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概率论与数理统计第 10 讲

概率论与数理统计第 10 讲. 本讲义可在网址 http://math.shekou.com 或 ftp://math.shekou.com 下载. § 2.5 随机变量函数的分布. 一 , 随机变量的函数 在讨论正态分布与标准正态分布的关系时 , 已知有结论 : 若随机变量 X ~ N ( m , s 2 ), 则随机变量. 这里 , Y 是随机变量 X 的函数 , 对 X 的每一个取值 , Y 有唯一确定的取值与之对应 . 由于 X 是随机变量 , 其取值事先不确定 , 因而 Y 的取值也随之不确定 , 即 Y 也是随机变量.

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概率论与数理统计第 10 讲

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  1. 概率论与数理统计第10讲 本讲义可在网址http://math.shekou.com 或 ftp://math.shekou.com 下载

  2. §2.5随机变量函数的分布

  3. 一, 随机变量的函数在讨论正态分布与标准正态分布的关系时, 已知有结论: 若随机变量X~N(m,s2), 则随机变量 这里, Y是随机变量X的函数, 对X的每一个取值, Y有唯一确定的取值与之对应. 由于X是随机变量, 其取值事先不确定, 因而Y的取值也随之不确定, 即Y也是随机变量.

  4. 定义1如果存在一个函数g(X), 使得随机变量X,Y满足:Y=g(X), 则称随机变量Y是随机变量X的函数.注:在概率论中, 我们主要研究是随机变量函数的随机性特征, 即由自变量X的统计规律性出发研究因变量Y的统计性规律.

  5. 一般地, 对任意区间I, 令C={x|g(x)I}, 则{YI}={g(X)I}={XC},P{YI}=P{g(X)I}=P{XC}.因此, 随机变量Y与X的函数关系确定, 为我们从X的分布出发导出Y的分布提供了可能.例如, 设X是一随机变量, 且Y=X2, 则对于任意x0, 有

  6. 二, 离散型随机变量函数的分布设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xi}=pi, i=1,2,易见, X的函数Y=g(X)显然还是离散型随机变量.

  7. 如何由X的概率分布出发导出Y的概率分布? 其一般方法是先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值, 然后对Y的每一个可能取值yi, i=1,2,, 确定相应的Ci={xj|g(xj)=yi},于是 {Y=yi}={g(X)=yi}={XCi}, 从而求得Y的概率分布. 上述过程表明:Y的概率分布完全由X的概率分布所确定.

  8. 例1设随机变量X具有以下的分布律, 试求Y=(X-1)2的分布律. 解Y所有可能的取值0,1,4. 由 P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2

  9. 解Y所有可能的取值0,1,4. 由 P{Y=0}=P{(X-1)2=0}=P{X=1}=0.1, P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7, P{Y=4}=P{X=-1}=0.2 即得Y的分布律为

  10. 三, 连续型随机变量函数的分布一般地, 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量, 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型随机变量的情形, 此时我们不仅希望求出随机变量函数的分布函数, 而且还希望求出其概率密度函数.

  11. 设已知X的分布函数FX(x)或概率密度函数fX(x), 则随机变量的函数Y=g(X)的分布函数可按如下方法求得:FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y} =P{XCy}. (5.2)其中 Cy={x|g(x)y}.而P{XCy}常常可以由X的分布函数FX(x)来表达或用其概率密度函数fX(x)的积分来表达: 进而可求出y的密度函数.

  12. 当25p/4<y<9p时,

  13. 故随机变量Y的分布密度函数为

  14. 于是Y的密度函数 注意到0<x<4时, 即8<y<16时,

  15. 故

  16. 例4已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单调的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的均匀分布.证明 设Y的分布函数是G(y), 由于0Y1, 于是当y<0时, G(y)=0, 当y>1时, G(y)=1;又由于X的分布函数F是严格递增的连续函数, 其反函数F-1存在且严格递增. 于是, 对0y1,G(y)=P{Yy}=P{F(X)y} =P{XF-1(y)}=F(F-1(y))=y.

  17. 即Y的分布函数是 求导得Y的密度函数 可见, Y服从[0,1]上的均匀分布. 注:本例结论在计算机模拟中有重要应用.

  18. 定理1设随机变量X具有概率密度fX(x), x(-,+), 又设y=g(x)处处可导且恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)<0), 则Y=g(X)是一个连续型随机变量, 其概率密度为 其中x=h(y)是y=g(x)的反函数, 且 a=min(g(-),g(+)), b=max(g(-),g(+)).

  19. 证明 只证g'(x)>0的情况. 此时g(x)在(-, +)严格单调增加, 它的反函数h(y)存在, 且在(a,b)严格增加, 可导. 分别记X,Y的分布函数为FX(x), FY(y). 现在求Y的分布函数FY(y).因为Y=g(X)在(a,b)取值, 故当ya时, FY(y)=P{Yy}=0;当yb时, FY(y)=P{Yy}=1.当a<y<b时. FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y} =P{Xh(y)}=FX[h(y)].

