש לפחות k נקודות?
תשובה: למה 4- חסם אל כמות ישרים אם הרבה נקודות נתונה קבוצה P של m נקודות וקבוצה L’ שהיא תת-קבוצה של קבוצת ישרים L , כך ש אל כל ישר מ L’ יש לפחות k נקודות מ P אזי גודל L’ חסום על ידי: הוכחה בכיתה, בעזרת משפט Szemeredi Trotter (תודה לחיים קפלן)
k שאלה וכמה סך הכל יש לנו נקודות כאלה שחלות על ישרים אם הרבה (לפחות k ) נקודות עליהם?
תשובה: למה 5- חסם על כמות נקודות שחלות על ישרים אם הרבה נקודות אל כל אחד נתונה קבוצה P של m נקודות וקבוצה L’ שהיא תת-קבוצה של קבוצת ישרים L , כך ש אל כל ישר מ L’ יש לפחות k נקודות מ P. אז כמות החילות של נקודות מ P על ישרים מ L’ נסמנה I(P,L’) , חסומה על ידי: הוכחה בכיתה, בעזרת למה 4 (תודה לחיים קפלן)
דיון כעת נעבור לבעייה אחרת שבעזרת השיטה שלמדנו ניתן לתת לה חסם יחסית טוב (אומנם ידועים גם חסמים יותר טובים) והיא בעיית ה distinct distances (מרחקים שונים) שהוגדרה במבוא. כלומר מהיא הכמות המינימלית של מרחקים שונים המושרה על ידי קבוצה של n נקודות במישור?
משפט- חסם תחתון יחסית טוב על בעיית המרחקים השונים תהי P קבוצה של n נקודות במישור ו תהיא D קבוצת המרחקים ש P משרה כלומר: , אז גודל D חסום על ידי. הוכחה בכיתה – בעזרת למה5 משפט 2 ועוד כל מני דברים
בניה נסמן |D|=t ונבצעה את הבניה הבאה: סביב כל נקודה מ P נבנה מעגלים כך שכל שאר הנקודות נמצאות על שפת מעגלים אלו, סביב כל נקודה יש לנו לכל היותר t מעגלים. שאר n-1 הנקודות לכל היותר t מעגלים הציור להמחשה בלבד, בפועל אנו מציירים מעגלים סביב כל נקודה ומקבלים קבוצה של לכל היותר tn מעגלים אם n(n-1) חילות של נקודות מ P עליהם נקודה שסביבה ציירנו מעגלים
בניה המשך נבנה גרף באותה צורה כמו מקודם (קשתות נקודות עוברות ל קדקדים וקשטות ביניהם ל קשטות בגרף) (נפטר מ מעגלים עם לכל היותר 2 חילות) קשתות הגרף הציור להמחשה בלבד, בפועל אנו מציירים מעגלים סביב כל נקודה ומקבלים קבוצה של לכל היותר tn מעגלים אם n(n-1) חילות של נקודות מ P עליהם
שאלה כמה קשתות מקבילות יכול להיות בין זוג קדקדים בגרף המתקבל?
תשובה מהעובדה ש בהינתן 2 נקודות u ו v במישור כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה מ u ו מ v נמצאות אל אותו ישר, שהוא האנך האמצעי של הקטע המחבר בין u ל v נובע כי לא יכול להיות יותר מ t כאלה. (כי אחרת היינו מקבלים יותר מ t נקודות אל אותו ישר זאת אומרת יותר מ t מרחקים שונים). u luv- האנך האמצעי של קטע המחבר בין u לv v
המשך זה לא נותן לנו חסם רצוי אומנם לפי למה4 אין לנו יותר מדי ישרים אם הרבה נקודות ולפי למה 5 אין לנו יותר מדי נקודות חילה כאלו. בו נשתמש בעובדות אלו כדי להפטר מכל הקשתות שמשתתפות בריבוי גבוהה. u luv- האנך האמצעי של קטע המחבר בין u לv v
