MPI 5.-7. prednáška

1. MPI 5.-7. prednáška MATEMATICKÁ ANALÝZA

2. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Množinové symboly (všetky symboly vedieť čo znamenajú) • xA, xA, AB, AB, AB, AB, a,b,c, =, AB, AB Príklad 1. A=x; x  0, B=x; x5, AB, AB=?, AB=?

3. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Intervaly reálnych čísel, vnútro intervalu • Ak a,bR, vedieť čo znamenajú symboly (a,b), a,b, a,b), (a,b, (a, ), a, ), (- ,b), (- ,b; • Treba vedieť čo sú to krajné body intervalu, vnútro intervalu. • Príklad 2. • Príklady konkrétnych intervalov a ich grafické znázornenie.

4. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Definícia reálnej funkcie reálnej premennej Reálna funkcia definovaná na množine A (podmnožine reálnych čísel) je pravidlo (predpis), ktorým každému prvku x z množiny A priradíme jediný prvok y z množiny R (hodnota funkcie v bode x). Zapisujeme y=f(x). (f:AR) • Príklad 3. Uviesť príklady konkrétnych funkcií.

5. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Definičný obor a obor hodnôt funkcie Množina A je definičný obor funkcie. Množina všetkých hodnôt funkcie sa nazýva obor hodnôt funkcie. Ak nie je definičný obor daný a funkcia je daná vzorcom, tak jej definičným oborom rozumieme „prirodzený“ definičný obor, tj. Množinu všetkých čísel pre ktoré má daný vzorec zmysel. • Príklad 4. Definičné obory funkcií daných vzorcom (zlomok, druhá odmocnina), hodnoty týchto funkcií v konkrétnych bodoch, obory hodnôt týchto funkcií.

6. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Graf funkcie Graf funkcie y=f(x) je množina bodov x,y (roviny)pre ktoré platí y=f(x). • Príklad 5. Daná je funkcia y=x(x-6) , kde definičný obor je interval (0,6. Nakreslite graf tejto funkcie. Určte obor hodnôt tejto funkcie.

7. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Ohraničená funkcia (zdola, zhora) Hovoríme, že funkcia f(x) je zhora (zdola) ohraničená na množine A, ak existuje číslo a (b) , že pre každé xA platí af(x) (f(x)b). Funkcia je ohraničená ak je ohraničená aj zdola aj zhora. • Príklad 6. a. Funkcia y=1/x na intervale (0, ) je ohraničená zdola ale nie zhora a na intervale (1,) resp. 1,) je ohraničená. b. Dokážte, že funkcia y = je na celom svojom definičnom obore ohraničená!

8. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Monotónne funkcie Hovoríme že funkcia f definovaná na množine A je a. rastúca na Apre každé x1, x2A, x1 x 2 je f(x1)  f(x2); b. klesajúca na Apre každé x1, x2A, x1 x 2 je f(x1)  f(x2); c. nerastúca na Apre každé x1, x2A, x1 x 2 je f(x1)  f(x2); d. neklesajúca na Apre každé x1, x2A, x1 x2 je f(x1)  f(x2). • Príklad 7a. Príklady na jednotlivé monotónne funkcie. • Poznámka o rýdzomonotónnych.

9. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Operácie s funkciami Dve funkcie f a g sa rovnajú (píšeme f = g) práve vtedy, ak sa rovnajú ich definičné obory (ako množiny) a pre každé x z definičného oboru platí f(x)=g(x) . Nech sú dané dve funkcie f a g, s príslušnými definičnými obormi Df a Dg. Nech množina D= Df ∩ Dg je neprázdna množina. Potom pre každé x D možno definovať nasledujúce funkcie: h1 = f + g, h2 = f- g, h3= f.g a za predpokladu g 0 aj funkciu h4= Funkciu h1nazývame súčtom funkcií, funkciu h2 nazývame rozdielom funkcií, funkciu h3 nazývame súčinom funkcií, funkciu h4nazývame podielom funkcií.

10. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Zložená funkcia Nech je na množine M definovaná funkcia g . Nech pre každé x patriace do M, hodnota g(x) patrí do Df. Potom možno na množine M definovať funkciu h nasledovne: Pre každé x z množiny M položme : h(x) =f[g(x ] . Funkciu h nazývame zloženou funkciou, utvorenou z funkcií f a g. Funkciu f nazývame vonkajšou zložkou a funkciu g vnútornou zložkou zloženej funkcie h. • Upozorňujeme čitateľa, že zložená funkcia môže byť utvorená z viacerých ako dvoch „častí“. Presnejšie povedané, vonkajšia zložka , alebo vnútorná zložka , môžu byť zase zložené funkcie. • Schematicky znázorniť.

11. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Príklad 8. • Určte definičný obor funkcie y = • Príklad 9. • Zistite, či sa nasledujúce funkcie f a g rovnajú: f , g= x+1.

12. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Inverzná funkcia Nech f je reálna funkcia. Budeme hovoriť, že funkcia je prostá na množine M , ak pre každú dvojicu x1≠x2, platí:f(x1)≠f(x2) . • Veta . Každá rýdzomonotónna funkcia je prostá. • Nech f je reálna funkcia, ktorá je prostá na neprázdnej množine M. Označme znakom f(M) obraz množiny M pri zobrazení funkciou f (t.j. f(M) = ). Potom funkciu, ktorá každému y priradí práve to x, ktoré funkcia f zobrazila na tento bod y nazývame inverznou funkciou k funkcii f a označujeme f-1 .

13. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Veta Nech f je prostá funkcia. Potom pre každé a z Df platí: • a pre každé b z Hf platí • Príklad 10. Dokážte, že funkcia = 2x+4 je prostá a vypočítajte k nej inverznú funkciu. • Pozorný čitateľ si môže klásť otázku, prečo možno určiť inverznú funkciu iba k funkcii prostej?

14. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • 11. Párne a nepárne funkcie • Nech definičný obor funkcie f má nasledujúcu vlastnosť: Ak x patrí do Df, tak aj –x patrí do Df . Potom hovoríme, že: a.) je funkcia párna , ak pre každé x platí f(-x)=f(x), b.) je funkcia nepárna, ak pre každé x platí f(-x)=´-f(x).

15. Prednáška č. 5:. Reálna funkcia reálnej premennej a jej vlastnosti. • Príklad 11. • Vyšetrite párnosť, resp. nepárnosť nasledujúcich funkcií: a) b)

16. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Definícia postupnosti • Postupnosťou nazývame každú funkciu, ktorej definičným oborom je množina prirodzených čísel. • Hodnoty tejto funkcie nazývame členmi postupnosti. Teda hodnotu v čísle 1 nazývame prvým členom postupnosti a označujeme a1, hodnotu v čísle 2 druhým členom a označujeme a2, atď. Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti a označujeme

17. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 1:

18. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 1. Pretože postupnosť je špeciálnym prípadom funkcie (presnejšie je to funkcia so špeciálnym definičným oborom), je ihneď zrejmý pojem monotónnej postupnosti.

19. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Limita postupnosti a symbol ∞ • Budeme hovoriť, že postupnosť má limitu rovnú číslu a, ak k ľubovoľnému existuje také číslo n0, že pre všetky prirodzené čísla n>n0 je , čo zapisujeme: . Ak má postupnosť limitu rovnú číslu a , tak postupnosť je konvergentná, resp. konverguje k číslu a. Ak postupnosť nemá limitu, tak nie je konvergentná, alebo hovoríme že je divergentná.

20. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Skutočnosť, že daná postupnosť má limitu zvykneme pomocou kvantifikátorov zapisovať nasledovne:

21. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Poznámka . • Upozorňujeme čitateľa, že pod pojmom „číslo “ sa myslí reálne číslo, teda nie ∞, ani -∞. Inými slovami: „konvergovať“ znamená mať za limitu konečné reálne číslo. (O postupnostiach, ktoré majú za limitu ∞, alebo -∞ sa zmienime neskôr.) • Uvedomme čo znamená zápis

22. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 2. • Ukážte (iba zakresliť), že:

23. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Vlastnosti limity postupnosti • Veta . (O jednoznačnosti limity.) Každá konvergentná postupnosť má práve jednu limitu. • Veta . (O konvergentnej postupnosti)Každá konvergentná postupnosť je ohraničená. • Poznámka Upozorňujeme čitateľa, že obrátené tvrdenie nemusí platiť. Napriek tejto „nedokonalosti“ majú však všetky ohraničené postupnosti reálnych čísel jednu peknú a významnú vlastnosť. A to, že z každej ohraničenej postupnosti reálnych čísel možno vybrať konvergentnú postupnosť.

24. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Veta . (Veta o limite súčtu a súčinu postupností.) Nech a sú dané konvergentné postupnosti, t.j. a Potom platí: = A±B, • = A.B . • Ak navyše predpokladáme, že všetky členy postupnosti {bn} sú rôzne od nuly a tiež B≠0, tak • Ak cje reálne číslo, tak =c.A.

25. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Veta . (O limite vybranej postupnosti.) Nech je daná konvergentná postupnosť. Potom každá z nej vybraná postupnosť je tiež konvergentná a má tú istú limitu. • Veta . Ak {an} je taká postupnosť, že = 0 a postupnosť {bn} je ohraničená, tak pre limitu súčinu týchto postupností platí: = 0.

26. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 3. Vypočítajte

27. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Rastúce, klesajúce a ohraničené postupnosti Veta . Každá ohraničená monotónna postupnosť je konvergentná. Dôsledok. (Definícia Eulerovho čísla) Postupnosť je konvergentná. Jej limitu označujeme písmenom e, teda

28. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Príklad 4. • Využitím vlastností limít a definície čísla e vypočítajte

29. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. • Nevlastná limita postupnosti • Budeme hovoriť, že postupnosť má nevlastnú limitu, rovnú ±∞ práve vtedy, ak k ľubovoľnému reálnemu číslu K existuje taký index n0, že pre všetky n>n0 platí cn > K (cn < K). • Skutočnosť, že postupnosť má nevlastnú limitu , zapisujeme :

30. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Veta . (vlastnosti nevlastných limít) • Ak limita postupnosti {|an|} je rovná ∞ a všetky členy an≠0, potom postupnosť {1/an}je konvergentná a jej limita sa rovná nule. • Nech a všetky čísla an sú nenulové. Ak existuje index n0 taký, že pre všetky n>n0 je an> 0 (an < 0), tak

31. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Nech Potom platí: • Ak c> 0, potom • Ak c< 0, potom

32. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Nech postupnosť {an} má limitu ∞ a postupnosť {bn} je ohraničená, alebo má nevlastnú limitu rovnú +∞ . Potom

33. Prednáška č. 6. Postupnosť reálnych čísel a limita postupnosti. Poznámka . Symbolicky túto situáciu tiež zapisujeme: ∞+∞=∞, resp.∞+c=∞. Ale pozor! Výraz „∞-∞“ patrí totiž medzi tzv. nedefinované výrazy. • Príklad 5. Vypočítajte limitu postupnosti

34. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Myšlienka limity, interval bez bodu • Čo znamená zápis ? • Príklad 1. • Priblížiť na príklade f(x)=x+1, f(x)=x+1, x1, f(x)= a f(1)=3. • Definičný obor musí obsahovať interval (x,a), (a,x) alebo aj oba ale bod a nemusí obsahovať. • Je zrejmé, že limita sa nemusí rovnať hodnote funkcie v danom bode. (nakresliť)

35. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Definícia limity Hovoríme, že limita funkcie f(x) pre x idúce k a rovná sa b ( ), práve vtedy, ak pre každú postupnosť čísel {xn} z definičného oboru funkcie konvergujúcu k číslu a, postupnosť funkčných hodnôt {f(xn)} konverguje k číslu b.

36. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Poznámka. • -a, b môžu byť aj ±∞, (neskôr) • -jednostranné limity (vysvetliť na obrázkoch) • -teraz iba vlastná limita vo vlastnom bode • Príklad 2. • f(x)=1/x, x0, • f(x)=1/x2, x0, • f(x) je nespojitá v bode a, • f(x)=c, • f(x)=2x+5

37. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. Veta o ohraničenosti Ak existuje vlastná limita funkcie f(x) v bode a potom existuje interval okolo bodu a (bez bodu a) na ktorom je funkcia f(x) ohraničená. Veta o zovretí Nech na nejakom intervale okolo bodu a bez bodu a platí f(x)h(x)g(x) (t.j pre všetky x). Nech Potom aj (Nakresliť)

38. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Dôsledok.(+príklady)

39. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu, podielu, polynómu, odmocniny z funkcie. • Veta. • Limita konštanty. . • Limita funkcie x. . • Limita funkcie s opačným znamienkom. Ak , potom .

40. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu, podielu, polynómu, odmocniny z funkcie. • Veta. • Limita súčtu a rozdielu. Ak potom . • Limita súčinu. Ak , potom .

41. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Algebra limít • (konštanty, x, -f(x), prevrátenej funkcie, súčtu, rozdielu, súčinu, podielu, polynómu, odmocniny z funkcie. • Veta. • Limita podielu. Ak , , kde b20, potom . • Limita odmocniny z funkcie. Ak f(x)0 a , potom .

42. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Príklad 4. • Vypočítajte:

43. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Spojitosť funkcie • Funkcia f(x) je spojitá v bode a ak platí . • Poznámka. • Uviesť príčiny nespojitosti (nakresliť). • Veta. • Konštantná funkcia a funkcia f(x)=x sú spojité funkcie. • Súčet, rozdiel a súčin spojitých funkcií je spojitá funkcia (špeciálne polynóm). • Podiel spojitých funkcií je spojitá funkcia na svojom definičnom obore. • Ak je funkcia g spojitá v bode a a funkcia f spojitá v bode g(a), potom je aj zložená funkcia f(g(x)) spojitá v bode a. • Ak je funkcia f(x) spojitá na uzavretom intervale a,b potom je na tomto intervale ohraničená, dosahuje tu maximum aj minimum.

44. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Limita v nevlastnom bode a nevlastná limita funkcie • Nakresliť prípad ak b= ±∞, t.j. . Veta. • Ak funkcia f(x) je v určitom okolí bodu a ohraničená a , potom , . • Ak a f(x) je kladná pre všetky x a, z nejakého okolia bodu a, potom .

45. Prednáška č. 7: Limita funkcie, vety využiteľné na počítanie limít funkcie. • Ak 0, , a pre každé xa z niektorého okolia bodu a platí g(x)0, (g(x)0), potom . • Poznámka: Pozor na . Pripomenúť, že takéto príklady budeme vedieť riešiť neskôr. • Nakresliť prípady ak a je , t.j. .