  20. 当ya时, FY(y)=P{Yy}=0;当yb时, FY(y)=P{Yy}=1.当a<y<b时. FY(y)=P{Yy}=P{g(X)y} =P{Xh(y)}=FX[h(y)].将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度

  21. 将FY(y)关于y求导数, 即得Y的概率密度 对于g'(x)<0的情况可以同样地证明, 此时有 合并(5.5)与(5.6)两式, 定理的结论得证.

  22. 若f(x)在有限区间[a,b]以外等于零, 则只需假设在[a,b]上恒有g'(x)>0(或恒有g'(x)<0), 此时a=min(g(a),g(b)), b=max(g(a),g(b)).这时公式(5.4)照样成立.

  23. 注 从前例题可见, 在求FY(y)=P{Yy}的过程中, 关键是设法从{g(X)y}解出X, 从而得到与{g(X)y}等价的X的不等式. 而利用本定理, 在满足条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度.

  24. 例5设随机变量X~N(m,s2). 试证明X的线性函数Y=aX+b (a0)也服从正态分布.证X的概率密度为 由y=g(x)=ax+b解得

  25. 由定理1得Y=aX+b的概率密度为 即有 Y=aX+b~N(am+b, (as)2). 如取a=1/s, b=-m/s, 则得

  26. 例6设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布, 求 Y=-2ln X 的概率密度.解 在区间(0,1)上, 函数ln x<0, 故 于是y在区间(0,1)上单调下降, 有反函数x=h(y)=e-y/2, 由前述定理得

  27. 已知X在(0,1)上服从均匀分布 代入上面fY(y)的表达式中, 得

  28. 即Y服从参数为1/2的指数分布.

  29. 注: 利用公式(5.4)直接写出Y=g(X)的概率密度时, 要注意两点:首先要检验y=g(x)是否是严格单调的, 如果不是严格单调的, 不能直接使用公式(5.4). 在公式中h'(y)是要取绝对值的, 否则会出现fY(y)取值小于0.

  30. 例7设随机变量X服从参数为l的指数分布, 求Y=min(X,2)的分布函数.解 由已知, X的分布函数 Y的分布函数 FY(y)=P{Yy}=P{min{X,2}y}= 1-P{min{X,2}>y}=1-P{X>y,2>y}.

  31. FY(y)=P{Yy}=P{min{X,2}y}= 1-P{min{X,2}>y}=1-P{X>y,2>y}.FY(y)=P{Yy}=P{min{X,2}y}= 1-P{min{X,2}>y}=1-P{X>y,2>y}. 当Y<2时, FY(y)=1-P{X>y}=P{Xy}=FX(y) 当Y2时, P{X>y,2>y}=0, 于是FY(y)=1 代入X的分布函数中可得

  32. 注:在本例中, 虽然X是连续型随机变量, 但Y不是连续型随机变量, 也不是离散型随机变量. Y的分布函数在y=2处间断.

  33. 例8 (对数正态分布)随机变量X称为服从参数为m,s2的对数正态分布, 如果Y=lnX服从正态分布N(m,s2), 试求对数正态分布的密度函数.解 由于Y=lnX~N(m,s2), 等价地有X=eY, Y~N(m,s2),于是, 当x>0时,FX(x)=P{Xx}=P{eYx} =P{Yln x}=F(ln x);当x0时, 显然FX(x)=0. 继而可得

  34. X=eY, Y~N(m,s2),于是, 当x>0时,FX(x)=P{Xx}=P{eYx} =P{Yln x}=F(ln x);当x0时, 显然FX(x)=0. 继而可得

  35. 注: 在实际中, 通常用对数正态分布来描述价格的分布, 特别是在金融市场的理论研究中, 如著名的期权定价公式(Black-Scholes公式), 以及许多实证研究都用对数正态分布来描述金融资产的价格. 设某种资产当前价格为P0, 考虑单期投资问题, 到期资产的价格为一个随机变量, 记作P1, 设投资于该资产的连续复合收益率为r, 则有P1=P0er

  36. 设某种资产当前价格为P0, 考虑单期投资问题, 到期资产的价格为一个随机变量, 记作P1, 设投资于该资产的连续复合收益率为r, 则有P1=P0er从而 注意到P0为当前价格, 是已知常数, 因而假设价格P1服从对数正态分布实际上等价于假设连续复合收益率r服从正态分布.

  37. 课堂练习1. 设X的分布率为 试求:(1)2X的分布率; (2)X2的分布率. 2. 设随机变量X的概率密度为 求Y=sinX的概率密度.

  38. 作业 第74页开始 习题2-5第1题, 第3题, 第5题

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